常微分方程在数学建模教学中的运用

白莉红

【摘 要】数学建模是用数学方法解决实际问题的一种实践，即通过抽象、简化、假设等过程，将实际问题用数学方式描述，建立起数学模型并运用数学方法求解。本文介绍了由常微分方程组描述的生物种群间的相互作用模型——弱肉强食模型。

【关键词】常微分方程    数学建模    弱肉强食模型

第一次世界大战期间，奥地利与意大利的敌对状态造成了亚德里亚海捕鱼业的破坏与停滞，战后发现，亚得里亚海中以小鱼为食物的大鱼密度高于正常水平。为什么停止捕捞有利于大鱼密度的上升，这一问题引起了意大利数学家沃儿泰拉的兴趣，他的研究产生了如下模型。

以x（t）表示t时刻小鱼密度，即单位体积的小鱼数，y（t）代表相应的大鱼密度。先考虑小鱼密度的变化规律，如果不存在大鱼，类似于马尔萨斯人口模型，假设小鱼密度的净增长率为一个常数a>0，当有大鱼存在时，由于大鱼捕食小鱼，使得小鱼的净增长率下降，这一下降的速率正比于y（t），其比例系数设为常数b，由此小鱼密度满足方程：

x（t）=a-by （1）

类似的考虑大鱼密度方程：

y（t）=-c+dx （2）

式中的c，d系数前的符号与小鱼方程系数a，b的符号相反，这是因为当不存在小鱼时，大鱼由于没有食物而死亡，因而数量下降。下面对由方程与组成的常微分方程进行分析。

容易看出，如上方程组有三组特定的解，即：

（1）x（t）=y（t）=0

（2）x（t）=0，y（t）=y（0）e-ct（y（0）>0）

（3）y（t）=0，x（t）=y（0）eat（x（0）>0）

在Oxy平面上，對应不同的初值x（0）和y（0），这三组解的轨道构成区域R2+={（x，y）∈R2：x≥0，y≥0}的边界，将上述区域的内部记为intR2+={（x，y）∈R2：x>0，y>0} ，由常微分方程组解的存在唯一定理，不同的积分轨道不能相交，所以初值点在intR2+内的积分轨道保持在同一区域内，不能越过它的边界，在这一区域内，存在唯一一组不随时间变化的平衡解，它可由令其=0解得，即

x=  ，y=

在Oxy平面上，过点（x，y）分别作平行于x轴与y轴的直线，这两条直线把区域划分为四个部分，如果所讨论的方程组存在封闭轨线所表示的周期解，那么由轨线上任何一点相对于点（x，y）的位置，不难知道该点的符号，由此知道这样的周期轨道是逆时针方向旋转的，以下说明这样的周期解确实存在。

将方程（1）乘以c-dx与方程（2）乘以a-by相加，整理后得

（clnx-dx+alny-by）=0        （3）

注意到x，y的值，令

H（x）=xlnx-x

G（y）=ylny-y

V（x，y）=dH（x）+bG（y）

则（3）式化为

V（x（t），y（t））=0

或者等价有V（x（t），y（t））=const

即定义在intR2+上的函数V沿方程组（1）和（2）的任何一条轨道取常数值，称这一常数为运动常数。

因为函数H（x）满足

=-1，=-<0

所以H（x）在点x=x达到极大，类似可知函数G（x）在点y=y达到极大，由此函数V（x，y）唯一的极大值在平衡点（x，y）达到，还可说明从平衡点（x，y）出发的任何一条射线，V（x，y）单调下降，因而集合{（x，y）∈intR2+：V（x，y）=const}是围绕平衡点的闭曲线，由于intR2+内的任何一组解必须保持在V（x（t），y（t））等于常数的集合上，因此随着时间的推移，解的代表点必然回到它的初始位置，因而轨道一定是周期的。

如上讨论说明，无论大鱼密度还是小鱼密度都是周期振荡的，而且振幅与频率都依赖于初始条件，然后可以说明：密度的时间平均值是与初始条件无关的常数，且等于相应的平衡值，即

x（t）dt=x，y（t）dt=y

此处t是解的周期，这一结论可按下述方式说明：由

（lnx）=a-by

积分，有

lnx（t）dt=（a-by（t））dt

即lnx（t）-lnx（0）=aT-by（t）dt

因为x（t）=x（0），上式给出

y（t）dt==y

类似的可以讨论x（t）的平均值。

利用上述结果，沃尔泰拉说明了战争期间大鱼密度上升的原因，捕捞的效果是降低小鱼生殖率，提高大鱼的死亡率。因此当考虑捕捞时，如上模型中的系数应当调整，方程（1）中的a应由a-k代替，k是某一正数，而（2）中的c则应由c+m代替，m是某一正数，而系数b，d反映大鱼、小鱼间的相互作用，故保持不变;与这组系数相对应，大鱼平均密度变为（a-k）/d，即低于停止捕捞时的值，小鱼的平均密度变为（c+m）/d，高于停止捕捞时的值，这样就说明了停止捕捞将使大鱼密度上升，小鱼密度下降。

如上讨论可适用于较（1）和（2）更为实际的描述生态活动的方程组，类似的讨论启示我们，要谨慎地使用那些无选择性的农药，因为这些农药既会杀死害虫，也会杀死害虫的天敌，产生类似捕捞鱼群的效果，使得害虫密度相对于天敌密度上升，就此而言这样施用农药的效果是值得怀疑的。对如上模型适当加以修正，还可以讨论生物种群间更复杂的共生、竞技或排斥关系。

【参考文献】

[1]葛渭高，李翠哲，王宏洲.常微分方程与边值问题[M].北京：科学出版社，2008.

[2]李大潜.将数学建模思想融入数学类主干课程[J].中国大学教学，2006（1）.

[3]张良勇，董晓芳.常微分方程的起源与发展[J].高等函授学报（自然科学版），2006（3）.