浅谈数学美的基本特征

李萍萍 杨月婷

【摘要】 数学是科学的语言，带有一种独特的理性美，无论是在内容或结构还是方法上都具有特殊的美——数学美，数学美的基本特征是简洁性、和谐性和奇异性. 数学家们在追求美的过程中也推动了数学整体的发展，为现代科学技术发展作出巨大的贡献.

【关键词】 数学美；简洁性；和谐性；奇异性

自然界是美的，美源于自然； 科学是美的，美体现科学； 数学是美的，美是数学的灵魂. 凡是受过教育的人，大都不同程度地领悟过数学的美. 数学美作为社会实践活动的产物，在客观上构成人的审美对象，是一种在解释自然、宇宙规律的过程中体现出来的美，它是一种带有数学科学特征的理性美.

1. 简洁美

在数学美的各个属性里，首先要推崇的是简洁性. 数学的简洁美，并不是指数学内容本身简单而是指数学的表达形式和数学理论体系的结构简洁. 它包括符号美、公式美等. 莱布尼兹用“ f（x）dx”这一简洁的符号表达了积分概念的丰富的思想，刻画出“人类精神的最高胜利”，积分号“ ”是英语单词总和“sum”中将首个字母“s”拉长而演变而来的，既简洁深刻，又修长优美. 因此，有些数学家把微积分比作“美女” . 还有像“∞”“≈” 等符号，也都有着无与伦比的美， 更能形象直观地刻画所代表的事物，使人易于接受.

数学中的许多公式、定理、公理、论证都充满着简洁的特征，往往许多现象可以归纳为数学的一个公式、一个方程、一个函数关系. 例如，欧拉给出的公式：V - E + F = 2，其中V是顶点数，E是棱数，F是面数. 世间的多面体有多少，没有人能说清楚，但它们的顶点数V、棱数E、面数F都必须服从欧拉给出的公式，一个如此简单的公式，概括了无数种多面体的共同特性.

数学美的简洁性，还常常作为衡量思维方法之优劣和解题水平之高低的重要标准，也是数学家追求的目标. 傅里叶在创立“傅里叶级数”时，也进行了有关简洁性的考虑，正如他自己所说： “每一个数学函数，无论多复杂，总可以表示为某些简单的基本函数（即相当于形成音乐中的纯音，或光学中的纯色的那种函数）之和.”众所周知，数学是逻辑地展开的，因此简洁性的要求在数学中就集中地反映在对公理的要求上： 对单个公理来说，要求它们是“自明的”； 对整个公理系统来说，则要求是相容、独立和完备的. 而第五公设却与公理的简洁性相悖，其在陈述与内容上的复杂和累赘，使得古代学者对此产生怀疑，因而纷纷致力于第五公设的证明，促使了非欧几何的形成，从而推动着数学的发展.

2. 和谐美

徐利治教授提到过，“美”的基本含义是： 凡事物关系（及其呈现形式）的和谐性与简单性就是美，凡是和谐的必然是简单的，所以“和谐性”是美的本质核心. 著名德国数学家和物理学家魏尔说： “美和对称紧密相连.”作为研究现实世界的空间形式与数量关系的数学，自然会渗透着圆满和自然的对称美. 例如： 函数与反函数图像关于直线y = x对称，代数中的代数式化简时的共轭因子，多项式方程虚根的成对出现，都给人以一种对称性的美感. 在抽象代数中，群是刻画事物对称性的工具，在群论的基础上给出了晶体对称性定律，这是群论对结晶学也是对自然科学的重要应用，它也推动了群论本身的发展. 对于对称美的追求，早已超越现代数学而渗透到各门自然科学之中，并且越来越多地获得更为丰富的成果.

谈到几何之美，人们更忘不了比例美. 它也是和谐美的一个重要方面，美丽的“黄金分割”体现了数学美的和谐性，它的这种比例性给人以和谐悦目的感觉.达·芬奇的《蒙娜丽莎》中蒙娜丽莎的脸就符合黄金比例；世界上最著名的建筑物中几乎都包含着“黄金分割比”，例如巴黎圣母院的正面高度和宽度的比例就是8 ∶ 5，它的每一扇窗户长宽比例也是如此； 摄影时相机里通常会有九宫格功能， 九宫格的实质是黄金分割的简化版，在取景时可以把景物放在九宫格中，这样拍摄出来的景物也给人一种和谐美； 黄金分割还为最优化方法的建立提供了依据， 实验统计表明，对于一个线性搜索问题，用“0.618法”做16次实验，就可以取得“对分法”做2500次试验所达的效果，它能使我们用较少的实验找到合适的工艺条件和合理的配方. 意大利文艺复兴时期的理论家帕乔里说过： “一些企求的物品，都得服从于黄金分割率”，这就是说，“黄金分割”乃是人们所追求的一种形体美和匀称美.

3. 奇异美

奇异性也是数学美的基本特征之一，它给数学的发展带来了新的活力. 徐利治教授说： “奇异是一种美，奇异到极度更是一种美.”欧拉将数学中复数的最基本单位1和i，紧接在1后面的一个原始数2，自然对数的底e，圆周率π用一个式子e-2πi = 1联系起来，即：

e-2πi = cos（-2π） + i sin（-2π） = 1.

考察一下表示这些关系的要素和运算的性质，就会为这些关系所表示出的高度神秘性和极度的奇异性所倾倒.

奇异性常常与数学反例联系在一起，而反例的得出则往往导致认识的深化和理论的重大发展. 18世纪后期的一些数学家认为，连续函数至少在某些点处可以微分，然而德国数学家魏尔斯特拉斯却在1860年找到了一个处处连续而又处处不可微的函数. 这个反例的发现，不仅没有影响到函数的连续性概念的研究，相反的，对于函数的连续性概念得到了更为深入的理解，大大推动了数学分析的发展.

数学中类似于上面奇异例子还可以列举很多，抓住奇异现象，关注奇特的结果，是数学研究中极具诱惑力的内容之一，是数学研究不尽源泉的一个动力.

综上所述，我们浅析了数学美的基本特征： 简洁性、和谐性和奇异性. 对于数学美的追求，归根结底是对于数学真理的追求，从各个数学分支的展开到整个数学历史的发展，就像一个故事那样，显得跌宕起伏和扣人心弦，简洁美、和谐美和奇异美它们之间有机地结合，组成一个完美的整体，构成一幅至善至美的数学画卷. 而恰恰是数学家们在追求美的过程中，推动着新的数学分支的产生， 数学整体的发展又为现代科学技术发展作出了巨大的贡献.