尝试自主教学享受生成创新——基于“简单的线性规划问题”教学

☉江苏省宿迁青华中学 于天举

尝试自主教学享受生成创新
——基于“简单的线性规划问题”教学

☉江苏省宿迁青华中学 于天举

一、教材分析

本节课是继上一节二元一次不等式（组）表示平面区域的后续内容，是“简单的线性规划问题”第1课时，内容主要包括线性规划的意义、线性约束条件、目标函数、可行域、可行解、最优解等概念和一些简单应用.简单线性规划在工程设计、经济管理、科学研究等方面的应用非常广泛.通过本节课的学习，使学生进一步了解数学在实际问题中的应用，以培养学生应用数学的意识和解决实际问题的能力.笔者制订了本节课的教学目标，由实际问题引入来探讨学生自主探究的主要思路.

二、学生学习情况分析

本节课学生在学习了不等式、直线方程的基础上，又通过实例理解了平面区域的意义，并会画出平面区域，还能初步用数学关系式表示简单的二元线性规划的限制条件，将实际问题转化为数学问题.从数学知识上看，问题涉及多个已知数据、多个字母变量、多个不等关系，从数学方法上看，学生对图解法的认识还很少，这都将成为学生学习的难点.

三、教学目标

1.知识与技能

了解线性规划的意义，以及线性约束条件、线性目标函数、可行解、可行域、最优解等概念；了解线性规划的图解法，并会利用图解法求解线性目标函数的最大（小）值.

2.过程与方法

在实验探究的过程中，让学生体验数学活动充满着探索与创造，培养学生观察、联想、作图和理解实际问题的能力，以及动手操作、勇于探索的精神.

3.情态与价值

渗透集合、数形结合、化归的数学思想，培养学生“数形结合”的应用意识，激发学生的学习兴趣.

四、教学重、难点

（1）重点：指导学生紧紧抓住化归、数形结合的数学思想方法，找到目标函数与直线方程的关系.

（2）难点：用图解法求最优解的探索过程；数形结合思想的理解.

五、教学流程

活动一：回顾知识，奠定基础

师：二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示什么图形？

生1：表示在直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.

师：怎样画二元一次不等式（组）所表示的区域？

生2：可以转化为y＞kx+b或y＜kx+b的形式，大于的区域就是在直线上方，小于的区域就是在直线下方，也可以用特殊点代入验证.

师：很好！其中我们要注意检查直线是虚线还是实线；一般的，如果C≠0，可取（0，0）；如果C＝0，可取（1，0）或（0，1）.

设计意图：通过教师提出问题，学生思考、归纳、总结回答提问，学生可以和同桌交流，得出观点.教师及时点评鼓励，最好做出总结.由此可以让学生温习旧知识，进一步强化学生前面学习的内容；由于二元一次不等式（组）表示的区域是学习本节课的重要基础，复习可为本节课打好基础；而且此处复习也做到了自然过度与上节课内容有效连接.

活动二：创设情境，启迪思维

引例某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h，每生产一件乙产品使用4个B配件耗时2h.该厂每天最多可从配件厂获得16个A配件和12个B配件，每天工作时间按8h计算.

问题1：该厂所有可能的日生产安排是什么？

A配件B配件耗时（h）甲产品401乙产品042

（学生思考后给出解答）

生3：设甲、乙两种产品分别生产x、y件，由已知条件可得二元一次不等式组：

图1

设计意图：学生沿着教师的引导，通过认真思考，探索交流，动手操作，参与到解决实际问题的课堂中来.一个贴近实际的问题情境使学生感到数学是自然的、有用的，学生更能够容易理解，因而，更容易激起学生解决问题的欲望，调动起学生的积极性.因此这一环节的设计更注重学生的思维发展，更具有程序性，因而学生更容易操作.

问题2：若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利3万元，采用哪种生产安排获得利润最大？

生2：（思考片刻）设工厂的利润为z，则z=2x+3y.

问题3：我们可以想出怎样的办法，在该区域中找到使得z值最大的点？

设计意图：本问题的设置目的是将实际问题中的最值转换为直线斜率在特定区域内的最值.教师是整个过程的引导者、参与者，甚至成为学生的协作者.本环节学生体验到从分析实际问题，再通过思维建立起数学模型，最终解决问题的过程，有效地培养了学生利用数学知识解决实际问题的意识.最后的思考抓住解决线性规划问题的关键，学生把思维的焦点放在了本节的难点上，从而有效突破难点.

活动三：例题讲解，提升思维

例1营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg的碳水化合物，0.06kg的蛋白质，0.06kg的脂肪，1kg食物A含有0.105kg碳水化合物，0.07kg的蛋白质，0.14kg的脂肪，花费28元；而1kg食物B含有0.105kg的碳水化合物，0.14kg的蛋白质，0.07kg的脂肪，花费21元.为了满足营养学家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物A和食物B各多少？

（学生在引例解决的基础上不难解决此题，此处限于篇幅略，去解题过程）

问题4：通过对以上两个实际问题的解决，你认为利用线性规划解决实际问题可以分为哪几个步骤？它们都是什么？

规范线性规划图解法的步骤：

（1）列——设出未知数，列出约束条件，确定目标函数.

（2）画——画出线性约束条件所表示的可行域；画目标函数所对应的直线.

（3）移——在可行域内移动目标函数所对应的直线到斜率最大（最小）.

（4）求——通过解方程组求出最优解.

（5）答——作出答案.

设计意图：学生在引例的基础上，已经对解决线性规划问题有了一定的认识，此处引导学生总结、归纳解决问题的步骤，培养思维的严密性.

活动四：反馈训练，拓展引申

变式2：求Z=3x+5y的最大值，以及取最大值时最优解的个数.

变式3：若Z=3x+ay取最大值的最优解有无数个，则a值如何？

变式4：当Z=3x+ay取最大值时，最优解仅有（5，2），则a的取值范围又将如何呢？

（学生结合图形独立思考、交流合作、给出解答）

师：大家说的很好！把握住了此类题目的关键所在，理解非常到位，课后再进行整理.如果目标函数是非线性的函数时又怎么处理呢？

变式8：求Z=x2+y2的范围.

变式9：求Z=（x-4）2+（y-1）2的范围.

根据变式5到变式7的铺垫，学生易想到通过考虑式子的几何意义——距离的平方来解决问题.

设计意图：通过对各类变式的分析，由学生总结方法，形成共识，进而上升为规律，对学生的解题能力是一个很大的提升.在这其中，精选题目是组织习题课教学的关键.本题所选题目正是那种可以无限扩展的题型，对学生的发散思维有很大帮助.

“解题千万道，解后抛云霄”是难以提高能力和发展思维的，这是我们教数学的老师一直头疼的一件事，其实根源就在于不能很好地引导学生进行解后反思与方法总结.

活动五：课堂小结，提升总结

教师引导学生回顾用图解法解决简单的线性规划问题的基本步骤：（1）列；（2）画；（3）移；（4）求；（5）答.同时回顾研究问题所用的数学方法、数学思想等，以便增加学生的数学理解力，提高学生的数学素养.

六、教学与反思

（1）概念生成的课堂是学生收集、检索、甄别、整合信息的探索活动，提出问题，相互质疑，争辩，使认识不断深入，思维不断精致，化神秘为自然，这样以学生为认识主体的教学方式凸显了“自主—创新”的精神实质.本课例中，用线性规划思想解决实际问题均通过教师设置的问题串的引导，经过学生独立思考、合作交流等方式取得.

（2）由于本节内容难度不大，本想直接给出例题，但是考虑到让学生自然理解线性规划在解题中的运用，故用了引例，进而学生易于理解例题的解答，并能自己总结出解题步骤，培养学生的概括能力，提升学生思维的严密性.

（3）例题后的变式是本节课的一个高潮部分，作为第一课时是否超越教材要求？这样的现象是不是合理？这样做，是否体现“用教材教”？教之道在于“度”，学之道在于“悟”.深入研读教材，才能把握好教学的“度”.笔者认为，合理与否关键在于学生的接受程度，而并不是局限于教学目标和教材安排.本案例后面的变式部分，对于学生提炼总结方法、归纳题型、提高解题能力，同时对培养学生思维的广阔性大有裨益.

没有谁能剥夺学生自主建构的权利，即便想剥夺，也夺不去他们对知识的怀疑，即便强加，也不能让其心悦诚服.真正能说服学生的，是他自己，只有将“已有的”与“欲求的”完美对接，才能和谐建构，促进知识的生长.知识，因结果呈现而彰显逻辑，体现出结论性的静态特征，而学生知识的形成与建构与数学的逻辑结构迥然不同，材料、背景、经验、习惯都影响着认知，缺少对学生的理解，教育便失去针对性，教学便忽视个性化，光靠网络视频就足以完成的，何必还要教师？鉴于此，笔者认为，教学活动的过程，是策动、激发的过程，是参与、体验的过程，是享受、赏识的过程.一句话，是培育积极情感的过程.A