这样用微积分求解圆锥的侧面积为什么不对

赵翠英　张冰涛

【摘要】圆锥的体积和侧面积公式在中小学就已经学习了，大家对它也很熟悉.下面从微积分的角度推导它的公式，通过这一实例意在说明在利用微积分解决实际问题时应该注意的事项.它的本质是把实际问题化为定积分问题的一种方法，在物理学、力学和工程技术上广泛采用.

【关键词】微元；定积分；高阶无穷小

如图所示的圆锥：底面半径为r，圆心为O，高为h，母线为L.现用无数个平行于底面的平面截取圆锥，得到无数个圆台.设圆台的高为dx.当dx很小时将圆台视为圆柱，得到在离底面高x处的圆柱的体积：

上面的结果与我们已知的公式相比较，便知求得的体积是对的，而侧面积是错的.为什么用的方法相似，而得到的结果却是一个对而另一个错了呢？

下面是张志军在《微元法在利用定积分解决实际问题中所起的作用》中，（互联网上）从“微元法”的角度对这一问题的阐述：

将底半径为r，高为h的正圆锥的侧面，看作是由xOy平面上的直线y=kxk=r[]h绕x轴旋转而成的，为了求其体积V，先求体积微元dV=πk2x2dx，即当dx很小时将圆台视为圆柱，故V=πk2∫h0x2dx=1[]3πr2h.

若求侧面积S时，也将小圆台视为圆柱，那么得到的侧面积微元将是dS=2πkxdx，从而S=πrh.

上面的结果与我们已知的公式相比较，便知求得的体积是对的，而侧面积是错的.为什么用的近似的方法，而得到的结果却是一个对而另一个错了呢？

关键在于所找的微元是不是待求量A的微分dA，即ΔA-dA是不是比dx高阶的无穷小，这一步是必须检查的.

1.关于体积有

因此dV的确是V的微分，故积分的结果符合实际.

2.关于侧面积，我们利用中学数学中关于圆弧的长和圆扇形的面积公式，可求得小圆台的侧面积为

容易看出，这个差不是高阶无穷小量（当dx→0）.故上述dS不是S的微分，积分得出结果当然不对了.从（1）式可以看出，S的微分应当是dS=2πkx1+k2d这个结果才是正确的.通过这个问题的分析，主要是加深我们对“微元法”的理解.关键是所得到的微元一定要是待求量的微分，然后再积分，才不会错.

张志军通过微元法和严格的计算找出了错误，下面我从利用定积分解决实际问题时的积分对象、积分路径来证明这一问题.

难道不能用小圆柱的侧面积近似小圆台的侧面积吗？

有的资料上说：虽然dl→0，dh→0，但dh不是dl的线性近似，所以不能相互代替.这一说法不准确，不能揭示出事物的本质特性.为什么求侧面积时，不能用dh代替dl？从计算结果上看：两者存在着数量关系dl=lrdh，但两者都是极小量，为什么不能相互代替？如果单从计算结果上比较很难解释清楚，还得从体积、面积的本质上来考虑.

1.体积是面积在高上的连续叠加，上例中，小圆台、小圆柱的高相同.

2.圆锥侧面积是周长在母线L上的不断叠加，而非在高上的叠加.（求体积与侧面积时的积分对象或积分路径不同，V→h，S→l）所以圆锥侧面积的积分式为：

我们可以用生活中的一个实例来说明：试想用一宽度为a（a→0）的细胶带缠绕圆锥侧面，每一匝都与底面平行，一共能缠绕多少匝？显然是la匝（贴在侧面上），非ha匝.（与侧面成了θ角，θ=arcsinrl）