对一个竖直轨道内圆周运动极值问题的探究

摘 要：针对小球沿竖直平面内的圆形轨道的变速圆周运动问题，探究了小球在运动过程中对圆周轨道斜向上的弹力在竖直方向的分力存在最大值的位置以及在小球运动的过程中圆形轨道不从地面上跳起的条件.

关键词：竖直轨道；圆周运动；极值条件；不跳起

例题 如图1所示，质量为 的立方体物块放在水平地面上直立的两块光滑挡板之间刚好接触，物块的内部有一半径为 的竖直光滑圆槽.质量为 的小球放在槽底，现给小球一个初速度 ，在小球做圆周运动的过程中物块一直静止在地面上，试求：若小球运动到轨道最高点时立方体物块对地面的压力刚好为零，则初速度应满足什么条件？当 （ 为正整数且1≤ ≤5）时，对应的初速度分别为多大？

解析 只有小球运动到水平直径上方轨道的某位置时，对立方体物块弹力的竖直分力才能竖直向上，使物块对地面的压力减小，如图2所示.设小球从最低点运动到与圆心连线跟竖直方向的夹角为 时，速度为 ，受到轨道的弹力为 ，由牛顿第二定律和向心力公式有

（1）

由机械能守恒定律有

（2）

联立方程可得小球对轨道的弹力大小为

弹力的竖直分力大小为 ，即

（3）

当物块对地面的压力刚好为零时有 ；当小球运动到轨道最高点时 ，则 .由此得

（4）

所以 ， 为正整数且1≤ ≤5.

探讨 虽然理论上算出小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力刚好为零，但在实际上小球到达轨道最高点之前，物块可能已经跳起，而题中指明物块一直静止在地面上.因此该题结果不完全正确，需分析小球到达轨道最高点或在小球到达最高点之前物块一直不跳起的条件，下面从多角度进行探究.

一、若在小球运动过程中物块始终不离开地面，则小球的初速度和二者的质量应满足什么条件？

物块始终不离开地面的受力条件是

≤

即 ≤

设 ，由均值不等式可知 有最小值，极值条件为 ，即 .

当 < 时， <1，则 ，即小球运动至与圆心连线跟竖直方向夹角为 时， 有最小值， ，则 ≤ ，

可得 ≤ . （b）

当 ≥ 时， ≥1，由于 ≤1，则当 时，即当 时，亦即小球运动到轨道最高点时， 有最小值， ，则 ≤ ，

可得 ≤ . （c）

例如，当 时， < ，由 ≤ 得初速度的最大值为 ，物块刚好不跳起，此时小球的位置满足 .又如，当 时， > ，由 ≤ 得初速度的最大值为 ，物块刚好不跳起，此时小球的位置在轨道的最高点.

二、若在小球运动过程中物块对地面压力的最小值刚好为零，则小球的初速度和质量满足什么条件？

物块对地面的压力最小值包括三种情形：若压力的最小值大于零，则物块不跳起；若压力的最小值小于零，则物块跳起；若压力的最小值等于零，则物块刚好不跳起.

对不等式（b）取等号，可知在小球运动过程中物块对地面压力的最小值刚好为零时小球初速度满足的条件为

（5）

物块刚好不跳起时小球的位置满足

（6）

余弦函数 的最大值为 ，由此式可得质量关系为 ≤ ，这是（5）式成立的前提条件.

对于特殊情形，当 时，由（6）式得 ，由（5）式得 ，因此当 且 时，在小球运动到轨道最高点时，物块对地面的压力刚好取最小值且为零，则物块一直没有离开地面.

三、若小球运动到轨道最高点时物块对地面压力最小且一直不跳起，则初速度和质量满足什么条件？

对不等式（c）取等号，可知小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力为零的条件是 ，那么此时物块对地面的压力为零而且物块一直不跳起的条件是 且 ≥ .由此可知原题的正确答案为： ， 取正整数且3≤ ≤5.

当 ≥ 时，有 ≥ 成立，所以，若小球运动到轨道最高点时物块对地面压力有最小值，而且物块一直不跳起，则小球的初速度取值范围是

≤ ≤ （d）

将式（3）变形为 ，竖直分力 的表达式是关于 的一元二次函数 ，由于 <0，则 图象是开口向下的抛物线，有最大值，由对称轴坐标公式 可知

（7）

这就是小球在初速度一定的情况下，弹力的竖直分力取最大值时小球与半径的连线跟竖直线夹角的公式.小球在该位置时物块对地面的压力取最小值，但不一定为零，或者物块有可能离开地面.

由式（7）可知，若 ，则当小球到达轨道最高点时物块对地面的压力刚好最小；对于初速度取值范围 ≤ < ，小球做完整的圆周运动，当小球运动到轨道最高点之前的某个位置满足 时物块对地面的压力最小；若 > ，则当小球到达轨道最高点时物块对地面的压力最小，不一定为零.而物块是否离开地面，取决于二者的质量之比.

上述推论涉及到4个初速度的关系式，其含义各不相同，可简要归纳如下：

1. ，是小球刚好能做圆周运动的条件，这是初速度的最小值；在此情况下物块刚好不跳起的条件是 ，始终不跳起的條件是 ≥ .由 可知弹力的极值位置在 .

2. ，是小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力刚好达到最小值的条件；物块一直不跳起的条件是 ≥ .

3. （ ≤ ），是小球运动到轨道最高点之前时物块对地面压力的最小值刚好为零的条件，这是初速度的最大值，则物块一直不跳起的条件是 ≤ （ ≤ ）.

4. （ ≥ ），是小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力刚好为零的条件，这是小球初速度的最大值，则物块一直不跳起的条件是 ≤ （ ≥ ）.

总之，当初速度一定时，物块是否跳起与二者的质量有关.对于 ≤ ≤ ，极值位置公式为 ；对于 ≥ ，极值位置在轨道的最高点.当质量一定时，物块是否跳起与小球的初速度有关.对于 ≤ ，极值位置公式为 ，若 ，则物块刚好不跳起；对于 ≥ ，极值位置在圆轨道的最高点，若 ，则物块刚好不跳起.

原题新解 小球运动到轨道最高点时物块对地面的压力为零的条件是 ，而小球在运动过程中到达轨道的最高点时物块对地面压力取最小值的条件是 ≥ ，由于物块一直不跳起，则小球到轨道最高点时物块对地面的压力达到最小值而且为零，因此初速度同时满足这两式，由 ≥ 得 ≥ .这是小球在运动过程中对轨道的竖直压力在轨道最高点时取最小值而且为零的质量条件.所以原题正确答案为： 且 ≥ ，即为： ， 取正整数且3≤ ≤5.可得具体数值为：若 ，则 ；若 ，则 ；若 ，则 .

拓展应用 若 或 ，则物块对地面压力的最小值各是多少？不跳起的条件为何？

解析 由于 < ，因此小球在到达轨道最高点之前时物块对地面的压力有最小值，可将 代入（7）式得出极值条件 .由（3）式可知 ，则物块对地面的压力最小值为 ，可知物块刚好不跳起的条件是 ，那么物块不跳起的条件是 ≥ .也可利用式（5）求物块不跳起的条件.

由于 > ，因此小球运动到轨道最高点时物块对地面压力有最小值，此时 ，代入（3）式得 ，则物块对地面压力的最小值为 .可知物块不跳起的条件是 ≥ .也可利用不等式（d）求物块不跳起的条件.

对于以上各问题，解答思路的共同点是首先利用牛顿第二定律、向心力公式和机械能守恒定律推导出弹力在竖直方向的分力大小的关系式（3），然后在此基础上利用不同的已知条件或不等式结论进行求解.

总之，在解题时要全面考虑小球的初速度、极值位置以及二者的质量关系，还要注意题中各种关键词（如对地面压力的最小值、压力为零、压力的最小值刚好为零；物块不跳起、物块刚好不跳起、物块一直不跳起等）的含义.而有关物块不跳起的条件包括两方面，即速度条件和质量条件，还要考虑到极值位置.

参考文献：

[1] 罗定浩，辜振军.竖直平面内圆周运动的极值问题分析[J].物理之友，2016，32（9）：45，48

[2] 陈斌.滑板运动员对圆弧轨道最高点压力多大（二）[J].物理教学，2007，29（11）：51～52

[3] 唐保平.对一个圆周运动临界问题的讨论[J].数理天地，2013，（2）：35

[4] 金逊.最容易跳起的位置在最高点吗[J].物理教师，2014，35（3）：55～58

[5] 赵和平.对一道竖直平面内圆周运动问题的错解剖析[J].物理通报，2014，33（8）：128～129

[6] 郭亚锋.对一道易错题的分析[J].物理教师，2014，35（5）：52

作者简介：郑金（1966年—），男，辽宁省朝阳市凌源市，大学本科，理学学士，高级讲师，中国物理学会终身会员，《物理通报》第九届编委（2013～2016年）。自2000年以來，在多种报刊杂志发表有关物理和数学方面的教育科研论文380余篇。参编教辅图书2册：《高考物理1.5轮》（2016年1月）和《手把手教你解高中物理题》（2016年5月）。

工作单位：辽宁省凌源市职教中心

收件地址：辽宁省凌源市东环路天宝小区B座一单元 邮编：122500 联系电话：13470222662

E-mail：13470222662@163.com