教给学生数学的思想和观念

【关键词】数学思想;初高中衔接;教学设计

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】1005-6009（2015）18-0054-03

【作者简介】陈柏良，浙江省绍兴市高级中学（浙江绍兴，312000）教师，浙江省特级教师。

2014年10月，笔者应邀参加了江苏省第26届“教海探航”征文颁奖大会暨苏派与全国名师课堂教学观摩研讨活动，在此期间开设了一节“函数的最值问题——以二次函数为例”的示范课。该课既是初中二次函数知识的拓展课，也是初高中知识的衔接课。由于授课对象是初三学生，因此在课堂上避免使用“单调性”和“闭区间”等术语。本文将授课内容进行归纳与总结，以供参考。

一、教学设计

1.内在逻辑线索。

2.教学过程设计。

简短的导语后，让学生说一说下列函数的最值情况。

【设计意图】给出学生熟知的三个函数解析式和图象，让学生观察、分析、表达各自的最值情况。师生共同提炼如何从“形”和“数”两个方面对函数的最值情况进行分析与判断。例如，对函数（3），既要能从解析式的特征上进行分析，得出y=（x-3）2-4≥-4，即当x=3时，函数有最小值-4;又要能从图象特征上进行分析，得出：当x≤3时，函数值y随着自变量x的增大而减小;当x>3时，函数值y随着自变量x的增大而增大。故当x=3时，函数有最小值-4。

教师指出，“形”是“数”的几何反映，“数”是“形”的代数刻画，它们是同一事物的两种不同表现形式。在分析问题中常采用“数形结合”的方法，本节课将以二次函数y=x2-6x+5为例，进一步探讨函数的最值问题。课上重点关注求最小值，最大值的求解留给学生课后探究。

问题1：当1≤x≤2时，求函数y=x2-6x+5的最小值。

该问题解答后，将自变量的取值范围分别变更为“1≤x≤4”和“4≤x≤6”，让学生继续思考与分析。

【设计意图】给定二次函数的解析式和自变量的取值范围，让学生求最值，其间通过变更自变量的取值范围引导学生分辨函数值是如何随着自变量的变化而变化的，列出几种不同情况，从中领悟出求二次函数最值的基本思想和具体方法。本问重在对知识的操作性理解，即让学生懂得数学的基本概念、原理和方法，能够运用所学知识解决一些识记性与操作性步骤比较强的简单的问题。这里可先画图，然后截取自变量取值范围内的一段图象，观察分析。然后引导学生反思与感悟。

二次函数的解析式确定，如何求它在某一给定自变量取值范围内的最值？

在学生表达、交流的基础上，师生共同概括出以下两点：（1）求解的本源在于“探明”在自变量的取值范围内函数值的变化规律;（2）关键在于弄清楚自变量的取值范围与对称轴的相对位置。

问题2：已知a为实数，当a≤x≤a+4时，求函数y=x2-6x+5的最小值。

【设计意图】给定二次函数的解析式，但自变量的取值范围从“确定”变更为“不确定”，让学生从“问题1”概括出的思想和方法中受到启发，进行画图（数形结合），分类讨论求解。本问重在对知识的关系性理解，即学生对数学知识的本质有比较深刻的认识，能够把握数学知识之间的内在联系和规律，能够运用（上一题）所学知识解决一些较综合性问题。

接着，引导学生归纳：二次函数的解析式确定，如何求它在某一自变量取值范围内的最值？

教师仍引导学生从求解的“思想”和“方法”两个视角加以概括，概括出以下两点：（1）求解的本源在于“探明”在自变量的取值范围内函数值的变化规律;（2）关键在于弄清楚自变量的取值范围与对称轴的相对位置。

为检测学生是否领悟了以上的思想和方法，教师可提出如下问题供学生思考。

思考：已知a为实数，当a≤x≤a+4时，如何求下列函数的最小值？（仅要求谈思路）

【设计意图】置换函数背景，给学生创设应用知识的新情境，让学生面对陌生的函数图象，继续思考如何求函数在某一自变量取值范围内的最小值。本问重在对知识的迁移性理解，即学生是否深刻理解数学知识，能否将数学思想、方法以及所学数学知识迁移到别的情境。然后，引导学生进一步归纳：函数的解析式确定，如何求它在某一自变量取值范围内的最值？

教师仍引导学生从求解的“思想”和“方法”两个视角加以概括，概括出以下两点：（1）求解的本源在于“探明”在自变量的取值范围内函数值的变化规律;（2）关键在于弄清楚自变量的取值范围与“关键点”的相对位置。

教师引导学生进一步认识，在“问题1”与“问题2”中，对称轴不是主要的，主要的是二次函数的一个“顶点”，关键在于弄清楚自变量的取值范围与“顶点”的相对位置。“顶点”在自变量的取值范围内，还是在自变量的取值范围外？而对于一般函数，则关键是寻找使函数值变化规律发生变化的“关键点”，自然引出分类。

问题3：当1≤x≤4时，求函数y=x2-6x+m的最小值。

学生回答后，将函数解析式变更为y=x2-mx+5和y=mx2-6x+5（m≠0）。

【设计意图】将二次函数的解析式由“确定”变更为“不确定”，让学生继续研究如何求函数在某一确定自变量取值范围内的最小值，以检测学生是否“内化”了领悟的思想和方法。解析式中的参数从常数项置换到一次项处，再到二次项处，不同的位置影响着函数的“顶点”的变化与否？思维含量逐渐增加，尤其是实数m作为二次项系数时，分类讨论更为复杂，出现了二级分类（两次讨论），使问题的探究更为深入，更有意义。

求解后，再引导学生归纳：二次函数的解析式不确定，如何求它在某一确定的自变量取值范围内的最值？

教师仍引导学生从求解的“思想”和“方法”两个视角加以概括，概括出以下两点：（1）求解的本源在于“探明”在自变量的取值范围内函数值的变化规律;（2）关键在于弄清楚开口方向及自变量的取值范围与“顶点”的相对位置。

在完成以上3个问题的求解和概括后，教师引导学生回顾本节课研究的思路、所学的知识和领悟的思想、方法。特别地，通过对二次函数最值问题的研究，让学生领悟求一般函数最值问题的思想和方法，即求解的本源在于“探明”在自变量的取值范围内函数值的变化规律;关键在于弄清楚自变量的取值范围与“关键点”的相对位置，即寻找“单调性改变的点”在哪里？在闭区间内，还是在闭区间外，自然引出分类。同时深刻地体会“数形结合”和“分类讨论”思想。

二、关于设计的几点思考

1.在教学立意上，旨在让学生领悟“大”的东西。

中国画论有“意在笔先”一说，意指完成一幅作品，事先有立意：想表达什么意象？借什么具象来表达？怎样构图？怎样使用画语等等。有了这些主观的构思，将之烂熟于胸，再提笔追写，方能得其形神。数学课堂教学也是如此，上课前，我们得深入思考：本节课该设定怎样的教学目标？培养学生哪些数学思维能力？在发展学生的智力、培育学生的理性精神上能做点什么？如何让更多的学生在课堂上经历和体验知识发现的乐趣？如何让更多的学生通过课堂上的学与教获得发展？有了这些认识和思考后，再合理设计教学程序和方法，方能实现数学课堂教学的优质与高效，实现数学教学的“育人”目标。

本节课，笔者的立意是以二次函数为载体，研究函数在自变量取值范围内的最值问题。教学不拘泥于二次函数的“羁绊”，而是通过对学生熟悉的二次函数最值问题的剖析，让学生领悟到求一般函数在自变量取值范围内的最值问题，这是更为一般意义上的“大”的东西。数学教学要有模型思想，要培养学生对知识的迁移能力，让学生能一般性地思考问题，只有当学生认识到一个原理可运用于各种不同的学习情境，并能运用它们使能力有效提高时，这些原理和知识才能算真正掌握并有实用价值，数学课堂教学才真正体现出它的高效率和高质量。

2.在教学内容上，善于将“米”酿成“酒”。

有这样一个故事：一个徒弟去问他师傅，一碗米值多少钱？师傅说，一碗米，这太难说了，看在谁的手里。要是在一个家庭主妇手里，就是一碗饭的价值。要是在有点脑子的小商人手里，用粽叶包成粽子，就是四五块钱的价值。要是到一个更有头脑的大商人手里，酿成一瓶酒，有可能是一二十块钱的价值。所以，一碗米到底值多少钱，因人而异。但可以说明的是：加工的时间越短，费的心思越少，越接近原来的形态，它的价值就越低。对教材内容的加工处理亦如此。面对同样的教材内容，我们要有将其“酿”成酒的意识。这实际上也是解决好一个“教什么”的问题，“教什么”始终比“怎么教”重要。从“教什么”的角度看本节课，教师先通过一个显而易见的例子（问题1），给定二次函数的解析式和自变量的取值范围，引导学生分析求解的原理和方法;然后用提炼出的原理和方法去解决后续问题2;接着拓展到对一般函数的最值的探究和对含参二次函数最值的探究。教学时从特殊到一般，从具体到抽象，逐步深入，揭示问题求解的本源和方法。

3.在教学目标上，着意教给学生数学的思想和观念。

作为数学教师，要经常思考这样几个问题：我们该以怎样的方式教好数学？学生该以怎样的方式学好数学？我教的课是数学课吗？要教好数学就要充分关注数学的思想和观念，在教学目标上就要突出教给学生数学的思想和观念。教师通过知识这一载体，传达给学生学科的观点，学科的思想，让学生能够通过我们的教学，对数学问题的理解更加深刻，解决问题的方法更具有普遍意义，更符合数学学科的特点和逻辑。本节课在如何达成这一教学目标上构思简单，逻辑清晰。本节课整个教学设计有一条主线贯穿，让人一下子能识别和读懂求函数最值问题的“核心”和“精华”。整个设计从教学起点，到教学过程，再到教学结果，各个环节清清楚楚，自然流畅。学生逐步建构起一般函数求最值问题的思想观念。

4.在教学实施上，始终做到“近人情”。

清代张问陶《论诗绝句》中有曰：“好诗不过近人情。”其实，好课也不过近人情。课堂的近人情就是以学生为本去组织课堂教学。课堂上，教师心中要始终装着学生，否则再巧妙的教学方法、教学技巧，失去这个根本就会变得毫无意义。“皮之不存，毛将焉附？”就是这个道理。本节课的设计，尽显“以生为本”的理念，首先从浅显的问题入手，设问在学生思维的最近发展区，从学生原有的知识经验中孕育新知识和新经验。其次，本课的问题设计逐渐深入，尊重学生的认知规律，并且在教学中始终尊重学生的思维，让学生先思考、先表达，不局限于对问题求解思路、方法和结果的表达与交流，也关注到了学生在学习过程中的感受、情绪、认识、想法和念头的表达与交流，包括分析、评论、欣赏、赞叹等等，即情绪体验的表达与交流。笔者认为，在平时的日常教学中，教师要多给学生表达和交流的时间和空间，要多倾听学生的思维成果，由于学生都是在自己已有认知结构的基础上进行新的学习，他们对同样的知识会有不同角度的理解，课堂上的表达与交流可以使师生获得同一知识的不同侧面理解的信息，显然这对于知识的全面理解是极有好处的。另外，本节课中，笔者经常问学生：你是怎么想的？大家都是这么想的吗？笔者认为，这样的“追问”，在促使学生“再想一想”的同时，往往会捕捉到学生“高水平的思维”，有时也会常常让人“眼前一亮”。