关于电偶极子的研究

邱伟 陶金

摘 要：电偶极子是电介质理论和原子物理学的重要模型。该文研究了电场中的电偶极子的力矩、电势能与电偶极子的电势、感生偶极矩、电场线方程。最后，用MATLAB软件来反应电偶极子激发的电场在空间上的分布情况。

关键词：电偶极子  电场  电势  MATLAB

中图分类号：0441.1         文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2015）10（c）-0253-02

在实际生活中电偶极子的应用很广泛。在以往电偶极子的教学当中，没有详细讨论电偶极子，只是给出电偶极子的电场，没有对电偶极子的力矩、电势能、电势电场线作详细讨论。在接下来将详细讨论这几个问题。

1 电场中的电偶极子

1.1 对电偶极子的力矩

电场中的电偶极子受力矩作用而旋转，使电偶极矩的方向转向外电场方向。电偶极矩简称电矩，是其在单位外电场作用下受到的最大力矩。一个水分子（见图1），显示3个核与电子存在的区域。电偶极子从氧端（负的）指向氢端（正的）。如图2所示在均匀外电场中的偶极子，设偶极子是一个大小各为q而中心相距d的两个异号电荷组成的偶极矩与电场成角。由于电场均匀，电场对偶极子的合力为零，所以偶极子的质心不移动。然而，在带电末端上力在偶极子上产生一个绕其质心的合力矩。质心位于连接两个带电末端的线上，离一个末端的距离为，而另一个末端的距离为，根据，所以合力矩（1）利用电场的大小和偶极矩的大小写出的大小，所以上式中用代替并用代替，求得的大小为：，我们还可以写成矢量形式：（对偶极子的力矩）（2），所得结果与文献[1]相同。

1.2 电偶极子的电势能

电偶极子的势能与其在电场中的取向有关。当电偶极子处于平衡取向具有最小的势能，而平衡取向是其偶极矩沿电场方向的取向。在所有其他取向的情况下它具有较大的势能。如图3所示，角为90°时势能为零，根据计算当电偶极子从90°转到其他任意时，作用在电偶极子上的电场所做的功，可求出电偶极子在该值时的势能。根据，在任意角处的势能为：（3）积分后得，写成矢量形式：（电偶极子的势能）（4）。

2 电偶极子的电势

2.1 电偶极子的电势

设电场中任意一点到、和电偶极子中心的距离分别是、和，电偶极子中心到点连线和电偶矢径成角，如图4所示，由电势公式与电势叠加原理，是及在点产生的电势的代数和。即：（5），根据电偶极子的定义是非常小的，假设、和都远远大于，所以可得出：。得（6）。

由式（6）可以得出，电偶极子电场的电势分别与距离、夹角、和电距都有关。可以设想一下：如果距离一定时，在電偶极子矢径的延长线上，，这时电势最大，;当=180°时，180°=-1，所以在电偶极子在矢径的反向延长线上时电势最小，;当90°时，°=0，所以电偶极子在中垂面上的电势为零;当<<90°时，，随角的增大而减小;当90°<<180°时，，随角增大而减小;从上面的设想中可以得出，电偶极子的中垂面是零势面，这个零势面将整个电场分为正负两个区域，一侧为正电势区域，一侧为负电势区域。电偶极子电场中某点电势与方位角的关系如图5所示。

2.2 感生偶极矩

许多分子，比如：水分子，具有永电偶极矩。在其他的分子（叫做无极分子）和在每个孤立的原子中，正电中心和负电中心重合，因而没有偶极矩形成。然而如果我们把一个原子或无极分子放置在外电场中，电场使电子轨道变形并使正电中心和负电中心分离。因为电子带负电，它们趋于沿与电场相反的方向移动。这个移动产生指向电场方向的电偶极矩。这个偶极矩被认为是电场感生的，而原子或分子被说成是被电场极化的，当电场除去后，感生偶极矩和极化消失。

2.3 用电势求电场、电场线方程

电偶极子电势的远区表达式：（7），电偶极子的轴线与轴重合，其中和分别是和到点的距离。此时（7）式又可以写成（8），电偶极子的远区电场强度可由（8）式求梯度得到。因电势只是坐标和的函数，于是有（9）。

从（8）式和（9）式可以看到，电偶极子的远区场的电场强度与的三次方成反比，电势与的平方成反比。根据（8）式，电偶极子的等电势面方程可。

将电力线方程写成球坐标形式，此时电场只有和两个分量，有（10），把电场表达式（9）带入上式（11），解上式得电偶极子远区场的电力线方程恒量（12）。图6给出了电偶极子为常数的平面内电偶极子远区场电力线方程中恒量取不同的常数所对应的等电势线和等电力线。[2]

3 用MATLAB演示电偶极子

用MATLAB演示点偶极子见图7所示。[3]

4 结语

通过以上的研究，对电偶极子这个最基本的物理模型有了更深入的认识，以上研究只是电偶极子的电学属性而忽略了力学属性，电偶极子在电场中并不是静止不动的，它收到力矩的作用会在平衡位置进行微小的振动，如果对均匀电场中的电偶极子的运动特征进行分析和讨论，就能更好的掌握电偶极子这一重要的物理模型。模拟出来的图形若能够采用动画的形式播放，可以给人以视觉上的享受，把抽象的问题具体化、图形化。

参考文献

[1] 哈里德.物理学基础[M].机械工业出版社，2005.

[2] 张之翔.电磁学千题解[M].科学出版社，2005.

[3] 矫洪楠，侯怒.电偶极子激发的电场及其MATLAB模拟仿真[J].物理通报，2014（10）：27-29.