关于双星问题的几点思考

王士昆

【摘要】本文从多个角度对双星问题进行了深入的研究。研究结果表明，建立物理模型和灵活地运用物理方法是很重要的。这对新课标形式下的物理教学有一定的意义。

【关键词】双星模型 圆周运动 束缚态

【中图分类号】G633.7 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2015）03-0176-01

一、问题的提出

在天体运动中，将两颗彼此相距较近的行星称为双星。它们在相互的万有引力作用下间距保持不变，并沿半径不同的同心圆轨道做匀速圆周运动。如果双星间距为L，质量分别为M1和M2，试计算：

（1）双星的轨道半径；

（2）双星的运行周期；

（3）双星的角速度。

（4）双星的线速度。

二、问题的求解

分析：双星系统中，两颗星球绕同一点做匀速圆周运动，且两者始终与圆心共线，相同时间内转过相同的角度，即角速度相等，则周期也相等。但两者做匀速圆周运动的半径不相等。

对M1：G■=M■r■■ 对M■：G■=M■r■■

由几何关系：r1+r2=L

解得r1=■L，r■=■L，

T=2π■， ω=■=■。

v■=r■ω=M■■，v■=r■ω=M■■。

推论一：质量和M1+M2=■

推论二：v∝r∝■

a∝r∝■

（由M1r1=M2r2得r∝■，又v=rω，a=rω2，∴v∝r∝■，a∝r∝■）

三、应用

例1：我们的银河系的恒星中大约四分之一是双星。某双星由质量不等的星体S1和S2構成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为 （D）

A.■ B.■ C.■ D.■

解析：双星的运动周期是一样的，选S1为研究对象，根据牛顿第二定律和万有引力定律得■=m■r■■则m2=■故选项D正确。

例2：两颗靠得很近的天体称为双星，它们都绕两者连线上某点做匀速圆周运动，因而不至于由于万有引力而吸引到一起，以下说法中正确的是（BD）

A.它们做圆周运动的角速度之比与其质量成反比

B.它们做圆周运动的线速度之比与其质量成反比

C、它们做圆周运动的加速度与其质量成正比

D、它们做圆周运动的半径与其质量成反比

提示：由推论二知BD正确。

例3：双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动。研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化。若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量为原来的k倍，双星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为（B）

A.■T B.■T C.■T D.■T

提示：由推论一知B正确。

例4：如右图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速周运动，星球A和B两者中心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。

（1）求两星球做圆周运动的周期。

（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行为的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期T2。

已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg 和 7.35 ×1022kg 。求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）

解：（1）（考题建模）

对A：■=mr（■）■①

对B：■=Mr（■）■② 解得T=2π■

对A、B：L=R+r ③

（考生建模）

a.建立双星模型。由（1）的结论得：T=2π■④

b.建立行星模型

■=m′（■）■L′⑤ 解得T2=2π■⑥

由④⑥式得（■）2=1+■ ⑦，解得（■）2=1.012，结果只有1%的差别。

评价：同一情景建立不同模型，只要合理就不影响最后结果，因此模型越简单越好，这就是我们经常把地月系统近似为行星模型的原因。

五、总结

本文以双星模型为载体结合近几年高考的相关习题渗透了高考的命题思想，这对新课标体系下的物理教学有一定的指导意义。