在立体几何中直线与平面的角的求解方法

孔德龙

摘要：立体几何的知识是高考的考点，也是同学们学习的重点。在立体几何的知识当中，直线和平面所成的角（简称：线面角）的求解时很多同学一致认为的难点。在这样的情况下，需要我们对它的求解方法进行掌握，这样才能够培养我们的数学思维，帮助我们快速的解题，提高数学的成绩。本文主要对立体几何中直线与平面的角的求解方法：三棱锥中线面角的求法、利用平面垂线的性质来求角、公式法和利用转化的思想来求角这四种方法进行分析和探讨，为同学们解决立体几何中线面角的求解，提供参考和帮助。

关键词：立体几何；线面角；求解

立体几何的知识也是高考数学中的一个重点知识，也是必考的题目。在高中的数学当中，立体几何所包含的知识点是非常多的，最典型的内容就是线面角的计算。在立体几何中，线面角是较为常见的考题之一，可是有的同学由于本身的空间思维和自己的逻辑思维能力比较差，因此在这一部分内容的学习中，会非常的吃力，难以对线面角的角度进行正确的计算，导致题目在解答的时候出现错误，造成了不必要的失分，影响了自己的成绩。在这样的情况下，同学们在进行立体几何线面角的学习时，要掌握计算的方法，这样才能够帮助我们提高自己的数学成绩，同时也提高我们的数学思维。

一、三棱锥中线面角的求法

在进行立体几何线面角的计算式，解法的重点在于我们自己是否能够明确地找出直线和平面所形成的夹角。有的同学自己的空间思维能力是不足的，因此没有办法正确的找到直线和平面所形成的夹角，因此在解题的时候容易出现错误。例如我们在三棱锥中求解，下面小的时候就应该首先对底面进行确定，然后经过顶点做底面的垂线，形成直线在底面上的投影，然后再对角度展开相关的计算，在这个过程当中，要注意线面角的角度必须为锐角或者直角，不能够出现钝角。

二、利用平面垂线的性质

我们在解决线面角度问题的时候，也可以选择利用平面垂线的性质来帮助我们进行解答。首先，我们应该建立一个和所求的平面垂直的平面，并且使得这一个平面经过我们所求的直线。一般来说，经过所做平面和直线相交的点做所求平面的垂线是接下来要完成的步骤，然后连接垂足和斜足，所得到的角就是求解的线面角。利用平面垂线的性质来帮助我们解决问题是比较常用的一种方法，但是也是同学们在求解中比较容易忽略的一种方法，因为很多线面角所形成的角都不是直角，因此很少同学会把它和平面的垂线进行联系. 有的同学即使懂得使用这种方法，也会因为垂足和斜足之间的区分问题和寻找问题出现困难重重的现象[1]。

三、公式法

公式法在立体几何中求解，直线和平面的角也是比较常用的一种方法，它主要是利用老师所教授的公式来对线面角的角度进行求解，也就是我们常说的三余弦定理，但是这个定理一般是用在填空题和选择题当中比较多，因此对于公式的熟练掌握，可以帮助我们快速的解决问题。所谓的三余弦定理，指的是设有一个平面，并且存在一个斜线l，斜线和平面是香蕉的，并且它们所形成的夹角记为∠l，平面内的直线m和ll在平面上的投影我们记为l，它们的夹角是∠2，l和m所形成的夹角记为α，那么就会存在计算公式：cosα=cos1cos2。这个定理也就是最小角定理，或者是爪子定理，主要用来对平面斜线和平面内直线所形成的最小角来进行求解，我们在利用这种方法，对题目进行解答的时候要注意∠1和∠2都必须是銳角。

四、利用转化的思想来进行解题

我们利用转化的思维来进行题目的解答是，主要是把下面的角度问题转化成对斜线上一点到平面之间的距离进行求解的问题，然后再通过正弦、余弦、正切这三个定理来求出相应的角度。在这样的情况下，就需要同学们熟练地对特殊角度进行掌握，例如30°、60°和90°的正弦值、余弦值和正切值，这样才能够帮助我们更加快速的解决相应的问题。除了对特殊角度的正弦、余弦和正切值进行掌握之外，对于非特殊角度的三个值计算方法也要进行掌握，这样才能够更好地应对各种各样的计算问题。

五、结语

对于很多同学来说，我们在学习立体几何的时候，直线和平面之间的角进行求解是很多同学一致觉得的学习难点，其主要的原因是同学们本身的空间思维和逻辑思维就比较缺乏，对于线面角的定义把握不够准确，因此没有办法正确地找到直线和平面所形成的夹角，从而阻碍了解题思路的进行。在这样的情况下，我们在日常的学习中应该不断的通过练习，培养自己对线面角进行寻找的能力，同时也加强我们解题思路的养成，让我们自己可以在比较短的时间内对立体几何中哪一个角是自己所要求的线面角进行合理的判断[2]。除此之外，还要不断的锻炼我们自己做辅助线的能力。如果我们能够把上述的能力都进行切实的提高，那么在解决立体几何的问题是对线面角的寻找就不会是我们的难点。同时，我们的解题速度和解题的正确率都会得到明显的提高。

参考文献：

[1]周义.基于高中数学立体几何线面角的计算解法研究[J].读写算：教育教学研究，2015（50）

[2]田宏伟.高中数学立体几何线面角的计算解法举例[J].软件：电子版，2014（6）：221-221