浅议微积分在高中物理教学中的应用

赵士魁+任娟+林建良

摘要：高中数学选修部分的微积分知识是帮助学生解决高中物理问题、理解物理概念的重要工具，笔者把微积分的知识应用到课堂物理知识点的讲解和物理问题的解决中去，联系高考和全国物理竞赛，为高中生今后学习大学物理知识做出了很好的铺垫。

关键词：微积分；物理教学；圆周运动；高考

一、引入微积分让学生深入理解物理公式

1. 圆周运动

圆周运动中的线速度：为了描述物体经过某位置附近运动的快慢，可以取一段很短的时间 ，物体在这段时间内通过的弧长为 。比值 反应了物体运动的快慢，叫做线速度，用 表示，即 ，线速度也有平均值和瞬时值之分。如果所取的时间间隔很小，这样得到的就是瞬时速度，按照微分的形式为： ，角速度可以表示为： ，而 ，所以 从而得到 就是线速度和角速度的关系。

2. 匀速圆周运动向心加速度的证明

人教版必修二中指出：匀速圆周运动向心加速度表达式 可以从加速度公式 导出 ，但是并没有进行详细证明，粤教版必修二也没有严格的证明，下面笔者将利用微积分来证明匀速圆周运动向心加速度表达式。因为是匀速圆周运动，所以

，时间极短易知：

再根据牛顿第二定律就可以得出向心力的表达式： 的结果 。

3.交流电有效值

大家比较熟悉是正弦交流电，电流峰值和有效值关系是： ，其实余弦交流电也是一样的，下面进行证明。

交流电的有效值是根据电流的热效应来定义的，假设流过定值电阻的电流函数为余弦函数， ， 时刻的瞬时功率为

而

代入得

在一个周期内电阻 上产生的热量为

所以

假设有一个恒定电流 与其等效，在一个周期内的热量 为，且 ，所以 。

通过微积分计算，学生对这些基本公式有了深层次的理解，有助于他们的记忆和运用。

二、微积分为高中物理题目带来新的解法

由数学知识可知，求某函数的极值时，可先令此函数的一阶导数为零，找到自变量的取值，再求此值下的函数值即为最值。利用微分解释有关函数极值问题，可以加深学生对物理意义的理解，避免繁杂的计算，提高解题效率。

例1：一小汽车从静止开始以 的加速度启动，恰有一自行车以 的速度从车边匀速驶过，汽车在追上自行车前经过多长时间后两者距离最远？此时距离是多少？

分析与解 t时刻两者的距离为：

对 求导得：

令：

=0，

可得： ，把 带入原式得：

例2：一小物塊以速度 沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上并由高台上飞出，如图所示.问高台的高度 多大时，小物块飞行的水平距离 最大？这个距离是多少？（ 取 ）

分析与解 设小物块刚脱离曲面顶部的速度为 ，根据机械能守恒定律得：

○1

小物块做平抛运动的水平距离 和高度 分别为：

， ○2

。 ○3

以上三式联立解得：

令 ，对 求导得：

当导数等于零，即 时飞行距离最大，代入计算：

三、微积分在高考和全国物理竞赛试题中的应用

近年来，全国物理高考和全国物理竞赛都出现了考察微积分的题目，而且分值较重，笔者认为：微积分在物理题目中的应用将是未来高考和竞赛考察的重点，值得大家思考。

例1：（2016年普通高等学校招生全国统一考试）某游乐园入口旁有一喷泉，喷出的水柱将一质量为M的卡通玩具稳定地悬停在空中。为计算方便起见，假设水柱从横截面积为S的喷口持续以速度v0竖直向上喷出；玩具底部为平板（面积略大于S）；水柱冲击到玩具底板后，在竖直方向水的速度变为零，在水平方向朝四周均匀散开。忽略空气阻力。已知水的密度为ρ，重力加速度大小为g.求

（i）喷泉单位时间内喷出的水的质量；

（ii）玩具在空中悬停时，其底面相对于喷口的高度。

分析与解：（i）在时间间隔 时间内，可以为喷泉喷出的水柱保持速度 不变。

该时间内，喷出水柱高度： ①

喷出水柱质量： ②

其中 为水柱体积，满足： ③

由①②③可得：喷泉单位时间内喷出的水的质量为

（ii）设玩具底面相对于喷口的高度为

由玩具受力平衡得： ④

其中， 为水体对玩具底部的作用力。

由牛顿第三定律： ⑤

其中， 为玩具底部对水体的作用力。

为水体到达玩具底部时的速度

由运动学公式： ⑥

在很短 时间内，冲击玩具水柱的质量为

⑦

由题意可知，在竖直方向上，对该部分水柱有动量定理

⑧

由于 很小， 也很小，可以忽略

⑧式变为 ⑨

由④⑤⑥⑦⑨可得

例2：（第32届全国中学生物理竞赛复赛理论考试试题）如图， 单原子理想气体构成的系统分别经历循环过程 和 。已知理想气体在任一缓慢变化过程中，压强 和体积 满足函数关系 。

（1）试证明：理想气体在任一缓慢变化过程的摩尔热容可表示为

式中， 和 分别为定容摩尔热容和理想气体常数； （2）计算系统经 直线变化过程中的摩尔热容；

分析与解：（1）根据热力学第一定律，有

实践证明：把数学微积分知识渗透到高中日常物理教学中来，可以帮助学生简便地解决高中物理问题、深层次理解物理概念，对学生的高考和物理竞赛有很大帮助，对高中物理与大学物理的衔接也有积极作用。

参考文献

[1] 人民教育出版社、课程教材研究所等.普通高中课程标准实验教科书 物理2 （必修 ）[M].第3版.北京：人民教育出版社， 2010：20.

[2] 张三慧.大学物理第一册 力学[M].第2版.北京：清华大学出版社， 1999：33-38.

[3] 同济大学应用数学系.高等数学[M].第5版.北京：高等教育出版社， 2001：186.

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