浅谈 “一题多解”“一题多变”对学生发散思维的培养

乔忠洋

发散思维是对已知信息进行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，从而提出新问题、探索新知识或发现多种解答和多种结果的思维方式.它的特点是思路广阔，寻求变异，对已知信息通过转换或改造进行扩散派生以形成各种新信息.它对推广原命题、引申旧知识、发现新方法等具有积极的开拓作用，因此创新能力更多地寓于发散思维之中.发散思维的培养在教学中可以通过“一题多解”“一题多变”来实现.

通过“一题多解”“一题多变”训练学生从不同的角度思考问题、分析问题、解决问题.它们在教学过程中都要以“一题多问”或“一题多思”作为启发诱导以生成解法链和命题链.从思维方式的构成来看，“一题多解”是命题角度的集中——集中目标是证题或解题，解法角度的发散——发散对象是解题方法.而“一题多变”则是命题角度和解法角度两个方面的同时发散.由此可见，“一题多变”的发散性更强，在数学教学中恰当地适时地加以运用，更容易诱发和培养学生的创造性思维.

例如：在“怎样探求点的轨迹”教学中设计了这样一个问题：

图 1如图1，C是定圆A内的一个定点，D是圆上的动点，求线段CD的垂直平分线与AD的交点F的轨迹方程.

分析 注意EF是CD的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质，点F到D的距离与F到C的

距离相等，即FD=FC.这样

FA+FC=FA+FD=R，其中R是定圆的半径，是定值.由于点C是圆A内的一点，所以|AC|<|AD|=R.根据椭圆的定义，点F的轨迹是以A，C为焦点，R为长轴长的椭圆.（解法略）

变题1 如图1，E是 CD中点，求E的轨迹.

解法1 由于|OE|=12|AD|=a，是定值，所以E是以O为圆心，a为半径的圆.其方程为x2+y2=a.

变题2 如图2，变“E是 CD中点”为“G是直线CD上的一点”，求G点的轨迹.

解法1 过G作AD的平行线，交AC于H，HG|AD|=CGCD，若CGCD是一个定值，则HG就是一个定值，所以G点的轨迹是以H为圆心、HG为半径的一个圆.

解法2 设Gx，y，CGGD=λ，则D1+λx-cλ，1+λλy，而D点的坐标满足圆A的方程x+c2+y2=a2，

则有1+λλx-1-λλc2+1+λλy2=a2，表示一个圆.

由Fx′，y′满足椭圆方程x2a2+y2b2=1得到x-c22a24+y2b24=1.这是两个离心率相同的椭圆（长、短轴的比不变，离心率也不变）.

解法2 ∵|OK||AF|=|CK||CF|=12，∴|OK|+|CK||AF|+|CF|=12.

而|AF|+|CF|=2a，|OK|+|CK|=a，是定值，所以点K的轨迹是以O，C为焦点，以a为长轴长的椭圆，其方程为x-c22a24+y2b24=1.

变题4 在直线CF上任意取一点L（不是C），探求点L的轨迹，并求出方程.

分析 设λ′=CLLF，点Lx，y，则有F（1+λ′）x-cλ′，1+λ′λ′y，代入椭圆方程 x2a2+y2b2=1便可求出L的轨迹方程.

在教学过程中教师要善于挖掘和选择数学知识中的发散素材恰当选择典型的问题、创设问题情境启发学生多方向、多角度地思考.对发散性较强的问题让学生大胆地去猜想变换问题，并设法解决问题；对一般性的问题则要通过教师的设问启发学生的思维发散，培养学生的数学发散思维.