运用拉格朗日中值定理逆向巧解数学问题

孙娜

摘 要：该文主要研究了拉格朗日中值定理在数学问题中的巧妙应用。文章首先对拉格朗日中值定理进行证明，对拉格朗日中值定理的主要内容进行研究;其次，结合逆向思维，对拉格朗日中值定理处理极限问题、不等式问题、证明问题、函数问题等的方法进行研究，望为解决高等数学问题提供一定的参考。

关键词：高等数学  拉格朗日中值定理  逆向思维  解题策略

中图分类号：O178      文献标识码：A        文章编号：1674-098X（2015）10（c）-0255-02

拉格朗日中值定理作为高等数学教学的重要组成部分，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。只有把握拉格朗日中值定理的相关内容，合理运用中值定理，将其与数学问题紧密结合在一起，才能够快速、正确解题，找到解题的捷径。

1 拉格朗日中值定理及其证明

众所周知，拉格朗日中值定理是高等数学中值定理中最重要的一个，能够有效处理极限问题、数列问题、函数问题及证明问题，在高等数学中具有非常广泛的应用，已经成为高等数学解题的重要路径。

1.1 拉格朗日中值定理的主要内容

若函数f（x）满足以下条件：（1）f（x）在闭区间[a，b]上连续;（2）f（x）在开区间（a，b）上可导，则函数f（x）在（a，b）内至少存在一点ξ，使得。除此之外，拉格朗日中值定理还可以表达成或。

1.2 拉格朗日中值定理的证明

在对拉格朗日中值定理进行证明的过程中可以适当利用罗尔中值定理，将其作为桥介，得出中值定理的相关内容，其具体证明如下：

依照拉格朗日中值定理形式做辅助函数。

当依照罗尔中值定理证明的过程中辅助函数必须满足F（x）在闭区间[a，b]上连续;F（x）在开区间（a，b）上可导，且F（a）=F（b）。满足以上条件后，由罗尔中值定理可知：

函数中至少存在一点ξ（a<ξ

除此之外，证明的过程中还可以选取其他方法构建辅助函数，通过罗尔中值定理对其进行证明，如直接构建辅助函数，同理可知辅助函数必须满足在闭区间[a，b]上连续;在开区间（a，b）上可导，且==0。满足以上条件后，由罗尔中值定理可知：

函数中至少存在一点ξ（a<ξ

2 逆向思维下拉格朗日中值定理的解题策略

拉格朗日中值定理解数学问题的过程中要把握好定理的限定条件，在上述基础上逆向考虑定理与题目之间的关系，从定理出發构建与题目相关的函数，从而准确求解，快速得到相应的答案。

2.1 极限问题的求解

求解极限问题的方法非常多，如，夹逼定理、洛必达法则、泰勒公式等。这些方法在求解极限问题时操作较为简单，思路非常清晰，解题难度较小，求解效果非常好。但对于一些较为复杂的极限问题，运用上述求解方法并不能够快速、准确解题。在上述状况下，可以适当选取拉格朗日中值定理，通过拉格朗日中值定理的结论将某些差式的极限转化为求积式型的极限，对题目进行转变，从而达到简化。

运用拉格朗日中值定理求极限的时候要把握好拉格朗日中值定理与极限问题之间的关联，要寻找两者之间的连接点，做好式子的简化，这样才能够快速解题。除此之外，求解过程中还要保证极限式符合拉格朗日中值定理的限定条件，防止解题失误。

2.2 不等式问题的求解

不等式证明的过程中常通过构建函数，寻找函数与导数的关系进行求解，确定在某限定条件下函数成立，从而证明不等式。这种题型使用初等函数解法一般不能够求解出来，但直接运用拉格朗日中值定理后非常简单，能够快速求解。

拉格朗日中值定理求解不等式或证明不等式时非常简单，只需要依照定理构建符合拉格朗日中值定理条件的函数F（x）即可，然后依照中值定理的相应内容进行求证。

2.3 证明问题的求解

拉格朗日中值定理证明问题在当前的高等数学中非常常见。在对上述证明问题进行处理的过程中，要把握好拉格朗日中值定理的基本内容，要学会用逆向思维从题目回归到定理，由题目寻找与定理相关的内容，追本溯源，从而将题目与拉格朗日中值定理联系在一起，逆向寻找证明路径，降低解题难度。

2.4 函数问题的求解

拉格朗日中值定理是函数与导数之间连接的重要内容。该定理将函数与导数结合在一起，对函数的性质进行了深入研究，可以全面分析函数在区间上的符号、单调性、一直连续性、凹凸性等，对函数整体和局部的把握具有至关重要的意义，是求解函数问题的重要方法。

函数问题求解的过程中要做好逆向分析，从拉格朗日中值定理及其求证出发对其与函数性质求证之间的关系进行分析，找出两者的一致性。这样才能够快速、准确求证，对函数问题进行简化，达到事半功倍的效果。但上述求证的过程中一定要注意辅助函数的构造，寻找最直接、最有效的辅助函数。

3 结语

拉格朗日中值定理在当前数学问题处理中具有非常广泛的应用效益，已经成为高等数学教学的重要内容。在对上述定理进行把握的过程中，要运用好逆向思维，从定理本身出发对解题思路进行分析，徐徐渐进，将定理与题目结合在一起，灵活运用，找到合适的解题路径。只有这样，才能够快速找到拉格朗日中值定理与题目之间的关联，抓住本质，准确解题。

参考文献

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