高中数学人教A版和北师大版教科书比较分析——以“数列”一章为例

☉甘肃省西和县第一中学 董强

高中数学人教A版和北师大版教科书比较分析
——以“数列”一章为例

☉甘肃省西和县第一中学 董强

新课改下的高中数学出现了多个版本，不同的版本在教科书的编写过程中有着不同的侧重点，文章以必修系列中的“数列”一章作为实例，将人教A版和北师大版教科书做了不同层面的比较分析，以求对高中数学教学带来一定的借鉴作用.

一、总体比较分析

人教A版教科书“数列”一章分布在必修5第二章，是高二上学期学生学习的重要内容，从编排体系上可以看出，本章内容布局清晰合理，首先是大的目标数列总序，接着是从两类特殊的数列——等差数列和等比数列入手，详细研究了数列及其相关性质，并联系生活实际，说明了数列在实际生活中的应用.全章共5节，2.1数列的概念与简单表示法，2.2等差数列，2.3等差数列的前n项和，2.4等比数列，2.5等比数列的前n项和，最后是小结和复习参考题.这5节内容体现了由整体到个别、由一般到特殊的研究思路，是“先总观整片森林，再研究具体树木”的典型，是先有整体影响，再有细微研究之范式，从整体到局部的设计，能更贴近学生的认知规律.等比数列的学习又体现了和等差数列类比学习的过程，从对等差数列和等比数列的研究中总结思路和方法，进而上升到对数列整体的把握和学习.其中，在2.1节结束后有一节阅读与思考，介绍了斐波那契数列，之后有一节信息技术的应用，介绍了估计的值的办法，这些常见的而重要的生活场景都与数列息息相关，从而为等差数列和等比数列的学习埋下了伏笔.在章结束的时候又有一节阅读与思考，介绍了一种有趣的古老游戏九连环，再次引发学生学习数列知识的热情，接着是一节探究与发现，介绍了购房中的数学，让学生体会到生活中数学的重要性，从而在一定的高度给学生一种暗示，必须要学好数学，学好数列知识.

北师大版数列一章涉及了生活和数学的各个方面，广泛而全面，每小节都是从问题的提出开始，从生活中几个常见的实例出发，进而抽象概括，形成数学中的数列、等差数列、等比数列概念，始终坚持创设问题情境，引导学生探索的总思路.依据新课程标准（以下简称《标准》）要求，结合现代教育理念，将“问题情境—建立模型—解释与应用”作为课程内容的呈现方式，按照“明目标、创情境、浅入口、设梯度、多体验、重探索、会反思”的常规教学思路而编写.《标准》要求探索并掌握等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，这里的探索是指学生的自主探索，而教师则起一个指导的作用，这是《标准》所倡导的新型学习方式.本章内容的处理恰到好处，所设计的问题及思维线路都易于教师激发学生去自主探索.

二、《标准》视角下具体比较分析

《标准》明确地提出：“了解数列是一种特殊的函数”，这里的特殊函数其实是指离散函数，这个知识点课标虽然是明确要求的，但学生对此是陌生的，直接给出这个知识点学生接受较难，在这个知识点的处理上，人教A版在必修1中第1.2.2节设置了函数的表示法，其中一道关于笔记本的数量和所需钱数的例题说明了函数的图像还可以是一些离散的点，也可以是直线、折线、连续的曲线等，这为学习数列知识提供了必要的知识准备；比较而言，北师大版的教科书在函数部分也设置了一节2.2函数的表示法，介绍了函数表示法的常见形式，但北师大版始终没有提到函数的图像还可以是离散的点这一事实，这为学生学习数列知识在一定程度上造成了些许困难.下面的表1详细地列举了《标准》在两个版本中的具体体现.

表1

（2）探索并掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.人教A版教科书是通过等差数列的概念，运用了不完全归纳法归纳出了等差数列的通项公式，学生归纳通项公式的过程体现了探索精神.对于前n项和公式的探索过程，教科书是通过小高斯计算1+2+…+100的趣事引出了等差数列前n项和的推导思路，整个过程体现了学生的探索意识.北师大版教科书首先通过一道简单例题引出了等差数列通项公式的推导思路，并顺势将思路一般化，而后归纳出了等差数列的通项公式，体现了由特殊到一般的思想.对于前n项和公式，教科书通过圆木料的摆放引出了高斯求和的故事，并顺势抽象概括出等差数列前n项和的推导思路——倒序相加.（3）通过实例，理解等比数列的概念.人教A版教科书是通过细胞分裂、庄子篇“一尺之锤”、计算机病毒传播、银行存款的复利4个实例归纳出等比数列的概念.北师大版教科书通过拉面师拉面、星火化工厂的年产值两个实例抽象概括出了等比数列的概念.（4）探索并掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.人教A版教科书是通过归纳、猜想得到等比数列的通项公式，培养了学生的探索意识.对前n项和公式的推导是通过古印度国王对国际象棋的发明者的奖赏开始的，故事性强，体现了学生的探索精神.北师大版的教科书也是通过归纳、猜想得到了等比数列的通项公式，并对首项满足通项公式做了验证说明.对前n项和公式，教科书是通过小林和小明的“贷款”故事，引出了学生对等比数列求和的热情，同样体现了学生的探索精神. 3.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题.人教A版教科书通过38页例2的出租车计费问题，使学生初步感受等差数列在日常生活中的应用；通过50页例1的放射性物质的衰变问题，让学生了解现实世界的奥秘；通过43页例1“校校通”工程的总投入，让学生了解信息技术的发展；通过56页例2某商场计算机销售量问题的解决，让学生体验在具体问题情境中抽象等比数列模型的过程.北师大教科书通过16页例8北京天坛的石板问题、17页例10植树工人所走路程、18页例11抗洪第二道防线的构筑、24页例4中美洲地区的毁林现象、27页例6五洲电扇厂5年总利税问题、28页例7热气球的上升高度等问题都是在具体的问题情境中，让学生发现问题的数学背景，用数列的知识解决实际问题.

4.体会等差数列、等比数列分别与一次函数、指数函数的关系.人教A版教科书38页例3和39页探究就是为了让学生体会等差数列与一次函数之间的关系；同样，50页探究正是为了让学生发现并体会等比数列与指数函数之间的关系.北师大版教科书在13页正文部分集中论述了等差数列与一次函数之间的关系，并通过例5直观地从几何意义上给以说明；教科书在23页思考与交流栏目正式提出“根据指数函数的单调性，分析等比数列an=a1qn-1（q＞0）的单调性”，反映了等比数列与指数函数之间的关系.

由表1容易发现，人教A版和北师大版两种不同版本的教科书在数列部分的编排上都是遵循《标准》的要求而编写的，但人教A版在一些方面如数列概念的引入上例子偏少（仅有一个），而且不是很贴近日常生活，而北师大版无论在数列概念的引入上，还是在数列知识的应用上，例子都较多，且比较贴近生活实际，颇有研究价值.关于《标准》中对数列部分增加的内容，北师大版更加重视突显其地位和作用，如北师大版教科书专门设置了一节内容研究数列的函数特性，又专门设置了一节内容研究数列在日常生活中的应用.

三、细节比较分析

1.两种版本教科书数列一章目录比较

表2

由表2可以看出，人教A版和北师大版教科书都遵循了《标准》的要求，安排了数列中的重点内容.人教A版按照《标准》建议的顺序，将数列放在第二章学习，注重信息技术的应用，注重开阔学生的眼界，让学生了解斐波那契数列、九连环等与数列有关的知识，北师大版教科书将数列放在第一章，目录更加清晰，更加关注数列在日常经济生活中的应用，其中第四节就是专门讨论这一方面的.同时，北师大版教科书在1.2节还特别强调了数列的函数特性，引起学生的重视，课题学习更能引起学生对数列的兴趣.

2.作业系统题量的比较

表3两种版本教科书作业系统题量的比较（单位：道）

从表3可以看出，人教A版教科书在作业系统数量上远少于北师大版教科书，其中练习题最为突出，少了10道，复习题少了7道，而习题多了4道，总体看，人教A版比北师大版教科书的作业量少了13道，一章总题量不足100道，那这13道是很大的数字，究其原因是北师大版教科书多了“数列的函数特性”、“数列在日常经济生活中的应用”两节内容，可见，北师大版教科书对数列的研究和要求比较高.

3.例题题量的比较

表4两种版本教科书例题题量的比较（单位：道）

表4清晰地表明，北师大版教科书对数列内容的开展比人教A版教科书要详细，几乎多了三分之一的例题量，这对数列学习是有益的，但例题中人教A版多有探究性题目，对学生课外延伸也是有积极意义的.

4.导入语的比较

人教A版教科书（如图1）是从树木的分杈、花瓣的数量、植物种子的排列出发，引出数学研究的对象——数列，说明数列在大自然和日常生活中随处可见，与现实生活息息相关，可见数列的重要性；北师大版教科书（如图2）则是以科学史上的一个真实故事（普鲁士天文学家提丢斯依据一些记录的数据推导出从太阳到行星距离的经验定律）作为开端，引出数学研究的对象——数列，激发学生学习的兴趣，体现了数列的巨大作用.但两种版本的教科书都是按照“数列是什么”、“数列干什么”、“数列如何用”三个维度展开内容的，均体现了新课程的基本要求.

图1

图2

四、结论

5.结语的比较

图3

图4

图3和图4是人教A版教科书的结语部分，图5和图6是北师大版教科书的结语部分，从此容易看出人教A版将“探究与发现”（生活中的购房）栏目放在小结之前，意味着数列在实际生活中的应用就有生活中的购房一例，相当于北师大版教科书第4节“数列在日常经济生活中的应用”的内容，小结部分通过知识结构图清晰地再现了数列一章的逻辑结构，回顾与思考部分重视数列知识与其他知识的联系和数列知识在其他领域的推广应用；北师大版教科书先小结，小结之后出现了“教育储蓄”的课题学习，可见，北师大版教科书将课题研究置于章后，重在突出数列知识的延续性，留给学生思考和回味的空间.

图5

总体而言，人教A版教科书在数列一章有着丰富而生动的章前图和文字说明：“有人说，大自然是懂数学的”，文字说明中进一步解释了树木的分杈、花瓣的数量、植物种子及树木的排列等都遵循了一定的数学规律，从而为学生学习新的数学知识起到一个良好的引导作用，文字说明旁边的图形刻画生动地展示了大自然的这几种图形.接着，文字说明部分提示大自然的这种规律性与数列间的关系.实际教学中可以利用章引言对全章内容的把握和总体概括，以及章前图的图形刻画和文字说明的教学引入，引导学生注意观察图形及图形特征，可以安排学生课前查阅资料进行相关准备，也可以教师帮助指导解决，教师要注意对相关背景资料的理解和把握，要通过这些资料，使学生理解大自然的丰富多彩，感受“大自然是懂数学的”，明确这些图示和本章要学习的数列内容是密切联系的.当然如果能利用现代教育技术，形象逼真地向学生展示生动丰富的大自然场景，将可以使学生感受到即将学习的这段内容充满了大自然的奥妙和神奇，激发学生的求知欲.

北师大版的数学教科书在数列一章突出了函数的思想，在数列概念出现之后，对一个实例用两个集合的对应关系给出明确表达，这种表达暗含了函数关系；介绍完等差数列的概念、性质之后，明确地从函数角度研究等差数列的单调性；在等比数列中，设立了“思考与交流”，让学生根据指数函数的单调性分析等比数列的单调性.教材还专门增加了数列的函数特性一节内容，既突出学生对数列本质的认识，又有利于加深对函数的理解.同时本节提出数列的表示法：解析法、列表法和图像法，递增数列、递减数列，强化认识数列的函数特征.凡此种种，意图在于突出数列的本质特征.北师大版的教科书，还突出“双基”，与时俱进地认识“双基”，本章专门设了“数列在日常经济生活中的应用”一节，并按《标准》的要求，提供了带有研究性学习性质的课题学习案例教育储蓄.此外，北师大版的教科书还专门设置“问题提出”和“抽象概括”等栏目，注重体现数学思想方法，培养学生的数学素养.F

图6