“由点及面，多向辐射”

杜永溪

【摘要】 教师在数学复习过程中，应该重视对学生巩固所学的知识由“量”到“质”的飞跃这一转化过程.“由点及面，多向辐射”的复习方式就是熟悉基本图形，通过图形变换，把有关知识通过图形演变让学生分析探究，由图形得出性质，多向辐射，牵出知识和思想方法的红线，使学生形成知识系统和方法系统，形成数学思想和解决问题的能力.

【关键词】 基本图形，分析图形，培养能力

许多九年级学生反映不会复习几何，以为几何复习就是做题，把复习等同于做题.但是有同学做了大量的几何题，复习的效果却不明显，在面对几何问题时仍然没有多少把握，缺乏分析几何问题和解决问题的方法和能力.而这些方法和能力又是中考复习阶段必须形成的.

该如何有效组织中考几何复习呢？本人做了一种新尝试——由点及面，多向辐射.这是基于几何基本图形的复习方法，经过连续两年中考复习的实践，取得了不俗的效果.

下面我从特殊平行四边形——菱形的复习介绍这种复习方法.

在复习菱形时，我从一个一般的菱形入手：

问题1：当我们看到一个菱形时，你能从图形中得到哪些性质？其中有哪些边角的特殊数量关系？如图1.

此时学生能把菱形的边角性质做一个回顾.

然后在图1的基础上添加一条对角线AC，如图2，有了下一步思考.

问题2：在图2中你能得到哪些图形和性质？

学生容易发现图中△ABC≌△ADC，∠ACD = ∠ACB = ∠BAC = ∠DAC.

接着连接BD交AC于点O，如图3.

问题3：在图3中你又能得到哪些特殊图形和性质？

学生经过观察和分析不难发现，图中有四个全等的直角三角形、两对全等的等腰三角形、AC与BD的垂直平分关系等结论.

以上三个问题旨在引导学生回顾复习菱形的重要性质，以及启发学生能通过观察分析图形，发掘其中的特殊图形和数量关系，学会读图.

此后，我从两个方面进一步变换图形，挖掘性质，达到多向辐射的复习目的：

问题4：在图3的条件下，你有什么方法计算菱形的面积？

大部分学生能想起通过对角线计算菱形面积的公式.然后老师请同学分析此公式的推导方法，进一步加深对角线分割菱形转化为特殊三角形的理解.

问题5：如图4，四边形ABCD中，AC⊥BD，你能计算四边形的面积吗？并分析你的方法.

学生通过刚才菱形面积的计算方法，不难迁移联想到此四边形也能利用对角线来计算面积.通过问题5的思考学生能从特殊四边形过渡到具有相同特征的一般四边形，培养了学生思维的迁移能力和灵活性.

再回到图3.

问题6：在图3的基础上取BC中点E，连接OE，得到图5，请认真分析，你能得出哪些重要的结论？

这个问题很开放，结论很多，旨在锻炼学生观察分析图形的能力，给学生几分钟时间认真分析归纳，得到了许多有益的发现：OE为△ABC和△BCD的中位线，OE∥AB∥CD，OE = ■AB = ■CD，OE = CE = BE = ■BC，△OEC和△OEB为等腰三角形，△OEC∽△ABC，等等.

在此基础上设置两个具体的问题，巩固学生刚才发现的结论：

问题7：如图5，若OE = 2，则菱形的周长为 ；

若AC = 6，BD = 8，则△OCE的周长为 ，面积为 .

在图5的基础上再进一步.

问题8：取CD 、AD、AB的中点F、G、H，并连接EF、FG、GH、EH，得到图6，判断四边形EFGH的形状，并说明理由.

还可以把图形一般化，进一步培养学生思维的迁移能力.

问题9：如图7，四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H为四边中点，判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论.

到此时，我们把菱形与三角形的有关知识联系起来了，既复习菱形的有关性质，也再次巩固了矩形、全等三角形、相似三角形、等腰三角形、直角三角形以及三角形中位线的有关知识和方法，达到多向辐射的目的.

并且在整个探究过程中，以图形变换为主线，从一个最基本的图形开始，不断变换，增加线条，构造性质丰富的图形.而每一步都只呈现图形，设置开放性的问题，让学生从已知条件出发逻辑地导出应有的结论，旨在培养学生观察分析图形的意识和能力，发展学生思维的广阔性，把其中包含的特殊图形和特殊性质发掘出来之后，就能轻松解决问题了.这种方式也是为了教会学生学习几何的方法，就是要充分分析图形，展开联想，挖掘其中的基本图形和数量关系.

回到图1，继续变换.

问题10：在图1的基础上，取菱形的边CD、BC上两点E、F，且DE=CF，得到图8，判断AE和AF的数量关系，并证明你的结论.

本题只需连接AC，证明一对全等三角形即可.

问题11：在图8的基础上连接EF，得到图9，判断△AEF的形状并证明.

问题12：如图8，若点E、F是边CD、BC上的动点，满足DE=CF，在两点移动过程中，△AEF的形状会发生改变吗，请说明理由.

问题13：在问题12的基础上，若菱形ABCD中，∠ABC = 60°，猜想△AEF的形状并证明.

问题10-13是一组递进式的问题，从一个菱形的最基本图形出发，从判断线段AE，AF的数量关系递进到探究它们所在△AEF的形状，从定点问题递进到动点问题，由静态过渡到动态，从特殊到一般，再从一般回到特殊，既复习考查了学生菱形和等腰三角形的有关性质，也训练了学生构造全等三角形的基本能力，还培养了学生运动变化的数学思维.

问题14：在问题13的基础上，若菱形的边长为4 cm，求△AEF面积的最大和最小值.

问题15：在问题14的基础上，当点E、F在什么位置时，△CEF有最大面积，求出最大面积.

问题14、15是在刚才的几何图形之上构造的“最大面积”问题，其中问题14中△AEF的最大（或最小）面积问题可以转化为其边AE（或AF）的最大（或最小）问题，连带复习了垂线段最短的应用，技术难度不算大，但思维量不小，并且学生容易往构造关于△AEF面积的二次函数求最大（或最小）值的方向思考，这就难以解决了.而△CEF的最大面积问题可以有两个思考方向，首先是在四边形AECF中利用△AEF的最小面积，可以求出△CEF的最大面积（因为四边形AECF面积是菱形面积的一半，为定值）；也可以直接过点F作EC的垂线段，如图10，利用三角形的面积公式构造关系△CEF面积的二次函数，转化为求函数的最大值问题，这是学生熟悉的思路.

设置以上两个问题旨在沟通几何与代数的联系，这类问题是中考试题中常见的综合性问题，训练学生综合运用数学知识的能力和意识，培养学生分析和解决问题的思维能力，达到由点及面、多向辐射的复习效果.

课堂的最后阶段，我做了总结性表述：我们几何的复习不能停留在记住几个定理，也不能停留在会做几个题目，而是要多从研究图形出发，学会分析图形，展开联想，发掘其中的特殊图形和位置、数量关系，运用有关性质，培养分析图形和解决问题的能力.掌握了工具，有了思维能力，方能应对可能遇到的一切问题.

我国著名数学家华罗庚先生指出“学习有两个过程，一个是从薄到厚，一个是从厚到薄.”前者是量的积累，后者则是质的飞跃.教师在数学复习过程中，不仅应该要求学生对所学的知识、典型的例题进行反思，而且还应该重视对学生巩固所学的知识由“量”到“质”的飞跃这一转化过程.“由点及面，多向辐射”的复习方式就是熟悉基本图形，再作图形变换，引导学生联想与探索，把有关知识通过图形演变让学生分析探究，由图形得出性质，多向辐射，牵出一条条知识和思想方法的红线，使学生形成知识系统和方法系统，形成数学思想和解决问题的能力，达到由量变向质变的飞跃.

【参考文献】

[1]李果民. 中学数学教学建模. 广西教育出版社.

[2]马维民. 新课程理念下的创新教学设计——初中数学. 东北师范大学出版社.

[3]马复. 初中数学新课程教学法. 东北师范大学出版社.

[4]陈德崇. 中学数学教学论. 广东高等教育出版社.