一类带一般记忆核的Cahn-Hilliard方程解的能量衰减估计

涂馨予,　蒲志林

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)



一类带一般记忆核的Cahn-Hilliard方程解的能量衰减估计

涂馨予,蒲志林*

(四川师范大学 数学与软件科学学院, 四川 成都 610066)

摘要：采用推广的带参数的Gronwall不等式,研究了一类带一般记忆核的Cahn-Hilliard方程解的能量衰减估计,证明方程的解是呈指数衰减的,衰减率可被精确地算出.

关键词：动态边界条件; 记忆核; 过去历史变量; 能量估计

Cahn-Hilliard方程是由J. W. Cahn和J. E. Hilliard[1]引入,用来描述二元合金在分解时的分离物随温度的变化情况,它在材料科学中有着重要意义.为了描述所谓的二元混合物的旋节分解(如金属合金的冷却),取Ω是R3中的有界集,并带有充分光滑的边界Γ,考虑粘性Cahn-Hilliard方程[1]

(1)

其中,u是混合物的相对浓度差,μ是带有粘性的化学势,α≥0,非线性项f(u)是一势函数的导数,常数α=0时,方程(1)是Cahn-Hilliard方程.对这类方程在标准边界条件下(Neumann边界条件、狄利克雷边界条件、周期边界条件)的柯西问题的讨论已经很充分[2-5].

为了描述特殊材料(如玻璃)的相分离现象,对方程(1)取μ满足Neumann边界条件,即

将通常u的Neumann边界条件换成非线性的动态边界条件,即u满足

其中,β是正常数,ΔΓ是边界上的Laplace-Beltrami算子,非线性项g(u)是一充分光滑的边界势函数的导数.许多作者对这类问题进行了讨论[6-13].

为了加速某些材料的旋节分离(如玻璃),考虑修改的Cahn-Hilliard方程

其中κ(s)是记忆核函数,它是呈指数衰减的,即满足条件κ′(s)+δκ(s)≤0,δ>0,这类Cahn-Hilliard方程已有大量研究[14-22].如在标准边界条件及光滑势条件下,3维空间上非恒温非粘弹条件下的弱解的存在[14]、解的适定性和正则性的结果[15]已得到.在2维空间上,取α=0已经证得了能量解在短的松弛时间的全局吸引子的存在[16].但这类问题在非线性动态边界条件下的研究还很少.

这里考虑一类在非线性动态边界条件下带记忆核的Cahn-Hilliard方程[23]:

其中,Ω⊂R3是具有光滑边界Γ的有界区域,α,β是正常数.未知量u=u(x,t):Ω×[0,∞)→R,u是混合物的相对浓度差,u|Γ=ψ(t),u满足非线性的动态边界条件,μ满足Neumann边界条件.ΔΓ是边界上的Laplace-Beltrami算子,η=ηt(x,s):Ω×R+×[0,∞)→R是过去历史变量,且对任意的s>0和t>0,有ηt(s)=∫0s-Δμ(t-y)dy,显然ηt(x,s)满足边界条件:ηt(x,0)=0,Ω×(0,∞).

对方程(3)给定初值条件如下:

(4)

ν(s)是方程的记忆核,它满足以下假设[23]:

(H1)ν(s)∈C1(R+)∩L1(R+),∀s∈R+;

(H2) ν(s)≥0,ν′(s)≤0,∀s∈R+;

(H5) ν′(s)+ρ(s)ν(s)≤0,∀s∈R+;ρ(s)>0,ρ′(s)≤0,∀s∈R+;

注满足假设(H1)～(H6)的记忆核ν(s)是存在的,如取ν(s)=e-λs,∀λ>ρ0.

非线性项f、g满足如下条件:

(K1) f,g∈C1(L2(Ω));

(K2) f,g∈C2(L2(Ω));

(K3) |f′(y)|≤cf(1+|y|2),|g′(y)|≤cg(1+|y|q),∀y∈L2(Ω);

由(K5)可得[23]:

(5)

在文献[23]中,取非线性记忆核ν(s)满足ν′(s)+δν(s)≤0,δ>0是正常数,证得了变分解的存在;当α>0时,全局吸引子和指数吸引子的存在;以及α=0时,轨道吸引子的存在.受文献[4]的启发,本文考虑非线性动态边界条件下,满足更一般条件的非线性记忆核ν(s),它满足以下微分不等式[24]:

当取ρ(s)=δ时,即为文献[23]的情况,本文的记忆核更具一般性.再采用推广的带参数的Gronwall不等式,研究了带这类记忆核的Cahn-Hilliard方程解的能量衰减性,证明当t→∞时,方程的解的能量是指数衰减到0的,并精确地算出了衰减率.

本文在预备知识中介绍了一些定义、记号、不等式及定理；后面通过构建泛函L,对某个正常数C满足

1预备知识

Ω⊂R3是具有光滑边界Γ的有界区域,分别记(·,·),‖·‖;(·,·)Γ,‖·‖Γ为L2(Ω)和L2(Γ)的内积和范数,定义算子A:=-Δ,A是L2(Ω)上的非负自共轭的线性算子,取A的分数力Ar,则可定义一族插值空间如下:

当r=0时,V0=L2(Ω),在Vr上定义范数:

定义〈·〉为Ω上的空间平均,即

所以有

定义迹算子TrD为

引入空间

取Hilbert空间

M-1上的内积定义如下

定义T=-∂s是M-1上的线性算子

方程(3)的解满足以下质量守恒[23]:

(6)

最后,引入乘积Hilbert空间H=V1×M-1.下面介绍一些重要的不等式及引理:

2) Poincaré-Wirtinger不等式:‖u-〈u〉‖p≤C7‖u‖p.

3)W1,2(Ω)上的等价范数为:‖u‖W1,2(Ω)=‖u‖+‖u‖.

那么

注意:取ϑa∈(0,1),使得a=mϑa-ϑa+1-l=(m-1)ϑa+1-l>0,b=1-ϑa-γϑa>0,定义

则

2一致能量估计

关于方程(3)在t时刻的能量E(t)为

(7)

有如下的结果:

定理 2.1假设(H1)～(H5)和(K1)～(K5)成立,则存在正常数J,ω,2

即方程的解的能量是呈指数衰减的,且衰减率为ω,其中:

证明在方程(3)的第一项的两端同乘以μ,在Ω上积分,可以得到

利用方程(3)的第3项有

利用格林公式可得

由方程(3)的第2项可得

即

(8)

又由方程(3)的第4项及(6)式可得

将以上所求的项带入到方程(8)可以得到

由(H2)和(K4)可得

(9)

故

(10)

构建泛函:

利用方程(3)的第1项,在两端同时乘以A-1ut,再在区域Ω上积分可得

由(6)式可得〈ut〉=0,所以有

又由(H3)、(6)式以及Hölder不等式可得

即

所以

(11)

利用方程(3)的第4、3、2项以及格林公式得

由上式及(11)式有

所以

(12)

构建泛函

所以有

即

其中C0是与α相关的正常数.

由(9)、(12)式可得

又由Φ(t)的构造可得

所以

所以

有

其中Cf″、Cf‴、C2为正常数.又由(5)式可得

所以

故一定存在只依赖于C1、C2、α的常数C(C充分大)使得

(14)

在(14)式两端同时乘以e,再在s∈(0,t)上积分得:

所以有

由(13)式可得

由引理1.1,取m=n,l=2,q(s)=q=C,h=0,R=E(0)(1+C0n)可得

(15)

取ϑa∈(0,1),使得

由(13)及(15)式有

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2010 MSC：35B30; 35B99

(编辑周俊)

The Energy Decay Estimates for Cahn-Hilliard Equation with General Memory Kernel

TU Xinyu,PU Zhilin

(CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan)

Abstract：In this paper the energy decay estimates for Cahn-Hilliard equation with general memory kernel are studied by a generalized Gronwall-type lemma with . It is proved that the solution of such an equation decays exponentially, and the decay rate can be explicitly calculated.

Key words：dynamic boundary conditions; memory kernel; the past history variable; energy decay estimates

doi:10.3969/j.issn.1001-8395.2016.01.001

中图分类号：O213.2; O226

文献标志码：A

文章编号：1001-8395(2016)01-0001-07

*通信作者简介：蒲志林(1963—)，男，教授，主要从事偏微分方程的研究，E-mail：puzhilin908@sina.com

基金项目：国家自然科学基金(11401409)

收稿日期:2015-03-11