九宫方阵的数学解法

王乐芹等

【摘要】用数学解析法求解九宫方阵，探究其中奥妙.

【关键词】九宫方阵；数学解析；求解

在九宫格（如图1）中输入九个数字，使每一行每一列以及对角线上的三个数之和都等于一个固定值s.这就是人人皆知的九宫方阵.

这个问题答案已经家喻戶晓，但如何求解却需要进一步探讨.

一、传统解法

（1）破解口诀

在电视连续剧《射雕英雄传》里有一情节，瑛姑为了这个九宫格苦思不得其解，便拿它来考黄蓉，她给出的答案就是： “戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，五守中央”（如图1） .

（2）迭代法

把不同的数字组合进行迭代，直到得出最终组合为止.随着计算机技术的引入，这一方法也不难实现.

这两种方法，虽然都能得到正确的答案，但无法给出求解过程及原因，或者求解过程比较烦琐，无法窥探其中的奥秘，掌握起来比较困难.下面介绍一种数学解析的方法.

九宫格中的九个未知数用a，b，c，d，e，f，g，h，i代替，如图2所示.采用数学解析法，按照以下步骤求解九宫方阵.

（一）确定各行、列数字和s

根据已知条件

a+b+c=d+e+f=g+h+i=s（1）

a+b+c+d+e+f+g+h+i

=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45（2）

把（1）代入（2），得3s=45

确定固定值s=15.

（二）确定中心数字e

根据已知条件，如图“米”字上的数列满足

（三）确定第二个数字位置

图3 带“米”字的九宫方阵中心数字e（5）确定后，其他任意1个数字，按照空格相对位置关系，如图3，只有两个位置，一个是在角格里，另一个在外边中间格里.假设先确定数字9的位置.

求解过程中可以发现，随着数字9和1位置在外边格位置的不同及数字排列的变化，可以得到九宫方阵的其他求解结果，如图5所示，在此不再逐一赘述.

三、结 论

用数学解析法，掌握其中规律，可以容易求解出九宫方阵以及它的几种变化.通过求解过程，也可以窥探其中的奥妙，提高学习兴趣，从而达到熟练掌握.

求解过程中，应把握以下几个关键环节：

（1）求各行、列的数字和s；

（2）确定方阵中心值e；

（3）确定任意第二个数字的位置.