电偶极子在均匀电场中的运动特征研究

张永梅

（南京航空航天大学理学院，江苏 南京 211106）

电偶极子在均匀电场中的运动特征研究

张永梅

（南京航空航天大学理学院，江苏 南京 211106）

电偶极子在均匀电场中受到力矩的作用而发生转动，但由于惯性的存在，电偶极子不会立即静止在平衡位置，而是会在平衡位置附近振动.本文从动力学和能量特征两个方面证实，初始角度较小的情况下，电偶极子做简谐振动.

电偶极子；均匀电场；力矩；简谐振动

1 引言

电偶极子是一个重要的物理模型，大部分物质的分子的电性质都可以看成是由正电中心和负电中心构成的电偶极子［1］.在静电学中我们都会讨论电偶极子电场的特点，也会讨论电偶极子在电场中受到力矩作用而发生转动，这也是电介质极化的基本机理之一.目前的教科书在处理电偶极子时都只考虑它的电学属性而忽略力学属性，认为电偶极子在均匀外电场作用下将发生转动而趋于外电场方向［2］.这是不全面的.事实上，任何带电粒子都具有质量，都具有惯性.考虑到电偶极子具有惯性，它应该会在平衡位置附近振动.本文考虑电偶极子由具有一定质量而电荷极性相反的两个粒子组成，研究由于静电力和惯性的共同作用，电偶极子在电场中的振动行为，并从能量的角度证实振动的电偶极子类似力学中的单摆或弹簧振子.

电偶极子是在电磁理论和实际生活中经常遇到的一种带电体系，是距离较近的等量异号电荷构成的带电系统.连接两电荷的直线称为电偶极子的轴线，取从负电荷指向正电荷的矢量re的方向为轴线的正方向.电荷量q与矢量re的乘积定义为电偶极矩，简称电矩，即pe＝qre.

图1 电偶极子示意图

2 电偶极子在均匀电场中的运动

设外电场的强度为E，把电偶极子放在该均匀的外电场中时，它的电偶极矩pe的方向与电场强度E的方向之间的夹角为θ.电偶极子的正负电荷分别受到电场力F1和F2的作用，这两个力的大小F1＝F2均为qE.

由于这两个力大小相等，方向相反，所以电偶极子受到的合力为零，电偶极子不会发生平动.但是这两个力不在同一条直线上，所以电偶极子受到力矩的作用，这个力矩的大小为

写成矢量式为

图2 在均匀外电场中的电偶极子

在这个力矩的作用下，电偶极子将发生转动，直到pe与E的方向一致（θ＝0）.当θ＝0或θ＝π时，力矩变为零.所以θ＝0或θ＝π是电偶极子的平衡位置.力矩的作用将使电偶极子趋向于平衡位置θ＝0.但是，如果考虑到电偶极子是由具有质量的两个粒子组成，由于惯性，电偶极子不会立即静止在平衡位置，而是会继续运动，再次偏离平衡位置，再由于力矩的作用回转到平衡位置，如此继续下去.也就是说，电偶极子会在平衡位置附近来回摆动.我们忽略电偶极子摆动时的辐射阻尼，下面来看电偶极子的运动方程.

力矩的作用使电偶极子趋向于平衡位置，设使电偶极子角位置θ增加的转向为正，则力矩M使电偶极子沿θ减小的方向转动.因此我们把力矩的值写作

如果角度θ足够小，比如θ＜5°，那么sinθ≈θ.这时力矩就写为

其中，θ是电偶极子对平衡位置的偏离.所以电偶极子受到的力矩与角位置成正比而方向相反，电偶极子作简谐振动.由M＝Jβ，则有

其中，θ0是振动角位置的振幅；ω0是振动的圆频率由电偶极子本身和外电场的性质决定.

我们可以对振动频率的数量级做个估计.电介质分子电偶极矩的数量级是10－30C·m［3］，电场采用击穿场强的1/10，数量级为106V·m－1，质量的数量级为10－27kg，距离的数量级为10－10m.代入频率的公式计算，则频率的数量级是1013Hz.电偶极子振动的频率还是相当高的，若考虑它的电磁辐射，其频率大约在中、近红外的范围.

既然考虑到带电粒子具有质量，在分析力矩的时候就必须考虑到重力矩，在分析振动能量时也应该考虑重力势能，就是说应该考虑重力场的作用.究竟重力场会不会对电偶极子的振荡行为产生影响呢？如图3示，无论电偶极子处在怎样的位置，构成电偶极子的两个带电粒子受到的相对于转动中心的力矩都是大小相等而方向相反，所以力矩的总和等于零.因此重力的力矩对电偶极子的转动没有影响.

图3 电偶极子系统受到的重力矩

3 振动电偶极子的能量特征

上面从动力学特征分析，电偶极子在均匀电场中作简谐振动，下面再从能量角度分析它是否符合简谐振动的特征.处于电场中的电偶极子的能量应当包括振动的动能和电势能.

再看电偶极子在电场中的电势能.电偶极子在任意位置时的电势能为Wp＝W1＋W2＝－qErecosθ.它在平衡位置的电势能是Wp0＝－qEre.所以电偶极振子偏离平衡位置时的势能Ep＝Wp－Wp0＝qEre（1－cosθ）.考虑到小角度近似而θ＝θ0cos（ω0t＋φ0），所以电偶极子偏离平衡位置的势能为

我们发现电偶极子的动能和势能都是随时间周期性变化.电偶极子的总能量为

可见，电偶极振子的总能量是不变的.这是因为振动过程中既没有外力做功，也没有非保守内力做功.

4 电偶极子模型及其应用

电偶极子是电介质理论和原子物理学的重要模型，研究从稳恒到X光频电磁场作用下电介质的色散和吸收，以及天线的辐射等现象，可以用振荡偶极子来表示［4］.尽管刚性电偶极子在均匀电场中做无耗散的简谐振动，但在电介质中存在大量的电偶极子，它们之间有大量的相互作用.电介质被极化后，内部电场被削弱，电偶极子受到的力矩减小，振动圆频率也会减小.电介质很快达到稳定的极化状态.生物体所有的功能和活动都以生物电的形式涉及电偶极子的电场.例如，心脏的一个完整的电活动过程就包含了心肌细胞接受刺激形成电偶极子、伴随刺激在细胞内的传播电偶极子的电矩向前延伸、刺激结束后心肌细胞的复原即正负电中心重合而电矩为零，完全复原后心肌细胞又可以接受新的刺激［5］.电偶极子模型还用来研究舰船静态电场的深度换算，实现舰船电场补偿，有效提高舰船的安全性［6］.

5 总结

对均匀电场中电偶极子的运动特征进行分析和讨论，不仅使学生理解和掌握电偶极子这一重要的物理模型，而且把静电学和刚体转动、机械振动等知识有机结合，培养学生灵活的思维和综合应用知识的能力.

［1］ 孙目珍.电介质物理基础［M］.广州：华南理工大学出版社，2002

［2］ 程守洙，江之泳.普通物理学［M］.6版.北京：高等教育出版社，2006

［3］ 张三慧.大学基础物理学 下册［M］.北京：清华大学出版社，2003

［4］ 殷之文.电介质物理学［M］.3版.北京：科学出版社，2003

［5］ 段鹤.电偶极子模型及其应用［J］.齐齐哈尔大学学报自然科学版，2011，27（2）

［6］ 刘文宝，王向军，嵇斗.基于电偶极子模型的舰船静电场深度换算［J］.空军雷达学院学报，2010，24（6）

STUDY OF MOTION CHARACTERISTICS OF
ELECTRIC DIPOLE IN UNIFORM ELECTRIC FIELD

Zhang Yongmei
（College of Science，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing，Jiangsu 211106）

Electric dipole in uniform electric field rotates because of electric torque.When the electric dipole reaches its balance position，it doesn't rest at the position as inertia exists，but vibrates around the balance position.In this paper，it is confirmed that the electric dipole exhibits simple harmonic motion under small angle initial condition from the view of dynamics and energy characteristics.

electric dipole；uniform electric field；torque；simple harmonic vibration

2011－11－04）