浅谈APOS理论下的圆锥曲线教学——以抛物线及其标准方程为例

☉安徽省宣城市教育体育局教研室 李群☉安徽省宣城市第二中学 汪智源

浅谈APOS理论下的圆锥曲线教学
——以抛物线及其标准方程为例

☉安徽省宣城市教育体育局教研室 李群☉安徽省宣城市第二中学 汪智源

APOS理论是美国学者杜宾斯基（E.Dubinsky）提出的，以建构主义为基础的数学学习理论.该理论认为新知识是学生在自身已有知识、经验的基础上，通过主动探索、主动发现解决所感知到的数学问题的过程中获得的.学生依序建构了心理活动（actions）、过程（processes）和对象（object），最终组织成用以理解问题情境的图式结构（schemas）.

这种理论认为：在数学学习中，如果引导个体经过操作、过程和对象等几个阶段后，个体一般就能在建构、反思的基础上组成图式，……个体对操作、过程、对象，以及他自己头脑中的原有相关方面的问题图式进行相应整合、精致就会产生出新的问题图式，这种图式的作用和特点就是可以决定某些问题或某类问题是否属于这个图式，从而就会作出不同的反应.显然，个体的思维和认识状况在这种持续建构中已经上升到更高的层次.即对有关概念进行了更高层次的加工和心理表征.

从思维层次上看：这几个阶段不仅反映了从具体操作行为到抽象的心理结构，而且也反映了一个思维形成的具体过程与顺序，更说明了掌握知识的过程，同时也是思维形成的过程.我们在教学中也必须遵循这个规则.

其实，若追根溯源，APOS理论起源于皮亚杰的数学学习的“自反抽象”理论.所谓“自反”，就是把自己作为一个“旁观者”来看待自己的行为，将自己所进行的活动过程作为思考的对象，并归结出某个结论.数学学习的抽象性注定其具有“自反抽象”的特点，同时也表明了数学学习的重要特点——数学抽象活动的间接性.和“自反抽象”相对的就是“经验抽象”，即以真实的事物或现象作为直接的原型，由一类物质对象中抽象出共同的特性.

下面就谈谈APOS理论在圆锥曲线教学中的应用.圆锥曲线作为解析几何的主干内容，又是高中数学的核心知识，与科研、生产及日常生活的关系密切.它的教学既是培养学生思维能力的一个很好的平台，又是高中数学教学的重点与难点，教师要从概念课的教学开始，给学生构建好解析几何的处理方法和路线图；而不能简单地采用“一个定义+两个方程+三个注意+N个例题”的教学模式.要想达到预期的目的，必须运用好APOS理论.否则，学生对这一类思维难度较高的知识的理解只能停留在肤浅、狭隘和呆板的水平上.

“抛物线”是学生在学习了椭圆、双曲线及其标准方程之后学习的圆锥曲线，学生对圆锥曲线的知识、方法有了一定程度上的理解，但还没有达到灵活运用的水平.

《普通高中数学课程标准》中对圆锥曲线的教学要求是：“经历从具体情境中抽象出椭圆、抛物线模型的过程，掌握它们的定义、标准方程、几何图形及简单性质.”这一要求可作为本节课的教学目标.

根据这个目标来确定本节课的重难点：重点是抛物线的定义及标准方程；难点是标准方程的探求过程.

在教学目标的指引下，把握重点、立足难点.本节课的教学方法：问题引领+分组合作探究+教师指导.

第一阶段：活动（actions）阶段

（教师展示几幅生活中的图片，如图1～3，让学生欣赏）

图1

图2

图3

师：这几幅图片中都蕴含了什么几何图形呢？

生众：抛物线.

问题1：如何精确地画出抛物线的图形呢？

教师说明了操作步骤：

（1）把一根直尺固定在纸板上面，把一块三角板的一条直角边紧靠在直尺的边缘.

（2）取一根细线，它的长度与另一直角边长相等，细绳的一端固定在顶点A处，另一端固定在纸板上点F处.

（3）用笔尖扣紧绳子，靠住三角板，然后将三角板沿着直尺上下滑动，画出抛物线.

教师拿出纸板、直尺和三角板，请学生作出草图，请两位学生板演草图，待完成后，教师拿着板演的“作品”指出，如此作图虽然可以作出抛物线的图形，但精确度难保证，有一定的误差，于是教师又用几何画板做了一条开口向右的抛物线，如图4

图4

评析：活动阶段是数学认识的基础.老师开门见山引出本节课的课题：生活中的图片→抽象出抛物线→作出抛物线图形→（现代教育技术手段）去确认.这个过程让学生获得了抛物线概念的操作意义.而部分老师快速给出定义，紧接着进行练习.这种做法对于概念教学这种重思维、重理解的教学而言，由于没有给学生提供足够的外部刺激的机会，学生就在概念的概括过程中少了一环，在后续概念的总结、提炼上会出问题，最终导致对概念的理解只能停留在一知半解的层次上.老师让学生在操作活动阶段得到了充分的思维体验，为第二阶段概念的得出做了充分的准备；同时，也让学生感觉到概念是自然的，“数学是自然的”！

第二阶段：过程（process）阶段

本阶段是学生对刚经历的“活动”进行思考，这一过程活动在大脑中进行，其活动方式有正向的、有逆向的，以及多向等多种方式.

问题2：结合刚才的作图，给抛物线下个定义.

（给学生几分钟思考、讨论的时间）

生1：到定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹.

生2（补充道）：在平面上.

师：可以吗？（短暂的沉默）

生3：如果点在线上，轨迹就是垂线了.

师：说的很好.如何修改前面同学的表述呢？

生4（生1所在的小组成员）：平面上，到在定直线外的定点的距离等于到定直线的距离的点的轨迹.

教师肯定了学生的回答，给出了抛物线的定义（略）.

问题3：学习了抛物线的定义后，下一步路向何方？

生众：求抛物线的标准方程.

问题4：如何求？有哪些步骤？

生众：建、设、限、代、化.

师：如何建系？

生5：以过点F且垂直直线l的直线为x轴，垂足为K，以l为y轴建系.

生6：以过点F且垂直直线l的直线为x轴，垂足为K，以过点F与x轴垂直的直线为y轴建系.

生7：以过点F且垂直直线l的直线为x轴，垂足为K，以KF的中垂线为y轴建系.

生8：以过点F且垂直直线l的直线为x轴，垂足为K，以过点K与x轴垂直的直线为y轴建系.

由于上述同学均来自不同小组，教师要求学生在本小组的方案和自己的方案中选择一种求出相应的抛物线方程，在此过程中，教师在下面巡视、指导，几分钟后，教师让上述小组其他成员展示本小组的“作品”.

生5小组：y2=2px+p2.

生6小组：y2=2px-p2.

生7小组：y2=2px.

生8小组：x2=2py.

问题5：上述结果是否都对？为什么？哪个更好？

生众：都对，只是坐标系建得不同而得到不同的结论.生7、生8小组的结论比较简洁、更好.

师：（肯定了各组学生的结论）生8小组的结论是我们后面要学的知识，它的位置改变了，在这里就把生7小组的结论称为抛物线的标准方程：y2=2px（p＞0）.

师：标准方程与上述生5、生6小组所求的方程有什么联系呢？有兴趣的同学可以在课后作一探讨.

问题6：结合相应的图像，对比生7小组的y2=2px和生8小组的x2=2py结论，为什么会出现如此结论？

生9：从方程的角度看，就是把其中的字母x、y互换一下即可，从坐标角度看，把（x，y）变为（y，x），上述两点关于直线y=x对称，所以两个图像也是关于直线y=x对称.

问题7：那对于图像开口向左和开口向下的情况又该如何？

生10：开口向左的图像和开口向右的图像关于y轴对称，点（x，y）关于y轴对称的点坐标是（-x，y），所以开口向左的标准方程是y2=-2px（p＞0），同理图像开口向下的标准方程是x2=-2py（p＞0）.

评析：过程阶段就是通过活动让学生对“活动”进行思考，本节内容主要是让学生在大脑中形成两个内容：“下定义”和“标准方程”的构建过程.

（1）“明确对象”→“定义对象”，在抽象过程中是一个循序渐进的过程.只有通过学生自己的动手操作和心理操作，才能把凝结在概念中的数学思维打开.老师从学生已经学习了“椭圆”基本知识具备了给抛物线定义的能力出发，根据学生定义的思维过程，在这个操作过程中，一步一步让学生经历定义得出的过程，通过正例反例加深对定义的理解.在此过程中，让学生感受到学习数学就是“做数学”，数学知识和能力分别也都得到了提高与丰富.此外，生2、生3的反例是概念教学的宝贵财富，它不仅有利于学生排除概念中的细枝末节等非本质的东西，抓住本质的东西，也有利于学生对概念图式的形成与改进.

（2）对标准方程的求解是更高一个层次的操作，其作为“整体”而被把握，而不是某一个具体的抛物线，老师让学生积极主动的思考，对于各种建系的方法都没有否定，而是让每个想法都自由生长，充分体现了老师课堂的民主.让学生在经历中体会各种方法的优劣，最终得到精致化的方程——标准方程.求解标准方程的过程就是培养学生掌握解析法的过程.多层次、多角度地来探求标准方程，不但研究了问题本身，还为研究这一类问题，打开了学生的思路，拓宽了学生的视野.最后让学生思考这三种方程的联系，把课堂延伸到了课外，让学生理解方程的本质，通过问题6、7的设问给学生渗透类比和变换的思想方法，让学生在主动解决问题的过程中感受这一思维过程，对教材进一步处理.

第三阶段：对象（object）阶段

本阶段是对抛物线作为一个整体来进行进一步的认识.作为一个独立的对象出现时，让学生能够想到它的定义、焦点、准线和标准方程等概念，以及相应的符号化表示及其之间的关系.上述内容是本节内容的精确化的过程，在前面的过程阶段也有一部分体现.

二次函数是学生熟悉的内容，在本节知识中属于学生的“最近发展区”，如果利用得当将会是一个很好的生长点

问题8：二次函数y=x2的图像是否是抛物线，如果是，它的焦点和准线分别是多少？

根据抛物线定义，x2=y的图像是抛物线.

评析：活动、过程、对象是数学概念学习的三种状态，但其不是简单“台阶式”的过程，而是一个循环的过程.问题8、9就是学生在对象阶段掌握情况的一个很好检测.

问题8的设问从学生已经熟悉的函数图像入手，让学生感受到知识的联系性，问题9的设计目的是要让学生养成“回到基本概念中去，从概念的联系中寻找解决问题的思路的习惯”（章建跃语），它是在对定义理解的基础上的深层次要求，是对上述三种状态的一个循环，如此反复才能最终形成明确和完整的抛物线及其标准方程.

第四阶段：图式（schemas）阶段

问题10：本节课你有哪些收获？（可以从知识、方法等层面说说）

生13：在知识方面，学习了抛物线的定义及其标准方程；从方法层面，学习了“坐标法”和数形转化等方法.

师：回答的很好，其他同学是否还有补充？

生14：我感觉抛物线的处理和椭圆的处理差不多.

师：是否可以具体说说？

生14：第一步，作出图像；第二步，给出定义；第三步，求出标准方程……

评析：图示是人脑中已有的知识经验的网络，是一种认知结构的单元，它是前面三个阶段组成的综合体，它的形式是一个动态的过程，形成方式不是直线式的，而是螺旋式的.学生已初步了解和掌握了椭圆的图式，通过类比，对抛物线的图式形成有一定的帮助，通过前面三个阶段，学生不仅了解了具体的，也知道了抽象的抛物线，可以与其他曲线（圆、椭圆等）区别开来.课时小结是形成良好图式的一个很好渠道，课后学生还需要通过一定量的题目对所学知识进行内化、浓缩、一般化等.最终达到把抛物线单个图示同化到圆锥曲线的多个图示中去的效果.

综上所述，本节课通过操作阶段的作图过程，再到下定义和求标准方程的活动阶段过程，通过10个问题贯穿课堂，把前面三个阶段串在一起，让学生积极参与，充分发挥他们的主观能动性，这不仅仅收到了预期的效果，而且还培养了学生的数学能力，养成了良好的数学思维习惯.特别是所设置的问题8、9进入对象阶段，这又让学生回到前面阶段中去思考，上述三个阶段形成循环.为最终图式阶段形成抛物线的图式做好了准备.总的感觉，本节课的效果是令人满意的，这应归功于APOS理论.据此，这也告诉我们一个道理：只要用正确的理论去指导我们的教学实践活动，就能到达预期的目的.否则，只能是盲人骑瞎马.

1.周士民.基于APOS理论的高中数学教学研究［D］.桂林：广西师范大学数学系，2004.

2.章建跃.中学数学课改的十个论题［J］.中学数学教学参考（上），2010（3）.

3.刘绍学.普通高中课程标准实验教科书数学（选修2-1）［M］.北京：人民教育出版社，2005.

4.中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）［M］.北京：人民教育出版社，2003.A