编拟习题时应注意问题的存在性

☉北京市丰台二中 甘志国

编拟习题时应注意问题的存在性

☉北京市丰台二中 甘志国

例1若正三棱锥P-ABC的侧面积、体积分别为12、4，求点A到面PBC的距离.

常规解法：可求得该正三棱锥的侧面PBC的面积是4，由等体积法可求得点A到面PBC的距离为3.

笔者的分析：此解答正确吗？请看下面一个定理.

定理1设正n（n∈N*，n≥3）棱锥的侧面积、体积分别是S、V，侧面与底面所成的角是

从而可得结论（1）成立.

（2）同结论（1）的证明法可得.

由定理1可知例1是道错题：当正三棱锥的侧面积是12时，体积的取值范围是当正三棱锥的体积是4时，侧面积的取值范围是

我们在编拟习题时，应注意问题的存在性.

例2一个等比数列｛an｝共有2m+1（m∈N*）项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则am+1=____.

常规解法：设等比数列｛an｝的公比是q，得a1a3a5…a2m+1=

笔者的分析：早在2006年5月21日，网络上就出现了这道题，并给出了其解法（即以上常规解法）；笔者也曾把这道题选入专著《教材教法》（甘志国著，哈尔滨工业大学出版社，2014）第454页（答案在第482页）.

近日笔者才发现例2也是道错题.

由题设知am+1m+1=100，am+1m=120，所以100m=120m+1（m∈N*）.而显然有100m＜120m+1（m∈N*），所以满足题意的数列｛an｝不存在，即原题是道错题.

即使把例2中的“100”与“120”互换，满足题意的数列｛an｝仍不存在.因为120m=100m+1（m∈N*）也不会成立，该等式左边有约数3，而右边没有；该等式右边有约数52m+2，而左边没有.

说明编拟例2这样的习题时，一定要慎重：要注意满足题设的数列是否存在.

定理2（1）若一个各项都是复数的等差数列｛an｝共有2m+1（m∈N*）项，奇数项之和为b，偶数项之和为c，则存在这样的等差数列｛an｝的充要条件是b=c=0（且此时有a1=-md，d是等差数列｛an｝的公差，下同）或且此时有a1=b-c-md）；当这样的等差数列｛an｝存在时，am+1=b-c.

（2）若一个各项都是复数的等比数列｛an｝共有2m+1（m∈N*）项，奇数项之积为b，偶数项之积为c（bc≠0），则这样的等比数列｛an｝存在的充要条件是当这样的等比数列｛an｝存在时，

进而可得欲证成立.

改编题1（1）若一个等差数列｛an｝共有2m+1（m∈N*）项，奇数项、偶数项之和均为0，则am+1=_______；

（2）若一个等差数列｛an｝共有2m+1（m∈N*）项，奇数项之和为15，偶数项之和为10，则am+1=_______；

（3）满足“一个等差数列｛an｝共有2m+1（m∈N*）项，奇数项之和为16，偶数项之和为10”的数列｛an｝是否存在？

答案：（1）0.数列｛an｝是存在的，比如2，1，0，-1，-2.

（2）5.数列｛an｝是存在的，比如1，3，5，7，9.

改编题2（1）若一个等比数列｛an｝共有2m+1（m∈N*）项，奇数项、偶数项之积均为1，则am+1=_______；

（2）若一个等比数列｛an｝共有2m+1（m∈N*）项，奇数项之积为729，偶数项之积为81，则am+1=_______；

（3）若一个等比数列｛an｝共有2m+1（m∈N*）项，奇数项之积为-1，偶数项之积为1，则am+1=_______；

（4）若一个等比数列｛an｝共有2m+1（m∈N*）项，奇数项之积为1，偶数项之积为-i，则am+1=_______；

（5）满足“一个等比数列｛an｝共有2m+1（m∈N*）项，奇数项之积为1，偶数项之积为2”的数列｛an｝是否存在？

答案：（1）1.数列｛an｝是存在的，比如1，-1，1，-1，1.

（2）9.数列｛an｝是存在的，比如1，3，9，27，81.

（3）-1.数列｛an｝是存在的，比如-1，1，-1，1，-1或1，i，-1，-i，1.

（4）i.数列｛an｝是存在的，比如i，i，i，i，i，i，i或-1，-i，1，i，-1，-i，1.

例3（2008年广东省广州市高考数学二模试卷（文科）第13题）已知a为正数，定义运算“⊗”如下：对于任意的m，n∈N*，若m⊗n=a，则（m+1）⊗n=2a，m⊗（n+1）=a+1.当1⊗1=1时，则1⊗10=_______，5⊗10=_______.

常规解法：由题设得1⊗（n+1）-1⊗n=1，即｛1⊗n｝是首项、公差均为1的等差数列，得1⊗n=n，所以1⊗10=10.

由已知可得（m+1）⊗10=2［m⊗10］，即｛m⊗10｝是首项为10、公比为2的等比数列，得m⊗10=10·2m-1，所以5⊗10=160.

笔者的分析：因为m⊗（n+1）-m⊗n=1，即｛m⊗n｝是首项为m⊗1、公差为1的等差数列，得m⊗n=（m⊗1）+n-1.①

在①中令m=1，得1⊗n=n.②

还可得（m+1）⊗n=2［m⊗n］，由此可得m⊗n=（1⊗n）· 2m-1.③

在③中令n=1，得m⊗1=2m-1.④

由①④及②③，分别得m⊗n=2m-1+n-1，⑤

m⊗n=n·2m-1.⑥

⑤⑥显然是两种不同的答案：由⑤得5⊗10=25，由⑥得5⊗10=160.

即例3是道错题.

改编题3（1）已知a为正数，定义运算“⊗”如下：对于任意的m，n∈N*，若m⊗n=a，则（m+1）⊗n=a+2，m⊗（n+1）=a+1.当1⊗1=1时，求证：m⊗n=2m+n-2.

（2）已知a为正数，定义运算“⊗”如下：对于任意的m，n∈N*，若m⊗n=a，则（m+1）⊗n=2a，m⊗（n+1）=3a.当1⊗1=1时，求证：m⊗n=2m-1·3n-1.

例4（2011年全国高中数学联赛试卷B第5题）若△ABC的角A、C满足5（cosA+cosC）+4（cosAcosC+1）=0，则tan

例5（东北育才等辽宁五校2011-2012学年度上学期期末高二年级数学试卷（理）第12题）已知f（x）为定义在R上的可导函数，满足f（x）＜f′（x），且f（x-1）为偶函数，f（-2）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（）.

A.（0，+∞）B.（-∞，0）C.（e4，+∞）D.（-∞，e4）

常规解法：由f（x-1）为偶函数，f（-2）=1，可得f（0）=1.在R上为增函数.所以不等式f（x）＜ex，即的解集为（-∞，0）.故选B.

笔者的分析：本题也是一道错题.因为可证f（x）＜0（x∈R）.

由g（x）=f（x-1）为偶函数可证得g′（x）=f′（x-1）为奇函数.

又由f（x）＜f′（x），得f（x-1）＜f′（x-1），f（-x-1）＜f′（-x-1）.

相加，得2f（x-1）＜0，f（x-1）＜0，即f（x）＜0（x∈R）.

即满足题设及四个选项之一的函数f（x）不存在.

例6已知函数f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1＜x2时，都有f（x1）≤f（x2），则称函数f（x）在D上为非减函数.设函数f（x）在D上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（x），则

笔者的分析：这是某资料上的一道题，笔者发现它也是一道错题.

条件②即f（3x）=2f（x），由此可得f（3-3x）=2f（1-x）.两式相加后，用条件③，得f（3x）+f（3-3x）=2，即f（x）+f（3-x）=2.再由条件③，得f（3-x）-f（1-x）=1，即f（x+2）=f（x）+1.

在原解法中已求得f（1）=1，再由f（x+2）=f（x）+1可求得f（3）=2，f（5）=3，f（7）=4，f（9）=5.

另一方面，由f（1）=1及f（3x）=2f（x）可求得f（3）=2，f（9）=4.

前后矛盾！所以例6是道错题.因为满足题设的函数f（x）不存在.

笔者的分析：这道题目是马茂年主编的《高中数学竞赛实战演练·高一分册》（浙江大学出版社，2007年第2版）第75页第6题（解答在第168页），它也是道错题.错在没有注意问题的存在性.

而sin6α+cos6α=（sin2α）3+（cos2α）3＜13+13=2，所以3＜2，这不可能！所以原题是道错题.出错的原因是题设中的一个未知数α的两个方程是不相容的，这样的α不存在.

例8设｛an｝是一个各项都是实数的等比数列，Sn是它的前n项和，若S10=10，S30=70，则S40=（）.

A.150 B.-200 C.150或-200 D.400或-500

常规解法：设S20=x，S40=y.由｛an｝是一个等比数列，得S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30为等比数列.

所以（x-10）2=10·（70-x），（70-x）2=（x-10）（y-70）.

得（x，y）=（30，150），（-20，-200）.

所以答案为C.

笔者的分析：上述解答错误，正确解法如下.

把这两式相除，得1+q10+q20=7，即（q10-2）（q10+3）=0，所以q10=2.再得150.故正确答案为A.

还可验证，满足题设的数列有且仅有两个：an=

原解答的错误原因是：S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30是公比为正数q10的等比数列，当x=30时，数列S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30为10，20，40，80，得公比q10=2＞0，所以S40=y= 150；当x=-20时，数列S10，S20-S10，S30-S20，S40-S30为10，-30，90，-270，公比q10=-3＜0，因此S40=y=-200应舍去.所以正确答案为A.

若把题设中的“实数”改成“复数”，则正确答案为C（且满足题设的数列有且仅有10个）.

例9已知f（x）是偶函数，且f（1）=993，g（x）=f（x-1）是奇函数，求f（2005）的值.

常规解法：由f（x-1）是奇函数，得f（-x-1）=-f（x-1），即f（x）=-f（-x-2）.

又f（x）是偶函数，得f（x）=-f（-x-2）=-f（x+2），所以f（x+2）=-f（x）.由此可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x）.

所以f（2005）=f（1）=993.

笔者的分析：此题在网络上出现频繁，并给出了其解法（即以上常规解法）；笔者也曾把这道题选入专著《教材教法》（甘志国著，哈尔滨工业大学出版社，2014）第452页（答案在第482页）.

近日笔者才发现例9也是道错题：

由g（x）=f（x-1）是奇函数，得g（0）=f（-1）=0.再由f（x）是偶函数，得f（1）=0，这与题设“f（1）=993”矛盾！说明满足题设的函数f（x）不存在.修改建议：把题设中的“且f（1）=993”去掉.修改之后的答案为“0”.