“四招”突破抽象函数问题

2015-09-27 00:47唐浩德
甘肃教育 2015年16期
关键词:四招抽象数学教学

唐浩德

【关键词】 数学教学;函数问题;抽象;求解

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C

【文章编号】 1004—0463(2015)16—0119—01

抽象函数是指没有给出函数的具体解析式,只给出一些体现函数特征的式子的一类函数.抽象函数问题的解决往往要从函数的奇偶性、单调性、周期性以及函数的图象入手.下面,从四个不同的方面来探寻一些解题规律.

一、利用赋值法巧求抽象函数的函数值

赋值法是求抽象函数值的重要方法.通过观察与分析抽象数问题中已知与未知的关系寻找有用的取值,挖掘出函数的性质,特别是利用函数的奇偶性与周期性来转化解答,有时还需多次赋值.

例1 定义在R上的单调函数f(x)满足:存在实数x0使得对于任意实数x1、x2总有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+ f(x1)+f(x2)恒成立.1.求f(1)+f(0)的值;2.求x0的值.

解:1. 因为对于任意实数x1、x2总有f(x0x1+x0x2)=f(x0)+ f(x1)+f(x2)恒成立,令x1=1、x2=0,有f(x0)= f(x0)+f(1)+f(0),∴f(1)+f(0)=0.

解:2. 令x1=0、x2=0,有f(0)=f(x0)+f(0)+f(0),即f(0)=f(x0)+2f(0),∴f(0)=f(x0).∴f(x0)=-f(0).又∵f(1)+f(0)=0,

∴f(0)=-f(1),∴f(1)=-f(0),∴f(x0)=f(1).又∵f(x)为定义在R上的单调函数,∴x0=1.

二、利用函数图像和奇偶性定义判断抽象函数的奇偶性

抽象函数的奇偶性是要判断f(x)与f(-x)之间的关系,从而得出图象关于原点或y轴的对称,再结合函数的图象作进一步判断;在利用奇偶性的定义进行判断时,若等式中还有其他的量未解决,就需要特殊赋值加以解决.

例2 已知函数f(x)对x、y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0,求证:f(x)是偶函数.

解:∵对任意x、y∈R都有f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)

令x=0,y=0,有f(0)+f(0)=2f(0)f(0),∴2f(0)=2f(0)2,∴f(0)=f(0)2,∴f(0)=0或f(0)=1.又∵f(0)≠0,∴f(0)=1.

令x=0,有f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),∴f(y)=f(-y),又∵y∈R,∴f(x)为偶函数.

三、利用函数单调性求解或证明抽象不等式

抽象函数的单调性,需要对所含的参数进行分类讨论,或根据已知条件确定参数的范围,最后再根据单调性求解或证明抽象不等式,同时要注意定义域的限制.

例3 设函数f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y).若f(3)=1,且f(a)>f(a-1)+2,求实数a的范围.

解:∵f(xy)=f(x)+f(y)且f(3)= 1,∴2=2f(3)=f(3)+f(3)= f(3×3)=f(9),又∵f(a)>f(a-1)+2,∴f(a)>f(a-1)+f(9)=f[9(a-1)],∵f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,从而得不等式组:

a>0             ①

9(a-1) >0       ②

a>9(a-1)        ③

四、利用函数模型巧解抽象函数问题

抽象函数问题的设计一般都有一个基本函数作为模型,若能分析出这个函数模型,结合其性质来思考解题方法,那么这类问题就能简单解决.

例4 已知函数f(x)对于任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),且当x>0时,有f(x)>0,f(-1)=-2.求f(x)在[-2,1]上的值域.

解:∵对于任意实数x,y均有f(x+y)=f(x)+f(y),

令x=0,y=0有f(0)=f(0)+f(0),∴f(0)=0.

再令y=-x有f(x-x)=f(x)+f(-x)=f(0)=0,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

设x10.又∵当x>0时有f(x)>0,f(0)=0,∴f(x)>f(0),∴f(x1-x2)>0,∴f(x)-f(x)>0,∴f(x)>f(x).∴f(x)为R的增函数.

又∵f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=-4,f(1)=-f(-1)=2,

∴当x∈[-2,1]时,f(x)∈[-4,2].

编辑:谢颖丽

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