由一道高考真题初探一类“碗状”函数最值

☉江苏省丹阳市吕叔湘中学 张莉

由一道高考真题初探一类“碗状”函数最值

☉江苏省丹阳市吕叔湘中学 张莉

引例 （2014全国高考安徽卷理科第8题）若函数f（x）=|x+1|+|2x+a|的最小值为3，则实数a的值为（）.

A.5或8 B.5或-1 C.-1或-4 C.8或-4

问题的提出很简单，但这是一道可以由特殊到一般的问题，为数学研究性学习提供了绝好的素材，同时，在探究过程中可以体验探究性学习的思考方法、思维过程，以及感悟逻辑推理的魅力.笔者从引例解法、本质、拓展、应用四个方面展示引例的研究性学习过程.

一、解法探究

解法1：（分类讨论）当a=2时，f（x）=3|x+1|≥0，与条件

解法4：（代入验证）根据答案提供的a的值代入函数f（x），将函数f（x）具体化，如当a=5时，f（x）=按照分段函数求最值的办法（分段求最值，然后比较），可知函数不合题意.同理，经检验可知a=-4或8.

评注：以上仅提供了对引例的四种解法，解法1旨在消除绝对值的背景，化归为分段函数；解法2利用绝对值的几何意义，但巧在等号同时成立；同样，解法3局部使用绝对值不等式，其实是解法2的代数化；解法4是根据题型（选择题）的特点，借助选择支进行排除.但其解法仍然是在就题论题，并不通畅，这类题目的一般性解法是值得思考的问题.

二、本质探究

函数f（x）=|x+1|+|2x+a|其实是利用绝对值进行包装的分段函数，令|x+1|=0，则x=-1；令|2x+a|=0，则x=采用零点分区域的办法，不难得到函数f（x）的图像.图1所示的是图像的各种情况，由图形便可直观地得到一些初步结论.

图1

结论1绝对值函数f（x）=|ax+b|+|cx+d|的图像是由折线组成，其最小值在某个绝对值的零点（折点）处取得.

结论2绝对值函数f（x）=|ax+b|+|cx+d|（a＞0，c＞0）的每段折线的斜率：

可见，绝对值函数f（x）两侧折线的斜率互为相反数，且两侧折线无线向上延伸，中间下凹，图像形似碗状，我们形象地把这类函数称之为“碗状”函数.

三、一类“碗状”函数最值的探究

分析：当n=2k，k∈N*时，|x-a1|+|x-a2k|≥a2k-a1（当且仅当x∈｛x|a1≤x≤a2k｝时等号取得），同理|x-a2|+|x-a2k-1|≥a2k-1-a2（当且仅当x∈｛x|a2≤x≤a2k-1｝时等号取得），…，|x-ak|+ |x-ak+1|≥ak+1-ak（当且仅当x∈｛x|ak≤x≤ak+1｝时等号取得）.将上述k个不等式相加得（a2+a3+…+ak）（*），因｛x|ak≤x≤ak+1｝哿…哿｛x|a2≤x≤a2k-1｝哿｛x|a1≤x≤a2k｝，故当且仅当x0∈｛x|ak≤x≤ak+1｝时，（*）式等号成立.此时f（x）min=f（x0），ak≤x≤ak+1.

注：ak、ak+1为a1、a2、…、an的中间两数，即“碗状”函数中间的两个折点.

同理，当n=2k+1，k∈N*时，我们可以得到f（x）min= f（x0），此时x0=ak+1.

结合结论2，我们还可以得到引例更简洁的解法.

证明：当n为偶数时，因数列｛an｝为等差数列，故

当n为奇数时，因数列｛an｝为等差数列，故同理可证，对于任意的x，均有成立，则函数f（x）图像的对称轴为