创新函数性质应用的解题方法

☉江苏省沭阳高级中学高二（302）班 江山

创新函数性质应用的解题方法

☉江苏省沭阳高级中学高二（302）班 江山

函数的单调性、奇偶性是函数的两个主要性质，以单调性和奇偶性为背景的命题可谓缤纷多彩，笔者所在学校期中考试过程中以下面两道题作为该次检测的客观压轴题，但在随后的试卷评讲课上，同学们做出正确结果的比例并不高，尤其是很多同学放弃了函数基本性质所蕴含的方法，而是一味地追寻偏法、怪法.笔者在此将利用函数的性质——单调性，对该题及与之类似的题目做一个统一的解答，呈现于此，供读者参考.

构造方程f（t）=t3+2013t+1，因为f′（t）=3t2+2013＞0在（-∞，+∞）恒成立，所以f（t）在（-∞，+∞）内为增函数，所以方程f（t）=0只有唯一解，即x-1=1-y，所以有x+y=2.

下面笔者将利用上述函数的性质——单调性来解决一类常遇到的问题.

笔者的同学采用的方法主要有：估计零点范围；变换同解方程；构造形似等式及对称法.这些方法解决此题都没问题，但不能推广到其他类型题上，笔者借助函数的单调性给出如下解法.

解析：2a=x3+sinx=（-2y）3-sin（-2y），令f（t）=t3+sint，

例2若实数x1满足方程2x+2x=5，实数x2满足方程2log2（x-1）+2x=5，则x1+x2=________.

解析：由题意可得，x2是2log2（x-1）+2x=5的实根，所以2log2（x2-1）+2x2=5，变形为+1，再变形因为x1满足方程2x+2x= 5，所以2设函数f（x）=2x+x，则易知f（x）为严格单调增函数，可

对于这种类型的题目也可以借助函数的性质——换元对称来解决，下面笔者以例2谈谈自己的一个解法.

运用换元对称视角求解此题，实际上是想借助数形结合解决此类型题，而在采用数形结合时画出图像并理解图像至关重要，这就需要我们高中生平时多留意函数的一些常见性质.

下面笔者利用函数的单调性结合图像能直观地研究图像的交点，假若能将问题转化为两函数的交点问题，这类问题便可以轻松获解.

分析：利用性质，若函数y=（fx）是单调递增函数，则函数y=（fx）与它的反函数图像的交点必在直线y=x上.

函数的性质有很多，笔者作为一名高中生希望借助函数的性质——单调性的应用，去解决一些双变量方程解的问题及单变量方程解的问题.当然函数的单调性还有很多用途，在此不一一列举.A