教学设计：任意角——“数形结合”思想引领下的概念教学

☉江苏省南通中学 秦霞

教学设计：任意角
——“数形结合”思想引领下的概念教学

☉江苏省南通中学 秦霞

一、课题来源

江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书·数学必修4第1章“三角函数”第一节“任意角和弧度制”第一课时——1.1.1任意角.

二、学情基础

任意角是三角函数的第一节内容，是本章教学内容的基本概念，而任意角的概念及其应用不仅体现了数形结合的数学思想，又为下面的弧度制和三角函数的学习提供了知识基础.

学习本节前，学生已经掌握了0°到360°之间的角，以及角的静态概念，既为任意角的寻找做好了知识准备，又为后面弧度制、三角函数等内容的学习做了必要的准备；高一上学期学习指数、对数函数图像时，已带领学生学习了基本的作图方法、几何画板等基础知识，学生已经具备了初步的作图能力，能够制作简单的动画，开展数学实验.

三、教学过程

1.创设情境，引入新题

（1）复习：初中阶段我们是如何定义角的？

具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角（angle）.这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的两条边，如图1.（静态定义）

图1

图2

一个角可以看做由平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形，如图2.（动态定义）

顶点：射线的端点；

始边：射线旋转的开始位置；

终边：射线旋转的终止位置.

角的取值范围：0°到360°，一般研究的是小于平角的角.

（2）情境：一只时钟，快了15分钟，怎样拨动分针，可尽快校准？如果慢了1小时15分钟呢？

（3）思考：时钟如果快了15分钟，分针要逆时针方向旋转90°；如果时钟慢了1小时15分钟，分针要顺时针方向旋转450°，这里的450°已经不是初中所熟悉的角了.我们该怎么办？

（4）问题：从哪个角度来解释上述问题中所遇到的“角”才更科学、更合理呢？

学生讨论：旋转定义角更科学合理.从大小、方向两方面推广角的定义，从而将角从0°到360°范围推广到任意角.

设计意图：从初中时角的定义复习入手，提出角的动态和静态两种定义，再用时钟这个熟悉的模型，提出一个不熟悉的角450°，让学生对角的认识从0°到360°拓展到任意角的范围.

2.合理引导，建构理论

（1）角的概念.

（2）正角、负角、零角.按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角（positiveangle）；按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角（negativeangle）；如果射线没有做任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角（zeroangle）.

（3）意义：用“旋转”定义角之后，角的范围扩大到“任意角”（anyangle）.

（4）规范：文字语言、图形语言、符号语言的使用.

一般用小写的希腊字母α、β、γ…来表示角；

用带箭头的螺旋线来表示角的旋转量和旋转方向，如图3.

图3

3.互动合作，探究拓展

请分别画出下列各组角：

①30°，-330°，390°，750°；

②240°，-120°，600°，960°；

③180°，-180°，540°，900°.

图4

图5

图6

（1）探究：观察每一组角的图形，如图4～图6，有何特征？（学生讨论）

（2）分析：①将每组角的始边和顶点重合，终边也重合，发现同一个图形表示不同的角.②提出将角置于直角坐标系中研究的必要性：将角置于直角坐标系中，即角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴正半轴重合，这样在同一“参照系”下，可以使角的讨论得到简化，同时还能有效地表现角的终边位置“周而复始”的现象.③将角置于直角坐标系中，发现任意角的终边只能落在四个象限和两条坐标轴上，从而定义象限角和轴线角.

（3）拓展：观察第一组角，回答：

①锐角是第几象限角？（第一象限角）第一象限角都是锐角吗？（不是，如第①组角中的-330°，390°等）

②以30°为例，归纳与30°角终边相同的角的集合，从而推广到与任意角α终边相同的角的集合.（从“数、形”两个方面理解）

（4）结论：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系.

象限角：角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限角.

轴线角：如果角的终边在坐标轴上，称这个角为轴线角.（轴线角不属于任何象限）

注意：强调定义象限角、轴线角的前提，即“二重合”.

终边相同的角的集合：

一般地，与角α终边相同的角的集合为｛β|β=k·360°+ α，k∈Z｝.

注意：数形结合，理解定义.

从“数”的角度：终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍.

从“形”的角度：k＞0时，按逆时针方向旋转k圈后角的终边重合；k＜0时，按顺时针方向旋转k圈后角的终边重合；k=0时，角α的终边没有转动，如图7.

图7

设计意图：介绍完任意角的概念后，请学生在直角坐标系中作出三组角，并且让学生自主观察每组角的特征.横向观察每组角，将角的终边分类，发现象限角和轴线角；纵向观察每组角，总结出终边相同的角的集合.学生在这样的互动探究中，从“数”“形”两个方面加深了对任意角的认识.

4.梳理归纳，有效训练

例1在0°到360°范围内，找出与960°角终边相同的角，并判断它是第几象限角.

设计意图：（1）通过这道题，今后我们如何判断任意一个角α是第几象限角？借助本题让学生体会研究终边相同的角的意义，即把角从0°到360°范围，拓展到任意角之后，现在借助于终边相同的角，又可以把研究任意角的位置问题化归为研究0°到360°范围内的角.（2）通过变式题还可以让学生体会到，每360°内只有一个与960°终边相同的角.（3）解题过程中，学生可能呈现多种解法，充分让学生体会数形结合、一题多解.

图8

从“形”的角度验证：当k为偶数时，k·180°表示角的终边落在x轴正半轴，然后再逆时针旋转120°，角的终边落在第二象限；当k为奇数时，k·180°表示角的终边落在x轴负半轴，然后再逆时针旋转120°，角的终边落在第四象限.

四、教学反思

1.一个中心：以学生对知识的内在需求为中心

本课复习了初中对角的定义以后，以学生熟悉的时钟问题，创设课堂情境，发现450°已经不是初中角的定义所能解决的，使学生产生认知上的冲突，说明从“旋转量”和“旋转方向”两个方面对角的概念的推广的必要性，同时激发学生的学习兴趣和主动探究的精神.

将角从0°到360°拓展到“任意角”之后，让学生自己动手画四组角，从而观察这些角的图形的特征，发现这些角的始边和顶点重合后，终边才能重合，从而产生了将角放到直角坐标系中的想法，这样产生了象限角和轴线角.将角放到直角坐标系后发现，同一组图形可以表示不同的角，自然想到研究这些角之间的数量关系，从特殊到一般，发现终边相同的角的集合.让学生自行尝试，培养学生处理数学问题的动手能力，以及猜想、探究能力.

2.两个基本点：“数”、“形”两点紧抓不放

在拓展“任意角”角的概念时，从“大小”和“方向”两方面引导学生思考，紧抓数形两方面；在引入终边相同的角的集合时，先从“形”入手，观察这些角的图形特征，再从“数”入手，归纳这些角的数量特征，由特殊到一般，从具体到抽象，培养学生的观察、归纳能力，为后面学习周期的概念做铺垫，并使学生理解终边相同的角不是唯一的，而是一个角的集合.

例1的讲解中，既可以从“形”入手，以旋转的角度来寻找终边相同的角，也可以从“数”入手，用“赋值法”，或者“解不等式法”来寻找在0°到360°范围内的与之终边相同的角，从而确定角的终边所在位置.

3.三种思想，相互渗透

本课的主要思路是：将初中所学的0°到360°的角，从“旋转量”和“旋转方向”两方面推广到任意角，再通过对象限角、轴线角、终边相同的角的研究，将研究任意角的位置问题转化为研究0°到360°角的位置，体现了化归的数学思想.

教学过程中又处处渗透着数形结合的思想，使学生的理解更加具体形象，也为后面学习周期性做好铺垫.如总结终边相同的角的集合、两道例题的讲解，都从数形两方面入手，直观形象，便于学生的理解.

例2中还渗透了分类讨论思想，尽管这点是学生在学习上的难点，但是由于在直角坐标系中，角的终边可以直观形象的旋转，这时数形结合思想的加入，又降低了教学难点，使得学生的思维障碍得以突破.F