“四招”突破抽象函数问题

唐浩德

【关键词】 数学教学;函数问题;抽象;求解

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463（2015）16—0119—01

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出一些体现函数特征的式子的一类函数.抽象函数问题的解决往往要从函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数的图象入手.下面，从四个不同的方面来探寻一些解题规律.

一、利用赋值法巧求抽象函数的函数值

赋值法是求抽象函数值的重要方法.通过观察与分析抽象数问题中已知与未知的关系寻找有用的取值，挖掘出函数的性质，特别是利用函数的奇偶性与周期性来转化解答，有时还需多次赋值.

例1 定义在R上的单调函数f（x）满足：存在实数x0使得对于任意实数x1、x2总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立.1.求f（1）+f（0）的值;2.求x0的值.

解：1. 因为对于任意实数x1、x2总有f（x0x1+x0x2）=f（x0）+ f（x1）+f（x2）恒成立，令x1=1、x2=0，有f（x0）= f（x0）+f（1）+f（0），∴f（1）+f（0）=0.

解：2. 令x1=0、x2=0，有f（0）=f（x0）+f（0）+f（0），即f（0）=f（x0）+2f（0），∴f（0）=f（x0）.∴f（x0）=-f（0）.又∵f（1）+f（0）=0，

∴f（0）=-f（1），∴f（1）=-f（0），∴f（x0）=f（1）.又∵f（x）为定义在R上的单调函数，∴x0=1.

二、利用函数图像和奇偶性定义判断抽象函数的奇偶性

抽象函数的奇偶性是要判断f（x）与f（-x）之间的关系，从而得出图象关于原点或y轴的对称，再结合函数的图象作进一步判断;在利用奇偶性的定义进行判断时，若等式中还有其他的量未解决，就需要特殊赋值加以解决.

例2 已知函数f（x）对x、y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y），且f（0）≠0，求证：f（x）是偶函数.

解：∵对任意x、y∈R都有f（x+y）+f（x-y）=2f（x）f（y）

令x=0，y=0，有f（0）+f（0）=2f（0）f（0），∴2f（0）=2f（0）2，∴f（0）=f（0）2，∴f（0）=0或f（0）=1.又∵f（0）≠0，∴f（0）=1.

令x=0，有f（y）+f（-y）=2f（0）f（y）=2f（y），∴f（y）=f（-y），又∵y∈R，∴f（x）为偶函数.

三、利用函数单调性求解或证明抽象不等式

抽象函数的单调性，需要对所含的参数进行分类讨论，或根据已知条件确定参数的范围，最后再根据单调性求解或证明抽象不等式，同时要注意定义域的限制.

例3 设函数f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y）.若f（3）=1，且f（a）>f（a-1）+2，求实数a的范围.

解：∵f（xy）=f（x）+f（y）且f（3）= 1，∴2=2f（3）=f（3）+f（3）= f（3×3）=f（9），又∵f（a）>f（a-1）+2，∴f（a）>f（a-1）+f（9）=f[9（a-1）]，∵f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，从而得不等式组：

a>0             ①

9（a-1） >0       ②

a>9（a-1）        ③

四、利用函数模型巧解抽象函数问题

抽象函数问题的设计一般都有一个基本函数作为模型，若能分析出这个函数模型，结合其性质来思考解题方法，那么这类问题就能简单解决.

例4 已知函数f（x）对于任意实数x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x>0时，有f（x）>0，f（-1）=-2.求f（x）在[-2，1]上的值域.

解：∵对于任意实数x，y均有f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=0，y=0有f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0.

再令y=-x有f（x-x）=f（x）+f（-x）=f（0）=0，∴f（-x）=-f（x），∴f（x）为奇函数.

设x10.又∵当x>0时有f（x）>0，f（0）=0，∴f（x）>f（0），∴f（x1-x2）>0，∴f（x）-f（x）>0，∴f（x）>f（x）.∴f（x）为R的增函数.

又∵f（-2）=f（-1-1）=f（-1）+f（-1）=2f（-1）=-4，f（1）=-f（-1）=2，

∴当x∈[-2，1]时，f（x）∈[-4，2].

编辑：谢颖丽