空间角求解策略的比较研究

☉江苏省青山高级中学 吴建明☉江苏省无锡市河埒中学 顾雪

空间角求解策略的比较研究

☉江苏省青山高级中学 吴建明☉江苏省无锡市河埒中学 顾雪

在高中阶段代数和几何是其主体内容，而立体几何是高中几何知识的重要组成部分，在立体几何有限的考查的知识点中，有关空间角的计算是一个高考出现频率非常高的内容.按照求解过程所依据的理论的不同，可以将空间角的求解策略分成两类：一类以立几的相关定理和公理为依据的传统几何法；一类是依据空间向量理论而求解的向量法.每类方法有各自不同的特点和缺陷，因此，有必要对两种理论进行深入的比较研究，以明晰各自的优势所在，从而为学生提升解题质量提供帮助.

一、实践层面：实际解题过程的对比呈现

例1如图1，已知点P在正方体ABCD-A′B′C′D′的对角线BD′上，∠PDA=60°.

（1）求DP与CC′所成角的大小；

（2）求DP与平面AA′DD′所成角的大小.

二、理论层面：相关解题思想的对比呈现

实践层面的对比呈现，还不足以完整地刻画出传统几何法与向量法的差异，因此有必要再从理论层面对两者进行梳理，以明晰两者之间的区别.从实践中不难发现空间中的角依据组成要素的不同，有线线角、线面角，其实还应包含一类由面与面所形成的角，即面面角，以下按角的分类，进行两类方法的对比研究.

1.线线角的求法

首先，传统几何法求解异面直线所成角，主要是借助于平行四边形和三角形中位线的平行特性，关键在于抓三个步骤：①“作”，即过空间某一点作平行线，将异面直线所成角转化成平面角；②“证”，即证明所构造的角即为所求异面直线所成角；③“算”，即通过三角形三边关系，利用余弦定理求解所成角.

其次，向量法求解异面直线所成角，将异面直线所成角转化成两条直线方向向量夹角，特别需要注意的是方向向量的夹角与异面直线所成角的范围上的差异，即若两向量夹角的余弦值为负值时，所求角应为向量夹角的补角.其步骤包含：①建立适合的坐标系，写出两条异面直线的方向向量a和b，设其夹角为φ；②利用几何体的特性，求解方向向量的坐标；③利用向量数量积公式

2.线面角的求解

首先，传统几何法求解直线与平面所成角，主要是借助解三角形的理论，关键做好以下几个步骤：①“构造”，即过所在直线上一点作平面的垂线，连接垂足与斜足，构造直角三角形；②“求值”，即通过几何体上的数量关系求解三角形的边长；③“求角”，即利用余弦定理或直角特性求角的余弦值.

其次，向量法求解线面角，将线与面所成角转化成线的方向向量与面的法向量之间的夹角，需要注意的是向量所成角与线面角的特殊关系.根据图5可以发现，向角函数诱导公式sinθ=|sinα|，其操作步骤为：①建立空间直角坐标系；②求直线的方向向量a；③求平面的法向量n；④利用sinθ= |sinα|计算.

图5

图6

3.面面角的求解

首先，传统几何法求解面面角，按照如下三个步骤：①作，作出二面角的平面角；②证，证明所作角符合二面角的平面角定义；③算，通过解三角形计算角的余弦值.

其次，向量法求解面面角，将面与面的平面角转化两平面法向量的夹角，需要注意的是面面角与两法向量夹角的特殊关系.根据图6可以发现面面角θ与法向量夹角α的关系为：当法向量的方向一进一出时θ=α；当法向量的方向同进同出时θ=π-α.其操作步骤为：①建立直角坐标系；②求解面的法向量；③利用向量数量积公式求角向量夹角；④判定二面角的大小，求夹角的余弦值.

三、反思总结：两类求解策略的比较研究

反思上述理论与实践操作的过程，对比每种角的两类求解方法，不难发现两类方法在求解过程中的联系与区别.

在联系方面，首先，它们有着共同的理论基础，即经典立体几何理论，传统立体几何法以经典的几何理论为指导思想，通过添加辅助线的方式构造空间中的角，而向量法则以经典立体几何理论将空间中的角转化成了空间向量的夹角；其次，从数学思想方面讲，两者均体现了一种转化与化归的数学思想，传统几何法通过添加辅助线将待求的角转化成新构成的角，而向量法则是将待求转化成两个相关向量的夹角；再次，从数学模型上讲，两者都有各自固定的解题模式，传统几何法概括起来可以用“作”、“证”、“算”三个字来表达；然后，根据相关理论来证明所作角即为待求角；最后，根据解三角形的相关理论，利用正余弦定理求解空间角的大小.

在区别方面，首先，从两者思维突破的关键点上看，几何法思维突破的关键点在于构造，而向量法思维突破的关键点在于转化.解题思想和实际操作都向我们昭示着这样一个事实，即无论求解哪类角，几何法都无法避免增加辅助线，而辅助线的增加讲究的是合适的位置，但这对于抽象能力稍弱的学生而言往往是使其陷入困境的原因所在，而向量法则不同，它利用向量夹角与空间角之间的联系，实现两者间的转化，所需要的仅仅是学生的计算能力，而高中生计算能力相比于构造能力而言应当是优势项目.其次，从两者思维的流畅性上讲，向量法的思维运算的复杂程度要比传统几何法的思维运算的复杂程度低的多.以问题（1）为例，传统几何法过程上看似非常简单，但三条辅助线添加、三次余弦值的求解，并且还需要通过比例式建立三个余弦值之间的联系，这样的思维组合远非其计算过程所能比拟的，其中的任何一个环节足以让学生的思维陷入停顿，而向量法则不同，它所需要作的仅仅是找到向量的坐标，利用向量数量积的公式求解即可.当然比较两种方法的实际操作过程，也可以发现向量法在降低思维复杂性的同时也一定程度上增加了计算的复杂性，但这种程度是在学生可以接受的范围内的.

总而言之，向量法与传统几何法在求解空间角的问题上各有各的优势和缺陷，但在权衡利弊后，总体上向量法回避了复杂程度高的几何技能，发挥了更有优势的代数运算技能.A