数学建模在高数教学中的应用

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摘 要：常微分方程是解决实际问题中最基本的数学理论和方法，方程求解后的结果代表了自然现象的内涵，工程中也经常用到常微分方程。在研究实际问题的过程中，我们要先建立起数学模型，然后对模型进行分析求解，因此，探讨常微分方程具有重要的现实意义。

关键词：常微分方程；模型构建；模型求解

中图分类号：O175.1 文献标识码：B 收稿日期：2015-12-15

一、数学建模在高数教学中的意义

数学建模是用数学的方法将特定对象的内涵完整、清晰而又简洁地表述出来。在高数教学中建模思想占据重要地位，它是将数据和实际问题相连接的纽带，以物理、化学为代表的自然科学和以金融、管理为代表的社会科学以及以机械为代表的工程学中都经常用到数学模型。

二、数学建模在常微分方程模型数值解法的应用

本文以商品价格为例探讨数学建模的实际应用。在完全的市场经济体制中，产品的价格由市场的需求决定：供大于求，产品价格自然上不去；求大于供，产品紧俏，价格自然下不来。换句话说，假定我们忽略一些影响产品价格不断波动的因素，仅考虑市场和产品因素，可以说，市场上供与求的关系一定程度上决定了产品的价格，然而，实际上，产品的价格受到多方面的影响，不会完全取决于市场需求，且产品价格也不是一成不变的，它会是一个波动值。

1.模型的构建

我们用数学模型来表示产品价格与市场需求的关系：设定时间为t，产品定价为p（t）。p（t）不等于生产厂家的价格定位，这时市场供需关系发生变化，供与求的不均衡会导致产品价格需要重新定价。在新的定价下，供需关系会再次产生变化，这样循环反复。因为供需关系的变化，产品的价格就是不断变化的，是动态的，我们发现产品价格p（t）和供求关系的比值—有正相关的关系，我们用f（p，r）代表市场需求，用g（p）代表向市场供应的产品数量（r为设定值），那么可得到下式

注意，p0代表产品在时间t=0的定价，α是正的实数。

从这里我们可以看出市场价格的模型是一个关于一阶常微分方程的数学模型，可以通过常微分方程的数值解法求解分析。

2.模型的求解

建立数学模型是为了用数学方法解决实际过程中存在的问题，数学建模即用数学语言将实际问题表述出来，这只是解决问题的第一步，这一部分需要我们明确建立模型的目的。同时要搜集大量的资料。还要建立研究对象之间的数学模型关系。然后再对数学模型进行求解，求解过程中需要应用数学理论和计算机技术，这个过程需要有扎实的数学理论基础以及个人的敏锐的观察力以及大胆的假设。高等数学教学中经常会出现理论知识过于丰富，但是实际应用程度却很低的情况，将数学建模应用于高等数学教学中，在解决实际问题过程中具有重要意义，能够利用它更好地分析实际问题并给出相应的结论。

参考文献：

[1]王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，1978.

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