交换环上的w-内射模性质探究

吴明科

（西南科技大学 城市学院，四川 绵阳621000）

1 引言

内射模是同调代数中非常重要的模类，本文通过导出函子Ext以及相对w-子模的概念，推广内射模的定义，建立w-内射模。通过讨论将指出w-内射模是内射模的真推广，并利用w-内射模的概念建立w-Noether环的一个等价刻画.在本文讨论中如无特殊说明，提到的环均假设是有单位元的交换环。

2w-内射模

设M是R-模，I是R的w-理想，如果 Ext1（RR/I，M ）=0，则称M为w-内射模。由于M为内射模当且仅当对R的任意理想I有 Ext1（RR/I，M ）=0，从而得出内射模是w-内射模。

引理1：设M是R-模，A是M的子模。那么A为M的相对w-子模当且仅当GV-tor（M/A）=0。

定理1：设M为R-模，则M为w-内射模当且仅当对任意的循环GV-无挠模模N， Ext（1RN，M ）=0。

证明：设M为w-内射模，N为GV-无挠的循环模，显然有N≅R/I，其中I是R的w-理想。

由定义有 Ext（1RR/I，M ）=0，所以 Ext1（RN，M ）=0；反之，设I是R的w-理想，由引理1有R/I是GV-无挠的，而，则R/I是循环模，所以 Ext1（RR/I，M ）=0，所以，M为w-内射模.

定理2：设M为R-模，则以下等价。具体为：①M为w-内射模；②任意同态f∶A→M都可以扩张为同态g∶B→M，其中A是B的相对w-子模，B/A是循环模；③同态f∶I→M都可以扩张为同态g∶R→M，其中I是R的w-理想。

证明①⇒②。根据条件建立如下的正合列0→A→B→B/A→0。其中，A是B的相对w-子模，且B/A是循环模，从而有长正合列

由引理1知，B/A是GV-无挠的，根据定理1可以得到Ext1（RB/A ，M ）=0，所以有正合列0→HomR（B，M）→HomR（A，M）→0，显然每个同态f∶A→M都可扩张为同态g∶B→M。

②⇒③，取A=I，B=R，显然是可证的。

③⇒①，建立正合列0→I→R→R/I→0，其中I是R的w-理想，所以得到长正合列0→HomR（R/I，M）→HomR（R，M）→HomR（I，M）→ Ext（1RR/I，M ）→Ext1（RR，M）→…，因为 Ext（1RR， M） =0，所以HomR（R，M）→HomR（I，M）→Ext（1RR/I，M ）→0，根据条件同态f∶I→M可以扩张为同态g∶R→M，显然有正合列HomR（R，M）→HomR（I，M）→0，所以 Ext（1RR/I，M ）=0，则M为w-内射模。

通过上面的讨论，从模扩张的角度建立的等价定义如下所示。

设M为R-模，任意给出的模与同态图形如图1所示。

图1 任意模与同态图形

恒存在模同态h∶B→M，使图1完备为一交换图，则称M为w-内射模，其中底行是正合的，并且Im（g）是B的相对w-子模，B/Im（g）是循环模。

从正合列的角度来看，w-内射模有以下结论。

定理4：设M为R-模，则以下等价。具体为：①M为w-内射模；②任意正合列0→M→B→C→0都是分裂的，其中C为GV-无挠的循环模；③对任意的正合列有正合列其中，C是循环的GV-无挠模。

图2 正合交换图

由引理1知GV-tor[B/Im（f）]，所以B/Im（f）是GV-无挠模。图2中下行是正合列，因此上行也是正合列，所以由于上行是分裂的，则存在同态φ∶L→M，满足φa=1E。令g=φβ，则有gf=h，因此M为w-内射模。

①⇔③，由定理3显然成立，已经了解内射模是可除模，下面证明w-内射模也是可除模。

定理5：如果M为R上的w-内射模，则M是可除模。

证明，设a是R的一个非零因子，令I=（a），显然可证I是R的w-理想。任取x∈M，并建立同态映射f∶I→M，其中f（ra）=rx。由于M是w-内射模，所以该同态f可扩张到R上，即有同态g∶R→M，使得，则有因此M是可除模。

根据文献[6]，设M是R-模，I是R的主理想，如果对任意同态f∶I→M都可以扩张到R上，则称M为P-内射模。

引理2：设R是整环，M是R-模，如果M是w-内射模，则M是P内射模。

特别之处在唯一分解整环，可进一步得到以下内容。

定理6：设R是唯一分解整环，M是R-模，则M是P-内射模当且仅当M是w-内射模。

证明，设M是P-内射模，I是R的w-理想，根据文献[2]得到I是主理想，利用P-内射模的定义，对于任一同态映射f∶I→M都可扩张到R上，因此M是w-内射模；反之，由引理2显然成立。

定理7：设R是唯一分解整环，则每个w-内射模是内射模的充分必要条件是R是Dedekind环。

证明：先证必要性，设M是P-内射模，根据定理6在唯一分解环R上M是w-内射模，由条件M是内射模，根据文献[2]得到R是Dedekind环。再证必要性，设R是Dedekind环，M是w-内射模，根据定理6，M是P-内射模，利用文献[6]得到M是内射模。

在唯一分解整环的条件下，建立定理7的逆否命题如下所示。

定理7'：设R是唯一分解整环，则存在一个w-内射模不是内射模的充分必要条件是R不是Dedekind环。

由于作为唯一分解整环，又不是Dedekind环的例子是存在的，例如R=Z[x]，因此在R=Z[x]上，必然存在一个w-内射模不是内射模，这样便证明了w-内射模是内射模的真正推广。

3 w-Noether环的一个等价刻画

w-Noether环是经常讨论的一种环类，下面将利用w-内射模在直和方面的性质，建立w-Noether环的一个等价刻画.

引理3：设M是R-模，M=A⊕B，则A是M的相对w-子模当且仅当B是GV-无挠模。

引理5：设有模同态f∶M→N，其中模M是有限型的，且M=（AM）w，A是有限生成的，则

定理8：设R为环，则以下各条等价。具体为：①R为w-Noether环；②任意多个GV-无挠的w-内射模的直和是w-射内射模；③可数无限多个GV-无挠的w-内射模的直和是w-内射模。

通过上面的定理8的讨论，利用w-内射模在直和方面的性质建立w-Noether环的一个等价刻画。