生长学生个性共享思维智慧*——应用题教学的一次尝试及感悟

☉江苏省天一中学孙承辉 何志奇

生长学生个性共享思维智慧*
——应用题教学的一次尝试及感悟

☉江苏省天一中学孙承辉 何志奇

一、授课背景

2014年11月3日，江苏省天一中学举办了第十届全国“聚焦课堂·生长课堂”大型研讨活动，笔者代表学校数学组开设了一节交流研讨课，课题为苏教版必修1“函数模型及其应用”（第一课时）.授课的班级为四星级重点高中的高一平行班，学生的数学素养较高，部分学生思维活跃，能很好地参与教学互动.

在评课过程中，听课老师表示这节课令人耳目一新，具有两大特色：一是从学生“原生态”的学情出发，在生生互助、师生互动中实现了释疑解惑，学生的个性得到了生长；二是教师给予学生充分的时间和空间，锻炼了学生的数学表述能力，优秀学生的思维智慧在全班学生中得到了共享.笔者将本节课的教学设计和教学感悟整理如下，以期与同行探讨交流.

二、教材分析

1.地位及作用

函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，是研究变量之间依赖关系的有效工具.用函数的观点看实际问题，也是学习函数的重要内容.“函数模型及其应用”是苏教版必修1第三章最后一节，根据配套教师用书的建议，该节内容的教学需要3～4个课时.因此，笔者对第一课时的教学目标定位为：在学生掌握了一些基本初等函数（如二次函数、指数函数、对数函数、幂函数等）的基础上，通过具体的生活实例，让学生学会根据实际问题的情境建立函数模型（即学会“建模”），这是数学地解决问题的关键，而将“解模”、“还原”等环节的教学放入下一课时.

2.目标分析

（1）知识与技能：学会根据实际问题的情境建立函数模型.

（2）过程与方法：通过审题理解实际背景，学会理清数量关系，运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题.

（3）情感、态度与价值观：通过独立探索和互动交流，培养学生提出问题、解决问题的能力，以及数学交流的能力.

3.教学重点、难点

教学重点：将实际问题抽象化为函数模型.

教学难点：准确理解题意和理清变量间的关系.

4.设计思路

对于高中数学应用题的教学，一线教师普遍感觉难教、教不好.笔者产生了一个设想：适当地借鉴翻转课堂的教学模式，构建新颖的教学设计，尝试突破应用题难教的现状.所以本节课的基本思路是：从学生“课前学习任务单”的反馈情况出发，提出核心问题及相应的子问题，引发学生在探索中思考，引导学生在互动中交流，从而让学生完成对知识的内化.

三、教学过程

（一）课前活动简介

课前活动在课前展开并完成，主要包括以下两个环节：首先，让学生观看教学微视频.该微视频以“PPT语音讲解+数位板手写输入”的方式录制，时长5分9秒，主要介绍函数模型在日常生活中的应用，并详细讲解教科书第98页的例1，归纳了用函数观点刻画实际问题的方法及注意点.然后让学生完成“课前学习任务单”.

（二）课堂活动简录

1.把脉学情，夯实基础

上课伊始，教师对“课前学习任务单”进行简要分析与点评.对于每一道练习题，教师都投影出2～3个学生的不同解答，然后由学生辨别给出的解答是对还是错？如果错的话，又错在何处？而且能从错误中得到建立函数模型的哪些注意点？

例如，对于必做题的第1题：已知等腰三角形的周长是20，则底边长y关于腰长x的函数解析式为________.教师展示了图1所示的三种典型答案：

图1

学生1的回答是：“答案①没有考虑函数的定义域；答案②考虑到函数的定义域，但忽视了三角形满足两边之和大于第三边；答案③是正确的.通过解这道题我知道建立函数模型要正确给出函数的定义域.”

教师再结合其他的几道练习题，归纳了建模的三个注意点：（1）关注函数的定义域；（2）准确理解题意；（3）学会用数学的符号语言表达实际问题.

设计意图：教师在课前对“学习任务单”的完成情况作了统计分析，有助于第一时间把握学情，从而为本节课的教学铺设合理高效的思路.另外，教师将“原生态”的学情进行投影反馈，并且由学生来点评，可以激发全班学生思考问题的积极性，这比教师单纯的说教式点评更高效.这一环节暴露了学生“先学”所反馈出来的薄弱点，教师可因此对症下药，使学生的基础夯得更实，也为“后教”指明了方向.

2.突出核心，深入探讨

教师提出本节课所要讨论的核心问题：如何根据实际问题建立函数模型？学生2和学生3分别代表两个“思考题”小组讲述了他们的思考成果，提纲如图2所示.

图2

在此基础上，师生共同归纳根据实际问题建立函数模型的要点：（1）仔细读题，划出关键词，理清数量关系；（2）将生活语言翻译为符号语言（如等式、不等式等）；（3）确定自变量和因变量，以及两者之间的联系，从而建立函数关系式.

设计意图：围绕本节课的核心内容，教师在课堂上创设机会鼓励学生大声、大胆地表达，让他们用原生态的语言将自己的真实思维水准展现出来.然后通过互动交流，教师引导学生对知识进行深入讨论，形成深刻理解，进而做到了在碰撞中产生思维火花，在争鸣中理清知识内涵.

3.反馈练习，巩固提升

教师投影了一道练习题：某汽车生产企业上年度生产汽车的投入成本为8万元/辆，出厂价为10万元/辆，年销售量为12万辆.本年度为节能减排，对产品进行升级出厂价相应提高的比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.5x.写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的函数关系式.

学生独立思考，教师巡视，然后前后左右的同学之间互相交流.教师用实物展台投影了学生4的成果，并请他阐述解题思路和过程.最后，师生对反馈练习的结果作出评价.

设计意图：通过练习来反馈学生对建模的理解能力和掌握程度，然后由学生的示范讲解让所有学生共同经历读题、审题、数据分析等过程，从而加深对数学建模的认识.教师在巡视过程中也能和学生进行个性化交流.

4.探究拓展，展示成果

“课前学习任务单”给出了如下探究题：雪碧、可口可乐等350mL易拉罐饮料在市场上的销量很大，细细观察，它们的形状和尺寸几乎都是一样的，这是为什么呢？这就涉及易拉罐（可近似地看作圆柱体）的最优设计.你能从函数的观点提出问题并解决问题吗？

“探究题”小组从函数的观点提出了自己的想法，并与全班学生进行了分享.以下为学生4的演讲实录：

将易拉罐近似看作一个圆柱体，最优设计无非两种：（1）体积一定，用料最少；（2）用料一定，体积最大.我们组主要探究了前面一种.

从以上结论看出底部直径与高之比为1∶1，但易拉罐的立面怎么看也不是个正方形，理论推算的结果与实际情况不符合，这是为什么呢？通过称重量发现，底部用料大约是顶部用料的2～3倍.

方法一：用导数求解；方法二：仍然用均值不等式求解.

结论：h=4r=2D，即直径与高的比值为1∶2时为最优设计.经测量可知易拉罐底面直径为6.4cm，高为11.6cm，大致符合以上结论.

以上用到的导数和均值不等式等知识是我们课后自学的.

另外，易拉罐为什么要做成圆柱体呢？我们小组研究后认为：第一，从物理学角度看，在底面积相同的条件下，圆形底面使易拉罐最不容易倒.第二，用手去握住的话，受力比较均匀.第三，若受到外力碰撞，对外界的力有传导分流作用.第四，内部装碳酸饮料，有气体的话不易爆罐.第五，方便自动售货机出售等.

设计意图：从日常生活中的事物出发，引导学生对易拉罐的设计进行深入思考和探究，让学生学会提出问题.爱因斯坦说：“提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，……提出新的问题、新的可能性，……需要创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步.”当发现知识不够用时，学生会主动地寻求解决之道（如翻阅教科书，向老师或学长请教等），这些学习能力都会使他们终身受益的.

四、教后感悟

1.应用题教学要立足基本学情，展示学生的数学思维状态

“高中数学应用题解决是个复杂而又庞大的系统工程.”［1］高中数学应用题难教难学的现状，一方面是由应用题本身的特点决定的，如阅读量大、情境陌生等；另一方面与教师的教学方式有很大关系，如果教师过于包办，把解题的思路讲解得头头是道，那么学生可能会觉得课上听得懂，课后自己解题却不知所措.

突破以上难点的一种有效方法就是教师在教学前深入地了解学情.“课前学习任务单”的题量小，难度低，但选题典型，可以迅速地反馈学生在解应用题方面的薄弱点.另外，让学生用自己的话说一说如何建立函数模型，可以真实地反映他们的思维状态.如学生5所说：“通过仔细地审题……判断具体使用哪一种函数”，他对建立函数模型的方式还停留在套用熟悉的函数模型，这时教师可以结合实例，使他认识到应该根据变量间的关系列式，有时所列的函数关系式未必是自己熟悉的.这样的交流有助于教师发掘学生的认知现状和思维误区，从而完善学生的知识结构.

2.应用题教学要立足知识难点，增强学生的数学建模意识

应用题教学的目的不是教会学生会解哪些类型的应用题，而是让学生经历审题、建模、解模、还原等过程，提高他们的阅读理解能力、数学建模能力和数学求解能力.

建立数学模型，也就是“引入数学符号及语言，将系统要素及结构转化为空间形式或数量关系，这是由具体到抽象的过程.”［2］在这个过程中，教师要引导学生身临其境地进入应用题的情境里，“要善于想象客体的变化过程”，［3］在把握问题情境的基础上，收集和整理相关的数据，分析题目中的数量关系，并将其翻译为数学符号语言，从而建立起与原来实际问题“合拍”的数学模型.另外，在课堂内外，教师也要抓住生活中的契机，如易拉罐的最优设计问题等，让学生学会数学地提出问题，增强他们的数学建模意识.

3.应用题教学要立足综合素养，培养学生的数学表达能力

在应用题教学中，教师可以放手让学生讲述问题解决的经历，尤其是审题和建模环节.高中数学课程的具体目标之一是提高“数学表达和交流的能力，发展独立获取数学知识的能力.”［4］应用题的信息量大，能够把自己如何读题、如何分析数据等过程有条理地表达出来，这本身就是学生优秀素养的表现，而且这种互动交流“使整个课堂成为一个巨大的信息场，学生所获得的信息量远比单一的师生对话要多.”［5］

“这道题目要求的是……，所以我想到要先求出……”，“我只想到了这一步，下面解不下去了……”等，无论是成功地解答出来还是遭遇到一时的挫折，学生用这些原生态的语言表述了自己的思考和困惑.尽管学生的表述未必很科学，但从长远来看，学生在数学表达的活动中提升了自己的数学素养，同时，素养的提升又进一步培养了自己的数学表达能力.

1.李俊.谈高中数学应用题的有效教学［J］.中学数学教学参考（上），2014（9）.

2.赵明连.在文本和模型之间——关于应用题建模教学和评价的若干问题研究初探［J］.数学通报，2009（4）.

3.裴光亚.高考数学应用题的研究［J］.中学数学，2000（3）.

4.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.

5.李善良，葛军.高中新课程问题与对策：数学［M］.上海：上海教育出版社，2012.F

*本文是江苏省无锡市教育科学“十二五”立项课题“高中数学教师专业能力提升的有效策略研究”（课题编号C/D/2014/001）的阶段研究成果．