直线与平面垂直、平面与平面垂直的几何直观教学研究

赵晓玲

【摘要】 立体几何的教学中，我们往往会忽视几何直观，而强调其他方面. 几何直观是立体几何最本质的优势，我们要重视对学生进行几何直观的应用意识的培养. 本文是针对直线与平面垂直、平面与平面垂直的几何直观方面的教学研究.

【关键词】 直线与平面垂直；几何直观；平面与平面垂直

在立体几何的教学中，我们教给学生很多方法，比如：把立体几何问题转化为平面问题，运用图形语言、符号语言等等，却往往忽视立体几何本身的优势——几何直观. 教学中，如果我们在重视几何直观的基础上，再强化其他方面的做法，将会加强学生对所学知识的理解.

下面我想谈谈我在必修2立体几何部分关于垂直的教学及辅导中，指导学生操作的几个触手可及的几何直观对学生理解直线与平面垂直的定义和判定定理以及面面垂直所起的作用.

首先谈谈人教A版必修2第二章2.3.1直线和平面垂直的判定这一节内容的教学. 教参上关于这节所设定的教学重点是：直观感知，操作确认，概括出直线和平面垂直的定义及判定定理. 课本上关于直观感知和操作确认方面设计了两个实例，一是通过旗杆和它的影子的例子来概括定义，二是通过折纸来探究判定定理. 我觉得这两个实例，学生不容易操作，理解起来比较困难. 于是，我自己设计了几个便于学生操作和理解的几何直观，简单易行，说出来和大家共享.

一、关于直线和平面垂直的定义的理解

建议学生每人拿出一个三角板（或一把格尺，只要带一个直角的尺子即可），把其中一个直角边贴在桌面上，另一个直角边竖直立在桌面上，感受到直线（即竖直的直角边）与平面（桌面所在的平面）垂直，且平面内有一条与之垂直的直线（即桌面上的直角边）. 将该贴在桌面的直角边绕竖直的直线旋转一周，就知道竖直的直线和桌面上所有过垂足的直线垂直. 桌面上其他位置的任何一条直线一定会与过垂足的某一条直线平行，于是，直线就与桌面上任一直线都垂直了. 经过这样的操作确认，学生们就真切地感受到如果直线和平面垂直，则该直线就和平面上任一直线都垂直，没有一条例外. 因此，可以这么定义：如果一条直线与平面内的任一直线垂直，则这条直线和这个平面垂直. 通过这样的直观感知和操作确认，学生对线面垂直的定义的理解就会较为深刻了.

二、对直线与平面垂直的判定定理的探究

如果用定义判定直线与平面垂直，需要判定直线与平面内任一直线垂直，麻烦，使用起来很困难，于是，我们就希望被判定的直线的条数越少越好. 探究：1.如果直线与平面内的一条直线垂直，能判定这条直线和这个平面垂直吗？学生容易回答说，不能. 要求举反例说明的时候，学生就容易举平面内的一条直线. 进而引导学生思考，如果直线和平面相交，但不垂直，平面内能找到与这条直线垂直的一条直线吗？如果学生抽象地去想，那么他们得出正确的结论很困难. 这时，指导学生用带直角的尺去操作一下. 有的同学能找到，按如下操作方式：其一直角边贴在桌面上当直线，另一直角边与桌面相交但不垂直，这样学生就理解了：在平面内能找到平面的斜线的垂线. 再让每名同学动手操作一下体会体会. 平面内存在平面的斜线的垂线，这是学生对垂直概念理解的一个难点. 通过这种操作，能加深学生的理解和认识. 2.如果直线与平面内的两条直线垂直，能判定这条直线和这个平面垂直吗？如果是两条平行线，不行. 由探究1知，有一条，通过平行，就会有两条，进而有无穷多条. 这样，也理解了定义中不能把“任一条”换为“无穷多条”，因为有一条，通过平行，就会有无穷多条. 如果是两条相交直线，行. 设计这样一个操作：请同学们随意拿一本书，从某页翻开，立在桌面上. 由于每页都是矩形，书脊所在的直线垂直于桌面上的两条相交直线，书脊所在的直线就和桌面垂直. 学生能直观感知书脊所在的直线与桌面上的两条相交直线垂直，就与桌面垂直. 如何理解呢？如果把打开的两页书在桌面上绕书脊旋转一周，就会导出和任一条直线垂直了，从而用定义可以解释了. 关于此定理的严格证明，课本不要求，以后可以用空间向量来证.

在辅导答疑时，学生对有些问题想不明白的时候，我也时常设计一些触手可及的几何直观帮助他们来理解相关的问题. 比如学生问了这样一个问题：一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角的大小关系是 （ ）.

A. 相等 B. 互补 C. 相等或互补 D. 不一定

此题抽象地思考不容易得到解答，我设计了这样一个几何直观：在教室内很容易找到三个互相垂直的墙面，其中一个墙面是窗户所在的平面，一个是地面，一个是黑板所在的平面. 取地面和黑板所在的平面形成一个二面角1，打开窗户，窗户和它所在的墙面形成一个二面角2，这样两个二面角符合题目条件：一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，二面角1的大小是90°，二面角2的大小随着窗户的开合，大小是不同的，可能互补，可能相等，也可能既不互补也不相等，因此选D.这个几何直观把窗户所在的平面换成门所在的平面也可以. 通过这个几何直观，学生理解起来就容易多了.

几何直观是立体几何最本质的优势，在教学和辅导中，教师要有意识地引导学生从他们的生活经验出发，把几何图形与所学内容联系起来，使他们充分利用触手可及的几何直观，有效地发展他们的空间观念，从而形成应用意识，加深对所学内容的理解. 学生手中的笔和尺，教室中的墙面、地面、桌面等都可以作为立体几何的几何直观.

【参考文献】

普通高中数学课程标准实验教科书A版《数学》必修2《 教师教学用书》[M].北京：人民教育出版社.