突破领域樊篱 还原数学本真

韦建华

摘 要：教师是课堂教学中的主导者，将学生向什么方向引导，取决于教师自身对教学文本内容的理解和创新。许多数学知识问题本身蕴含着探求未知世界、追求科学真理的功能。数学基础知识的领悟理解与解题运用都是数学学习价值的重要方面，随着社会的发展与进步，厚此薄彼的现象一定会成为历史。

关键词：质疑；突破；引导

社会需要进步与发展，发展需要融合与创新。为此，我们的教育教学课程也在进行着一轮又一轮的改革，我们的课堂教学模式不断推陈出新。知识的力量来源于知识的获得和应用过程，根据现代建构主义学习理论，在这个过程中教师的主导作用在于“导”。教学模式改革能更新我们的引导方式，然而引导什么，将学生向什么方向引导，取决于我们教师自身对文本的理解和创新。笔者结合自身初中数学课堂教学的两个案例谈谈自己对数学单元教学“突破”的看法与感悟。

一、突破章节领域的樊篱举例——相似三角形章节教学中的典型图形“A型”与“X型”教学

如图1和图2，点D在AB上，点E、F在AC上。当∠ADE=∠B或等价于这一条件时，△ADE∽△ABC，为平行性相似；当∠AFD=∠B或等价于这一条件时，△AFD∽△ABC，为不平行性相似。这就是相似三角形中的A型和X型。

A型和X型两个几何模型在初中几何学习实践中运用非常广泛，这里不一一赘述。我想谈一个我们平时教学中都会碰到的典型问题。如图3，当DE∥BC时图中有几对相似三角形？如图4，当∠AED=∠ABC时，图中有几对相似三角形？問题理解：（1）共性——这两个问题都是“A型”中包含“X型”；（2）区别——其中一个是平行的相似，另一个是不平行的相似；（3）意义——以上问题看似两个问题，实质是一类问题的有机组合，是我们相似形单元教学的核心问题之一。这两个问题在我们单元教学时都会进行讲解，而且还会多次重复，但收效并不明显。有经验的老师会将这两个问题一起对比着进行讲解，但似乎仍有令人费解之处。下面我将我的讲解方法与大家探讨。

第一层次，从相似三角形判定条件出发讲清原因。设计问题导学1：当DE∥BC时，如图3，可得几对三角形相似？学生会回答：△ADE∽△ABC和△DOE∽△COB。但是，学生还会说△ADC与△AEB、△BOD与△COE分别相似。特别是△BOD与△COE，学生会由△DOE∽△COB得出，再由且∠DOE=∠EOC得出△BOD∽△COE。此时老师要介入引导，师生共同质疑是否为△BOD与△COE相似的两边成比例的对应条件，等等。从而得出正确结论：当DE∥BC时，只有△ADE∽△ABC和△DOE∽△COB两对三角形相似。设计问题导学2：当∠AED=∠ACB时，如图4，可得几对三角形相似？学生开始会回答只有△AED∽△ABC，接着，有学生会想到△AEB∽△ADC（由△AED∽△ABC？圯，又因为∠A=∠A得出△AEB∽△ADC）。还有吗？老师继续引导。学生进一步思考，能够得到△DOB∽△EOC，接着探究又能得出△DOE∽△BOC。还有吗？学生意犹未尽，但是在有学生提出△BDE与△CED等时，学生是比较容易从角不一定对应相等来反驳的。在分析不存在更多相似三角形之后，总结：如图4，当∠AED=∠ACB时，有△AED∽△ABC、△AEB∽△ADC、△ DOB∽△EOC、△DOE∽△BOC四对相似三角形。这样虽然讲清道理了，但学生就掌握了吗？是否只有知识理解的厚度，缺乏几何认知规律的一致性引导，而不利于学生的理解记忆呢？——不平行的反而相似三角形对数增加了，为什么？

第二层次，深度探究，从图形特征阐述内在区别。一般来说特殊图形往往具备更多的特殊性质。平行在学生心中印象很深，学生大多会认为这个条件更具备特殊性，理应有更多的相似三角形。上述问题似乎与这一经验不符，不平行的反而相似三角形对数增加了。开始我也不解其因，特殊图形应该具备更为特殊的性质，作为教师如果不能将这个问题想清楚，就不能引导学生在直觉感性上接受。在之前圆的教学中，新苏科版教材增添了圆的内接四边形对角互补性质定理——苏科版数学2013版八年级第59页。由此，可知圆的内接四边形外角等于相邻内角的对角。反过来，如果一个四边形的外角等于内对角，这个四边形就是圆的内接四边形，这个结论学生是能够理解的。图4中的四边形BCED不就是圆的内接四边形吗？于是我有感而发，提出了问题导学3：四边形BCED有什么特殊之处？并进一步解释，由∠AED=∠ACB能得到四点B、C、E、D在同一个圆上。既然如此，“四点共圆”显然要比“平行”条件更特殊，四对相似三角形存在的内在合理性不言而喻。

以往在对待上述问题时只是就题讲题，而且要多次重复强调，学生最终也只有厚度理解，而缺乏直觉感性认识，容易遗忘，教学效果欠佳。突破章节领域的樊篱，追本溯源多角度链接导学，能推动我们的教学整体联动，使我们的数学课堂教学焕发活力，从而更大程度上提升教学质量。

二、突破数形领域的樊篱举例——关于“一次函数图象是一条直线”教学

一次函数是初中数学教学研究的三大特殊函数之一，而且是学生学习的第一个重要函数，在数学学习过程中具有重要的基础作用。一次函数图象的许多重要性质以及它的应用都是建立在图象是直线的基础之上，而且今后在学习曲线函数图象时，还要通过直线函数来反证曲线的合理性。作为教学多年的教师，深知一次函数图象的基础地位，如果不将一次函数图象是直线这一现象给学生讲清楚，我实过不了自己这一关。于是，在做好课前知识铺垫、准备后，基于数学研究的一般方法——操作演示、观察猜想、验证证明，有了下面的教学实践。

事先学生先通过列表、描点，观察猜想一次函数图象是一条直线。如果不加深究，我们可以再让学生画几个一次函数的图象，列表、描点、连线，再用几个满足函数表达式的特殊值为坐标的点验证在所画直线上。但是我们知道列举不能作为说明命题正确性的真正理由，与说明命题错误不同。于是我提出了问题，为什么一次函数的图象是一条直线？生答：通过画图观察可知，通过验证可知。师导：特例不能代替全部呀，我们有没有推理说明的方法呢？下面我运用由特殊（角平分线性质）到一般（相似三角形边对应成比例）的方法进行了深度讲解和剖析。

我在黑板上已画好的平面直角坐标系中，用尺规画出了一三象限的角平分线，然后问：这条直线上的点的坐标有何特征？生答：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以纵坐标等于横坐标。师导：这条直线所对应的函数关系是什么？生答：y=x。师导：满足函数y=x的点（x，y）是否在这条直线上？生答：在。师导：y=x是什么函数？生答：正比例函数，一次函数。师导：好，下面我将这条直线向下平移一个单位，经过点（0，-1）。师导：下面这条直线的函数表达式你能否得出？学生猜想：y=x-1。师导：能证明吗？我们任意画一条垂直于x轴的直线m，如图所示交这两条直线于点B、C，BC与OA相等吗？为什么？生答：相等，因为四边形OABC是平行四边形。师导：因为点C在直线y=x上，令任意点C的坐标为（x，x），则点B的坐标为（x，x-1），所以點B的纵坐标y=x-1。由于可以是任意位置，如图虚线位置有同样的结论，所以这条直线表达式为y=x-1。反之，满足函数y=x-1坐标（x，y）的点也在这条直线上。这也就证明了一个非正比例的一次函数y=x-1的图象也是直线，它是由y=x的图像平移得到的。同样可证函数y=x+b的图象是一条直线。

下面进一步引导到一般情形。师导：那么是否任意正比例函数图象都是直线呢？师导：如图点A的坐标为（1，2），画直线OA，作AB⊥x轴，垂足为点B，则=2，你能说出直线OA上的任意点C的坐标特征吗？生答：纵坐标与横坐标的比值是2。师导：为什么？生答：如图点C（x，y）为直线上任意一点，作CD⊥x轴，垂足为点D，则能得出△CDO∽△ABO，再由相似三角形边对应成比例，可以得到=2，即=2。师导：很好，根据前面我们介绍的相似三角形的知识，实际上就说明了这条直线的函数表达式是y=2x。反之，满足函数y=2x坐标（x，y）的点也在这条直线上。由此可知正比例函数y=2x的图象是一条直线。以此类推，任意正比例函数y=kx的图象都是一条直线。师导：那么函数y=2x-1呢？y=2x+b呢？生答：再运用平移的方法可以得到它们的函数图象，比如：向下平移一个单位，令任意点G的坐标为（x，2x），则点F坐标为（x，2x-1），于是得到直线EF上点的横纵坐标变量函数关系为y=2x-1，直线EF是一次函数的图象。师导：很好，以此类推，可以说明函数y=2x+b的图象是一条直线。用同样的方法可以说明任意一次函数y=kx+b的图象是一条直线。

通过以上探索，先说明正比例函数图象是一条直线，然后通过平移得出一般的一次函数图象也是一条直线，同时阐明了一次函数图象之间平行的关系特征。在说明函数问题的过程中结合图形的平移、平行四边形、相似三角形、坐标等基础知识，蕴含了由特殊到一般、类比等数学科学研究方法，突破了数与代数、图形与几何章节单一领域范畴。笔者上完，整个课堂感觉酣畅淋漓。师生共同感受到了数学探究、创新的快乐。“代数、几何原本属于数学不同的领域范畴，几何代数统一体，永远联系莫分离。”（——数学家华罗庚语。）。

数学是人类文明和智慧的结晶，书本上的每一个知识点都是数学先辈们毕生的心血，经历了上百年甚至数千年的磨砺。数学基础知识的领悟理解与解题运用都是数学学习价值的重要方面，随着社会的发展与进步，厚此薄彼的现象一定会成为历史。

编辑 王团兰