关于NA-内射模

班秀和，韦儒和

(广西师范学院 数学与统计科学学院，广西 南宁 530001)

关于NA-内射模

班秀和，韦儒和*

(广西师范学院 数学与统计科学学院，广西 南宁 530001)

文章中引入了NA-内射模的概念：称M为NA-内射模.如果对于任意模A的任意Noether子模B有B到模M的任意同态均可提升为A到M的同态.文中给出了NA-内射模的等价条件，得到了关于NA-内射模的直积、直和等运算的若干结果，指出了NA-内射模是内射模的实质性推广，运用NA-内射模刻画了Noether环和一类V-环.

NA-内射模；Noether环；V-环

0 引言

本文对内射模进行了推广，引入了NA-内射模的概念，给出了NA-内射模的等价条件，并指出了NA-内射模是内射模的实质性推广，得到了关于NA-内射模的直积、直和等运算的若干结果，运用NA-内射模刻画了Noether环和一类V-环.

本文的环都是有单位元的结合环，并用R表示这样的环.模都是右酉模.我们将用符号B≤A，E(A)，Soc(A)分别表示B是A的子模，A的内射包，A的基座.文中未指出来源的基本概念和结果可以在文献[1，2]中看到.

1 结果与证明

首先给出NA-内射模的定义.

定义1 设A是任意模，B是A的任意Noether子模，若B到模M的任意同态均可提升为A到M的同态，则称M为NA-内射模.

由定义知，NA-内射模是内射模.

称模M为右极小内射模，如果环R的任意极小右理想I到M的同态都可以提升为R到M的同态[3].显然NA-内射模是极小内射模，因此NA-内射模是介于内射模和极小内射模之间的一类模.

受文献[4]的启发，我们给出下面的引理1.该引理在NA-内射模的问题考虑中会很有用.

引理1M是NA-内射模的充分必要条件,是M包含它的Noether子模的一个内射包.

证明 必要性.设A是M的Noether子模，ι是A到M的包含映射，E(A) 是A的内射包，ι＇是A到E(A)的包含映射，则存在同态g：E(A) →M，使得ι=gι＇，但g在A上的限制g∣A=ι，且A在E(A)中本质，所以g是单的，故g(E(A))≤M是A的内射包.

充分性.设B是任意模A的Noether子模，ι是B到A的嵌入，α是B到M的同态，则由于α(B) ≤M是Noether的，所以由条件就有E(α(B) )≤M.这样由E(α(B) )的内射性就知存在同态β:A→E(α(B))，使得α=βι.将β看作是A到M的同态，则知M是NA-内射模.引理证毕.

推论1 设Q是内射模，U是Q的Noether子模，则模M是NA-内射模的充分必要条件,U到模M的任意同态均可提升为Q到M的同态.

证明 必要性显然.对于充分性，设A是M的Noether子模，E(A) 是A的内射包，则由引理1的必要性证法可得，E(A)≤M，从而由引理1知，M是NA-内射模.

定理1Πi∈IMi是NA-内射模当且仅当Mi，i∈I是NA-内射模.

证明 用内射模相应命题的证法即可得证(可参见文献[1]或文献[2]).

由定理1可知，NA-内射模的有限直和仍是NA-内射模，NA-内射模的直和项仍是NA-内射模.

定理2 NA-内射模的任意直和仍是NA-内射模.

证明 设Mi，i∈I，是NA-内射模，A是⊕Mi，i∈I的Noether子模，则由A是Noether的可知，有I的有限子集I0，使得A⊆⊕Mi，i∈I0.由于I0有限，所以⊕Mi是NA-内射模.于是由引理1知，A的内射包E(A) ⊆⊕Mi，i∈I0，因此，E(A)⊆⊕Mi，i∈I.这样再由引理1就有⊕Mi，i∈I是NA-内射模. 证毕.

上面提到内射模是NA-内射模，而由定理2可知NA-内射模不必是内射模.

事实上，设K是域，R=Πi∈IKi，Ki=K，I是无限集.在R中以分量的方式定义如下的加法和乘法: 对于(ki) ，(kˊi) ∈R，ki，kˊi∈Ki，(ki) +(kˊi)= (ki+kˊi)，(ki) (kˊi)= (kikˊi)，易检验R是一个环.设A=⊕i∈IKi，则显然AR≤RR. 因Ki=K是域，所以Ki作为自身上的右模，都内射.于是由文献[1]的第5章的习题(11)知，AR是内射模的直和，但AR不内射.另一方面，由定理2知AR是NA-内射模.

用定理2可得到Noether环的一个特征.

定理3 R是Noether环的充分必要条件是每一NA-内射模是内射模.

必要性.用Baer法则即可得证.

充分性.设⊕i∈IQi是任意内射模的直和，则由定理2，⊕i∈IQi是NA-内射模，于是由条件，⊕i∈IQi是内射的，所以R是Noether环，定理证毕.

定理4 设R是环，则有

1) Noether NA-内射模是内射模.

2) 有限余生成NA-内射模是内射模.

3) 若模M的Noether子模是NA-内射模，则M的每一子模是NA-内射模.

4) 若非Noether的有限生成模M的极大子模是NA-内射模，则M是NA-内射模.

证明1) 设M是Noether NA-内射模，则由引理1知，M包含其自身的内射包E(M)，于是M=E(M)，即M是内射模.

2) 设M是有限余生成NA-内射模，则Soc(M)是Noether的，因此由引理1就有E(Soc(M)) ≤M，但E(Soc(M)) 在M中本质，所以E(Soc(M)) =M，即M是内射模.

3) 由1)和引理1即得.

4) 设A是M的Noether子模，则由于M是有限生成的，所以有M的极大子模L，使得A≤L，再由L是NA-内射模和引理1即可得，M是NA-内射模.定理证毕.

定理5 设I是全序集，Ai，i∈I是NA-内射模，且对于i

证明 设L是B的Noether子模，则由于L是有限生成的，所以存在Ai，使得L≤Ai，于是由条件及引理1就有E(L) ≤Ai，所以E(L) ≤B.再由引理1即得B是NA-内射模.定理证毕.

下面考虑每个模是NA-内射模的环.

定理6 设R是环，则以下条件等价：

1)R是V-环，且Noether模有非零基座.

2) 每个模是NA-内射模.

3) 每个有限生成模是NA-内射模.

4) 每个Noether模是NA-内射模.

证明 1)→2).设A是任意模，B是A的任意Noether子模，则由条件B有非零基座，因此存在单模E1≤B.由于R是V-环，所以E1是内射的，故B=E1⊕C，若C为零则结论已成立，若C不为零,则C仍是Noether的和C的基座非零，因此存在内射的单模E2≤C，使得C=E2⊕D. 由此得B= (E1⊕E2)⊕D.若D为零，则结论已成立.若D不为零,则D仍是Noether的和D的基座非零.反复重复上述过程并注意到B的Noether性，即可得到B是有限个内射单模的直和，从而B是内射的，即E(B)=B≤A，于是由引理1，A是NA-内射模.

2)→3)→4)显然.

4)→1)由条件，任意单模E是NA-内射模，从而由定理4的1)知，E是内射的，所以R是V-环.其次设A是任意Noether模，B是A的任意子模，则B也是Noether的.这样由条件B是NA-内射模，从而由定理4的1)知，B是内射模，所以B是A的直和项，所以A是半单的，于是A的基座非零.

[1] 卡施 F. 模与环[M].北京：科学出版社，1994.

[2] Anderson F W, Fuller K R. Rings and categories of modules[M]. New York: Springer-Verlag, 1974.

[3] Nicholson W K, Yousif M F. Mininjective Rings[J]. Journal of algebra, 1997,187:548-578.

[4] Ramamurthi V S. Rangaswamy K M. On finitely injective modules[J]. J Austral Math Soc, 1973,16:239-248.

On NA-injective Modules

BAN Xiu-he, WEI Ru-he

(School of Mathematical and Statistics Sciences, Guangxi Teachers Education University, Nanning, 530023, China)

The concept of NA-injective modules was introduced which was a generalization of injective module in this paper. Let B to be any Noetherian submodule of a right R-module A, M was called a NA-injective module if any homomorphism of B into M extends to one of A into M. Characterizations of NA-injective modules were given, some results concerning the direct products and the direct sums of NA-injective modules are obtained, a NA-injective module which is not injective is given. Noetherian rings, a class of V-rings, are characterized by NA-injective modules.

NA-injective module; Noetherian ring; V-ring

2016-11-02

国家自然科学基金项目(11461010)；广西科技开发项目(1599005-2-13)；广西教育厅科研基金项目(KY2015ZD075).

*

班秀和(1962—)，男，广西平果人，硕士，主要从事环论方面的研究.

O153.3

A

1009-2102(2016)04-0005-03