基本图形 横向拓展

曾宪学

摘 要：在复习教学阶段，必须对复习的时间和内容做出科学、合理的安排，才能保证复习工作的扎实、高效。现以《K字形相似三角形专题复习》教学为例，对“横向拓展”教学模式的基本流程、“横向拓展”教学模式的实践成效、建立“横向拓展”教学模式的框架、“横向拓展”教学模式与“传统专题复习”教学模式的区别做系统论述，从而引导学生在学习的过程中不断挖掘、提炼、总结基本图形，以达到“做一题，通一类，会一片”，从而跳出题海的效果。

关键词：基本图形；横向拓展；解题策略

初中数学的基础知识、基本技能、数学基本活动经验、基本数学思想方法涉及面很广。因此，在复习教学阶段，必须对复习的时间和内容做出科学、合理的安排，才能保证复习工作的扎实、高效。“复习教学”一般分为“系统复习”和“专题复习”。“系统复习”的教学模式是用小问题回顾基础知识，归纳、构建知识纵向网络，选择典型问题，总结、提炼解题规律，梳理知识纳入体系，强调的是知识之间的纵向联系，主要针对一章或一领域的内容，适用于第一轮复习，我们称之为系统复习“纵向深入”教学模式。“专题复习”是从基本问题（图形）出发，逐渐增加条件（或改变图形），过渡到专题的核心内容，在提出问题和解决问题的过程中，引导学生对典型例题进行变式拓展，建立知识的横向网络，强调各部分知识的横向联系，主要针对跨章或跨领域的内容，适用于第二轮复习，我们称之为专题复习“横向拓展”教学模式。

本文以《K字形相似三角形专题复习》的教学实践为例，基于“横向拓展”教学模式，谈谈笔者的一些尝试研究与思考。

一、“横向拓展”教学模式的基本流程

1.引入基本图形

从基本图形（基本问题）出发，逐渐增加条件（改变图形），让学生清晰地认识基本图形的特征，然后逐渐拓展延伸基本图形（问题）。

基本图形：如图1，A，C，D三点共线，且∠A=∠D=∠BCE=90°。

问题1：观察图形后，你能获得什么结论？

生1：△ABC∽△DCE。

问题2：你能否用一个英文字母表示一下这个图的模型？

生众：K字形。

问题3：如图2，A，C，D三点共线，且∠A=∠D=∠BCE，还有这个结论吗？

生众：有。

2.过渡核心问题，深刻认识基本图形

通过基本图形（基本问题）的拓展延伸，逐渐过渡到核心知识，引导学生自己发现结论，同时解决问题。在解决问题的过程中，深刻认识，明晰核心知识的考点及典型题。

问题4：如图3，等边△ABC中，边长为6，D是BC上动点，∠EDF=60°，这时你能得到什么结论？

生2：△BDE∽△CFD。

师：你能给出证明吗？

生2：能。

∵△ABC是等边三角形，∠EDF=60°，

∴∠B=∠C=∠EDF=60°

∵∠EDC=∠EDF+∠FDC=∠B+∠BED

∴∠BED=∠FDC

∴△BDE∽△CFD

师：当BD=1，FC=3时，BE=？

生3：∵△BDE∽△CFD，∴=

∵BD=1，FC=3，CD=5，∴BE=

师：下面我们对这道题反思一下，我们从这道题中发现了什么？学到了什么？

生3：我发现在这个K字形中，一线上三个角相等的两个相似三角形，对于求线段长，我们又多了一条思路，那就是利用相似三角形性质，对应边中已知三边，可以求第四边。

3.典型例题变式，建立横向网络

引导学生对典型例题进行变式拓展，自己发现结论，同时解决问题。在解决问题的过程中，建立知识的横向联系，从而提高解决综合问题的能力。

问题5：如图4，在问题4的背景下，将等边三角形改为等腰三角形，动点D，改为定点，且为底边上的中点，即在等腰△ABC中，AB=AC，D是BC中点，∠EDF=∠B，这时你能得到什么结论？

生4：△BDE∽△CFD。

师（追问）：就这一结论吗？

生4点点头。

师：好的。你先坐下来再思考一下，其他同学还有其他发现吗？请大家思考一下。

∵∠APQ=∠APB+∠CPQ

∠ABC=∠APB+∠PAB

∠APQ=∠ABC

∴∠CPQ=∠PAB

又∵∠ABP=180°-∠ABC

∠PCQ=180°-∠ABC，∠ABC=∠ACB

∴∠ABP=∠PCQ

∴△QCP∽△PBA

师：此题是典型的图形变式题，对于这类变式问题是中考中最常见的，虽然图形改变，但是方法不变，依旧是原来的两个三角形相似列出比例式后求解。当等腰三角形变式为正方形时，依然沿用刚才的方法便可破解此类问题。记住口诀：“图形改变，方法不变”。动点在线段上时，通过哪两个三角形相似求解，当动点在线段的延长线上时，还是找原来的两个三角形，多数情况下这两个三角形还是相似的，还是可以沿用原来的方法求解。

4.寻求共性规律，形成解题策略

学生在对典型例题进行变式以及解决问题的过程中，发现共性规律，积累数学活动经验、优化解题策略。

问题9：通过典型例题的变式与拓展，在解决问题的过程中，你发现了哪些共性的规律？

生10：我发现：在图形中，若条件是顶点共线的三个角相等，应考虑运用今天所学的K字形相似，这类型题目往往以等腰三角形或者等边三角形为背景。

师：你总结得很到位。我们把刚才所学的几个图形提炼如下：

若条件是顶点共线的三个角相等，一个与等腰三角形的底角相等的角，其顶点在等腰三角形底边（或其延长线）上，角的两边分别与等腰三角形的两边（或其延长线上）相交（如图11所示），其中一等角的顶点在底边上的位置不同得到的相似三角形的结论也不同，当顶点移动到底边的延长线时，形成变式图形，图形虽然变化，但是求证的方法不变。

二、“横向拓展”教学模式实践成效

1.让不同的学生得到不同的发展

基于《K字形相似三角形专题复习》这节课，课后我对所教的班级作了问卷调查，问卷如下：

（1）老师这堂课设计的问题对你来说难度如何

（ ）。

A.比较简单 B.比较难 C.由简单到难

（2）老师这堂课设计基本图形——K字形，在今后解题时，若遇到的题目中需要用到今天所学K字形时，是否在较复杂的图形中识别出基本图形K字形，并运用今天总结的规律加以解决？

（3）这堂课你在解决老师课堂任务单上题目时，是否积极思考了，老师给的时间够吗？若不够是哪道题？其中哪道题最能激发你的思维？

（4）谈谈通过这种专题复习课的学习你最大的收获是什么。（多谈点）

（5）最后请同学们对这堂课提出一些你想表达的建议。（我希望得到建议，可多谈些）

问卷分析如下：

对于第（1）题，大部分的同学回答：C.由简单到难，说明教师设计的问题合理且符合学生的认知规律。

对于第（2）题，80%的学生回答：通过这节课的学习能够解决类似题型。

对于第（3）题，对于基础好的学生回答：积极思考，而且认为思考的时间足够；其中基础差的学生回答：老师给的思考时间不够，讲得有点快；对于最能激发思维的都认为：问题6的最后一问及问题7，需要用到分类讨论的思想方法。

对于第（4）题，学生的回答基本上是：

A学生：我最大的收获是基本掌握了K字形的题目，能从复杂的图形中识别出K字形，有些题目还需要在图形中构造K字形，并运用其结论解题。总之，我这节课听懂了。

B学生：我最大的收获是可以从反复讲过的同一类型的题目当中找到了基本图形，从而让解题思路清楚明了，对解同一类型题目增强了信心。

C学生：我最大的收获是原来涉及这一类题易错，通过今天的学习，觉得不会再出错，思维变开阔了。

众生思考。

对第（5）题，学生的回答基本是：

D学生：我觉得这堂课的时间过得太快了，不知不觉就下课了，我还发现：在有关二次函数的知识里也有K字形，可以用今天所学的知识来解决。

E学生：可以在下次考试当中放一道有关K字形的题，检测一下我们，看看我们是否真的掌握了，老师最好是你自己编的好题、新题，大家都没有做过的，这样更能反映我们的真实水平。

F学生（优秀生）：下次复习的时候，问题可以再难点，这样更能激发我们的思维，提高我们的解题能力。

由此可见，运用“横向拓展”模式进行专题复习，设计题目遵循“切入口小、由简到难、横向拓展”的原则，符合学生的认知规律，让不同层次的学生得到不同的发展。

2.教育质量明显提高，培养优生效果显著

中考复习第二轮，我校九年级数学组进行了中考复习课的研究与实践，其中实验班采用了“横向拓展”专题复习，其余沿用了传统专题复习。笔者将这次九年级模拟成绩（以下简称“九模”）与九上期末成绩作了比较：

■

由上表数据可以看出，906班（这次“实验班”）九上期末时成绩从平均分与优秀率来看，与我校其他同层次班级几乎在同一起跑线上，但通过采用“传统专题复习”与“横向拓展专题复习”两种不同的教学模式进行教学实验。实验班九模成绩明显高于同层次且未采用这种模式进行复习的班级，对优生的培养也起到了意想不到的效果，在第二轮复习难度增加的情况下，同层次班级优秀生略有下降，而实验班的优秀率明显增多。由此可见，运用“横向拓展”模式进行专题复习，不但能提高教育教学质量，还能培养尖子生。

3.开发成资源，让大家共享

课后研讨也得到了同伴听课老师的一致好评，同时得到我区教研员周老师的认可：本节课以问题为主线，注重启发引导学生思考，从问题中发现结论，使学生经历观察、探究、推理、交流、反思等理性思维的基本过程，使学生更加主动、富有探索性地学习，逐步培养了学生的问题意识、创新意识。通过提炼基本图形，并将图形进行不断的变式，横向拓展，有效地落实了“四基”。建议继续研究并开发下去，汇编成教学资源，让大家共享。

三、建立“横向拓展”教学模式的框架

“横向拓展”教学模式是从基本问题、基本图形出发，引导学生提出问题，解决问题。通过对基本问题、基本图形的分析与思考，主动寻求解决问题的方法并产生新的问题，进而寻求解决问题的方法，再产生新的问题，使问题和思维层次逐渐深入，是递进的过程（如图12）。在解决问题的过程中，归纳知识使知识系统化，并横向拓展，切实提高了学生的解决问题和解题能力。同时学生在变式拓展的过程中积累了解决问题的经验和方法，为后续学习奠定了基础，今后的解题能做到举一反三。

专题复习：“横向拓展”教学模式

四、“横向拓展”教学模式与“传统专题复习”教学模式的区别

“传统专题复习”教学模式是由教师提出问题，引导学生复习基本概念并解决问题，从而纳入知识体系，然后就知识要点有针对性地强化训练。它与“横向拓展”的区别有以下两点：

一是“横向拓展”教学模式是学生由基本图形（基本问题）中的条件主动思考问题，由问题去思考用什么知识去解决问题，学生在主动地建构知识体系，整个过程是学生的行为，而教师利用自己精心设计的问题，引导学生去寻找共性规律，并形成解题策略，让学生掌握这一类型的方法。

二是“传统专题复习”教学模式是由教师提出问题，牵着学生走，学生被动记忆和接受知识，由概念、结论去想问题，被动回答问题，不能提出问题，整个过程是教师的行为。

在专题复习的教学中，要提高课堂教学的有效性，关键要教会学生把复杂问题简单化、模块化，以期在较短的时间内抓住数学的本质，这样可以达到举一反三，触类旁通的目的。这一切都需要教师在教学过程中不断培养学生发掘、提炼、总结基本图形，以达到“做一题，通一类，会一片”，从而跳出题海的效果。

以上是笔者的一些教学实践尝试，仅以专题复习课的课型开发了一些资源，今后将扩大范围，研究新课的课型，将教学的理念转变，在教学设计时以“学为中心，以学定教”，在理论层次上还需拓展视野，在教学实践上向深处挖，力求从根本上更好地解决学生学习中存在的普遍性问题。

参考文献：

1.梁立士.初中数学专题复习“横向拓展”教学模式初探[J].中国数学教育（初中版），2011（12）：10-12.

2.李德忠，赵同娟.注重变式训练提升思维品质[J].中国数学教育（初中版），2013（3）：15-16.

3.孙福明.课型范式与实施策略.江苏教育出版社，2012（06）.

4.[美]G·波利亚著.涂泓，冯承天译.怎样解题数学思维的新方法.上海科技教育出版社，2011（11）.

（作者单位：浙江省杭州市余杭区仁和中学）