初中数学几何证明题教学模式初探

梁锦斌

【摘要】 初中几何证明题不但是学习的重点。而且是学习的难点，很多同学对几何证明题。不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，部分学生对逻辑推理的证明过程几乎不会写，这样，导致大部分的学生失去了几何学习的信心，虽然新的课程理念要求，推理的过程不能过繁。一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整，教学中怎样才能把几何证明题的求解过程叙述清楚呢？根据教学经验，我在教学中是这样做的，希望与大家一起探讨。

【关键词】 读题 分析 规范书写 变式训练

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2015）04-049-02

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初中几何证明题不但是学习的重点。而且是学习的难点，很多同学对几何证明题。不知从何着手，一部分学生虽然知道答案，但叙述不清楚，说不出理由，部分学生对逻辑推理的证明过程几乎不会写，这样，导致大部分的学生失去了几何学习的信心，虽然新的课程理念要求，推理的过程不能过繁。一切从简，但证明的过程要求做到事实准确、道理严密，证明过程方能完整，教学中怎样才能把几何证明题的求解过程叙述清楚呢？根据教学经验，我在教学中是这样做的，希望与大家一起探讨。

1. “读”——读题

如何指导学生读题？仁者见仁、智者见智，我们课题组结合我们的研究和本校学生的实际，将读题分为三步：第一步，粗读（类似语文阅读的浏览）。快速地将题目从头到尾浏览一遍，大致了解题目的意思和要求；第二步，细读。在大致了解题目的意思和要求的情况下，再认真地有针对性地读题，弄清题目的题设和结论，搞清已知是什么、需要证明的是什么？并尽可能地将已知条件在图形中用符号简明扼要地表示出来（如哪两个角相等，哪两条线段相等，垂直关系，等等），若题中给出的条件不明显的（即有隐含条件的），还要指导学生如何去挖掘它们、发现它们；第三步，记忆复述。在前面粗读和细读的基础上，先将已知条件和要证明的结论在心里默记一遍，再结合图形中自己所标的符号将原题的意思复述出来。到此读题这一环节，才算完成。

对于读题这一环节，我们之所以要求这么高，是因为在实际证题的过程中，学生找不到证明的思路或方法，很多时候就是由于漏掉了题中某些已知条件或将题中某些已知条件记错或想当然地添上一些已知条件，而将已知记在心里并能复述出来就可以很好地避免这些情况的发生。

2. “析”——分析

指导学生用数学方法中的“分析法”，执果索因，一步一步探究证明的思路和方法。教师用启发性的语言或提问指导学生，学生在教师的指导下经过一系列的质疑、判断、比较、选择，以及相应的分析、综合、概括等认识活动，思考、探究，小组内讨论、交流、发现解决问题的思路和方法。

3. “述”——口述

学生学习小组推选小组代表，由小组代表分析自己那一组探究到的证明的思路和方法，口述证明过程及每一步的依据。我们知道学习语文、外语及其他语言都是从“说”开始学起的，那么学习几何语言，也可以尝试先“说”后写。初三的学生，可以让他们先在小组内自主探索、讨论交流，弄清证题思路，然后再让学生代表口述证题过程，达到训练学生应用和提高几何语言的表达能力的目的。

4. “择”——选择最简易的方法

在各位学生代表口述完解题过程后，教师引导学生比较、选择最简单的一种证题方法，这样做，不仅能帮助学生进一步理清证明思路、记忆相关的几何定理、性质，而且还增加了学生学习的兴趣和好奇心，从而激发学生学习的积极性和主动性。

5. “演”——板演

在学生集体复述解题的基础上，教师板演上述解题过程，给学生作证题的书写示范，让学生体会怎样合理、规范、科学地书写证明过程。

6. “练”——变式练习

变式，既是一种重要的思想方法，又是一种行之有效的教学方法。通过变式训练，在课堂上展现知识发生、发展、形成的完整认知过程。在教学实践中，我对于相似三角形的对应高，对应中线，对应角平分线的比与相似比的关系探索中，类比给出了对应边上的n等分线段的比与相似比的关系有怎样？启发学生思考相似三角形“对应元素”的比与相似比的问题，让学生深入思考问题的同时加深了对相似三角形性质的理解。

变式教学符合学生是认知规律，能有层次地推进，为学生提供一个求异、思变的空间，让学生把学到的概念、公式、定理、法则灵活应用道各种情景中去，培养学生灵活多变的思维品质，提高学生研究、探索问题的能力，提高数学素养，从而有效地提高数学教学效果。

因此，在学生获得某种基本的证法后，教师可以通过变式，改变问题中的条件，转换探求的结论，变化问题的形式或图形的形状位置等多种途径，指导学生从不同的方向、不同的角度、不同的层次去思考问题。

在此基础上，再让学生分组讨论，合作交流，做出更多的变式题目，并思考改变了已知或结论的题目又如何证明。“探索三角形相似的性质（一）”将采用“启发探究”式的教学法，通过“情境引入——探索交流——探索应用——拓展应用——收获体会——课堂延伸”的教学思路。本文对这个教学案例作简要分析，谈谈一些具体做法。（附讲学稿及相应教法体会和说明）§3.7.1相似三角形的性质（一）

一、教学目标：经历探索相似三角形中对应线段比值与相似比的关系的过程，理解相似三角形的性质；培养学生的探索精神和合作意识；在探索过程中发展学生对数学问题的兴趣和全面思考的思维品质；

二、教学方法：启发、自主探究与归纳

三、教学过程：

（一）温馨回顾

1.如图，△ABC≌△DEF，请写出△ABC和△DEF的对应角、对应边的关系（此处用类比方法复习引入，学生自主对照，选学生代表主持）。

2.如图，△ABC∽△DEF，请写出△ABC和△DEF的对应角、对应边的关系，（找对应关系是基本技能，小组简短交流，代表分析）。

（二）快乐探究

1.如图，ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比为k，AD、A′D′分别是这两个三角形的高。

①求证：ΔABD∽ΔA′B′D′；②求证：■=■=k

（此处可以开放式设计问题，即对应高的比等于什么）

自主小结：相似三角形的对应高的比等于______。

2.如图，ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比为k，AE、A′E′分别是这两个三角形的中线。

①求证：ΔABE∽ΔA′B′E′②求AE∶A′E′的比值。

（分小组研究，其他组完成后再参加讨论）

自主小结：相似三角形的对应中线的比等于 。

3.如图，ΔABC∽ΔA′B′C′，相似比为k，AF、A′F′分别是这两个三角形的角平分线。

①求证：ΔABF∽ΔA′B′F′②求AF∶A′F′的比值

（小组讨论代表分析证明过程，此处教师适当进行引导讲解

提高认识）

自主小结：相似三角形的对应角平分线的比等于 。

归纳与提升：现在，你了解到更多的相似三角形的性质了。

相似三角形对应 的比、对应 的比和对应 的比都等于 。

（阅读理解，总结与归纳，进一步理解相似三角形性质）

（三）例题欣赏

例1如图，AD是△ABC的高，点P，Q在BC边上，点R在AC边上，点S在AB边上，BC=60cm，AD=40cm，四边形PQRS是正方形。

（1）△ASR与△ABC相似吗？为什么？

（2）求正方形PQRS的边长。

（独立思考并集中分析，初步形成对于此类题型的解决方法）

例2（课本P107例题，自主阅读理解）

（四）学以致用（重点分析4，5题的解题思路）

1.如果两个相似三角形的对应高的比为2：3，那么对应角平分线的比是 ，对应边上的中位线的比是 。

2.△ABC与△A'B'C'的相似比为3：4，若BC边上高AD=12cm，则B'C'边上高A'D'= 。

3.如图菱形ABCD的边长为2，延长AB到E，EB=2AB，连接EC延长交AD线于F，试求DF的长。

4.如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm。要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上。求这个正方形零件的边长是多少？

后记

在教学过程中，我有意识地培养学生的独立思考和小组共同探究的新的学习方式的能力，培养了在学习过程的领军人物，他们超前学习，语言组织能力较强，独立和团结协作能力，讲题技巧得到进一步锻炼。当然，我在后面的发散变式探究中适当站出来明确方法的应用也恰如其分，让学生耳目一新，有顿悟的感觉。不但提高了能力，也扩展了知识视野。

[ 参 考 文 献 ]

[1]《六步式教学模式》.