运用发散法提高学生解题能力

俞烽

【摘要】高中数学知识是一个环环相扣的整体，每一个知识点之间的内在联系都非常紧密，一道數学题通常会涉及多个知识点，要想完整地解题，就需要学生要有较强的发散能力，在有充足的知识储备的前提下，将各个知识点有机地联系起来.因此，学生的数学发散性思维就显得特别重要了，培养学生的数学发散能力成为高中数学教学的主要目标之一.本文将从几个方面来谈谈如何利用学生的发散性思维，来学习高中数学，发挥学生的发散能力，提高解题能力.

【关键词】高中数学；发散能力；解题能力；学习方法

受到传统应试教育思想的影响，部分高中数学教师在日常教学中，过于强调学生应试技巧的训练，让学生在固化的模板内反复训练，而忽略了学生的数学思维的培养，导致学生的思维被局限在一个狭窄的范围内，缺乏思维发散能力.学生在题海战术中，只是每做一题算一题，而没有捉住知识点之间的联系和题目与题目之间的联系.这样的学习方法，不但浪费大量的时间而且效果也不好.长时间这样下去，便会降低学生对数学学习的积极性，最终导致数学成绩下降.

在素质化教育的今天，培养学生的思维能力成为数学教学的第一目标.在保障学生的数学思维充分发展的前提下，加强发散性思维训练，使学生能捉住题目的内在联系，达到提高学生解题能力的目标.接下来，笔者将结合自身的教学经验，总结出四种有效的发散思维方法，来提高学生的发散能力和解题能力，供各位同仁参考与借鉴.

一、直接发散法

直接发散法是在题目本身提供了足够多的已知条件的前提下，直接联系到相对应的数学概念和公式，以此来寻找关系，是比较简单而直接的发散思维方法.这一种方法不需要太复杂的逻辑思维，只需要学生掌握基本的数学知识就可以完成.在习题中，用这种方法可以解决基础类的题目，这一类题目本身比较简单，教师可以在讲解完新知识后，及时用这类题目来巩固学生的基础知识.

比如以下的题目：

例1 已知两集合分别是P={x|x2≤1}，M={a}，则a为何值时，有P∪M=P？

例2 向量a=（3，1），b=（0，-1），c=（k，3），且a-2b与c共线，求k的取值.

例3 在△ABC中，b=5，∠B=π4，tanA=2，求sinA和a的值.

例题1，由题意可知这是一道与集合有关的问题，可以直接联系到集合有关的知识.我们可以由P∪M=P推出MP，所以根据集合的知识容易求得a要满足的条件，即a2≤1，a的取值就很容易算出.

例题2，这是一道向量问题，涉及向量平行的判定知识，由题意可知a-2b=λc，所以我们可以列出方程求出k的取值.

例题3，题目与三角形的三角函数有关，并且求的是长度和正弦值，因此可以发散到解三角形有关的知识.在解三角形的公式中，主要是正弦定理和余弦定理，以及基本的三角形面积公式.题目中求正弦那么可以确定和正弦定理有关，对于sinA，我们用三角形诱导公式可以求得.

上述三道题，都可以经过简单的发散，联系到相关的知识和公式.这类题型考查的是基础知识的掌握情况，应该作为学生的基础训练，强化学生的直接发散思维能力.

二、间接发散法

有些题目的表层含义很模糊，不容易摸透题目的本质，这就需要利用语言的间接发散能力，通过题目中的文字语言描述或者是图形语言描述的内容来进行间接的发散.这类题是考试的难点，需要学生对题目有较深入的理解，对题目进行一定的提炼、转换、类比等才能解得答案.

比如以下几题

例4 设y=f（x）的函数周期为2，且存在x∈[-1，1]，f（x）=x2，求函数y=f（x）和y=|lgx|的交点个数.

例5 假设y=f（x）的函数图像关于直线x=a以及点（b，0）对称，试证明：原函数的周期是4|a-b|，（a≠b）.

例题4，由题意可知这是一道涉及对数函数的题目，直接用代数方法很难进行计算.此时需要教师引导学生发挥语言间接发散能力，将文字语言转换为图像语言，画出坐标轴和函数图像，利用特殊点找出两图像的位置关系，然后进行定性判断，求出答案，如下图.

例题5，可以用作图法证明，但是这样不够严谨，学生也不会信服.教师要从代数的知识出发，进行推理，引导学生将文字语言转换为代数语言，就像看到f（x）关于x=a对称，就可以转换为f（x+a）=f（a-x）.此题也需要进行转换后才能求解，教师应该在日常训练中注意这方面的训练.

三、抽象发散法

当题目中没有明显提及相关的知识点，但通过题目条件进行抽象后，可以找出题目内在关系，以此来寻找题目的着手点.这就需要学生发挥抽象发散能力，挖掘题目深处的本质，对学生的观察能力和抽象概括能力要求比较高.这类问题目在考试当中占绝大部分，同时对这类题目的训练，是学生思维能力提高的关键，教师需要重点对这类题目加以辅导，帮助学生突破思维障碍.

比如以下几题：

例6 当x，y∈[-π4，π4]时，有8x3-lg1-2x1+2x+sin2x=y3-lg1-y1+y+siny，则2x-y的值为多少？

例7 函数f（x）=ax4+bsin3x+cx3+dx+2满足f（1）=7，f（-1）=9，且f（-2）+f（2）=124，求f（2）+f（-2）.

例题6，从题目的形式上来看也比较难的题目，学生会有种无从下手的感觉.此时，教师要引导学生发挥抽象发散能力，对原式进行仔细的观察，并加以抽象处理，可以联想到等式左边是关于2x的表达式，右边是关于y的表达式，且等式两边的表达形式是一样的.由此我们可以大胆地推出：f（x）=x3-lg1-x1+x+sinx，因此，原式就可以转换为f（2x）=f（y）的形式.接着由原函数的单调性，可以推算出函数变量和函数值的关系，最后便可解得答案.

例题7，题目中涉及的未知数比较多，但給定的已知条件无法列出相对应的方程来求解，因此，这道题无法通过直接列方程解答.教师应该引导学生重新观察题目，进行抽象概括，发挥思维发散能力，可以联系到f（1）和f（-1），f（2）和f（-2）具有对称关系，那么就可以用偶函数的性质，通过整体法代入即可解得.

上述两题都是比较难的题目，要求学生发挥一定的观察能力和抽象能力，在此基础上进行思维的发散，还能联系到对应的知识点，找到解题的切入点.抽象发散对于解析几何和三角函数类的题目尤为有效，在日常训练中需多加练习.

四、综合发散法

对于一些综合性强，涉及知识点多的题目，就需要学生从问题出发或者从结论出发，进行逆向的综合发散，以此来将已有的知识、已做过的题型、已形成的思路联系起来解题.

例8 设在实数范围内，y=f（x）为周期函数，T=5，在x∈[-1，1]内，y=f（x）是奇函数，在[0，1]内是一次函数，在[1，4]内是二次函数，在x=2时有最小值-5.

（1）证明：f（1）+f（4）=0；（2）求f（x）在[1，4]的解析式；

（3）求f（x）在[4，9]的解析式.

对于这题，信息量比较大，需要学生往几个方面发散思维：

方向一：由周期为5，可得f（x+5）=f（x），由奇函数，可得f（-x）=f（x）.

方向二：由函数的形式求解析式，可确定的是用常用的二次函数求法.

方向三：要求[4，9]的函数解析式，可以通过周期转化为求[-1，4]的解析式.

从这三个方向出发便可以解得此题.对这类题目，只要在清楚审题的基础上，进行综合发散，联系到相关知识，便可以迎刃而解.平时训练中，要多加归纳总结题目规律，做到以不变应万变.

总的来说，数学发散能力在一定程度上决定了学生的解题能力，提高学生的发散能力，能帮助学生提高解题能力，达到事半功倍的效果，提高学生的学习信心和动力.上述四种思维发散方法，只是冰山一角，作为数学教师，还需在教学中不断研发新的方法和思想，来帮助学生克服困难，不断提高思维的发散性，保证学习效率，提高数学成绩.

【参考文献】

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[4]迟晶.浅谈高中数学教学的“发散思维”.课程·教材·教法，2013（3）：15.