高职数学与数学建模相结合的探讨

黄金红

【摘 要】如何提升学生对学习的热情是高职数学教学不断思考的问题，将数学建模的方式运用到教学中除了能提高学生学习热情，还能加深学生对数学的了解认识，形成正确的价值观，进而提升高职数学教育的价值。本文从高职数学教学方法和内容上，引入实际案例，特别是一些贴近现实生活的数学建模案例，给出我们在课堂上应该如何融入数学建模思想，解决实际问题。

【关键词】高职数学教学;数学建模;实际案例

作为高等职业技术学院基础课中的重要课程，高职数学的职责是要为以后学习的专业课奠定牢固的根基，并且造就学生的专业素养。从笔者视角来说，学生在学习数学时缺乏自主性以及数学的应用性在教学中无法得到体现，这是数学教育在高等职业技术学院遇到的两个实际问题，也是高职院校需要在当下数学教学中积极重视处理的问题。

在本文中，探究了一些提升学生在数学方面的学习热情的办法。希望提高学生学习数学的热情、积极学习数学，那第一件事是调动学生学习数学的热情。数学建模在教育模式上是一种创新型探索，对于提升高职学生对学习数学兴趣有很大好处。将数学建模的思维和教学模式运用到高职数学教学中，利用包含实际含义、比较有实用的、也可以包含专业意义的范例，由学生独立进行判辨、探寻，感悟在探求历程学习数学的乐趣，令学生调动学习热情，掌握运用书本的知识、数学思考模式和数学知识辨析问题，解决实际问题的意识和能力。

一、结合课本的习题或例题 引入数学建模思想

高职数学的教授中，需要在关注基础和课本，利用书本教学和数学建模，并且融合数学实验。课本上的许多例题或者习题稍作推广就是一个数学建模案例。高职数学在长期的教学实践中提炼，内容不具象，但是有很好的应用性。通过数学建模选修课学习，总结得出的经验和思维方式尝试运用到高职数学教学中去。

案例1：一位美国人希望到加拿大度假，因此，他为了兑换加元用了1000美元， 币值升值了12%。但是没能成功出行，他又把这一笔加元换成美元，币值减值了12%。问：通过这两次的兑换后，他是不是实际资金减少了呢？

这是紧密贴合实际的例子，让学生产生探究兴致。其实这只是一个简单的构造函数关系的例子，我们可以用模型的方式给出解答，以此拓宽学生的思维形式。

设f（x）表示将x美元兑换成的加元数，增值比例为a;g（x）表示将x加元兑换成的美元数，减少比例为b。如果此人一来一回的兑换后不盈不亏的话，f（x）和g（x）应互为反函数，即有如下关系：g[f（x）]=x

易知：g[f（x）]<x，则此人亏了;若g[f（x）]>x，则此人有盈余。

由题设：f（x）=x+ax，a>0，x>0;

g（x）=x-bx，b>0，x>0。

则将x美元兑换成加元后，再将加元兑换成美元的数额为：

g[f（x）]=（1-b）（1+a）x，

可以看出（1-b）（1+a）=1不盈不亏，

依题设a=b=0.12，再设x=1000美元，

则g[f（x）]=（1-0.12）（1+0.12）×1000=985.6，由此可知此人亏损14.4美元。不亏甚至盈余时，应用（1-b）（1+a）≥1，得到b≤ = ≈0.107，即减少的比例不能超过10.7%。显然，换汇机构不会按此要求做亏本生意。

案例2：某人欲购买一套二居室的住房，需支付100万元，首付40万元，还需向银行申请60万元的买房贷款，贷款25年为期，月利率1%。按复利计算，还款从借款的下一个月开始。试问：此人每月应还多少钱？

在现实生活中每个人都基本会碰到这样的问题。这是一个构造关于数列及多元函数的模型问题。

假设借贷期限为n个月，贷款额为An，月利率为r，按复利计算，每月需还金额为x元。

第一个月还款x元后欠款余额为：A1=（1+r）An-x

第二个月还款x元后欠款余额为：

A2=（1+r）A1-x=（1+r）2A0-（1+r）x-x

……

第n个月还款x元后欠款余额为：

An=（1+r）An-1-x=（1+r）2An-1-（1+r）x-x

=……

=（1+r）nA0-（1+r）n-1x

-（1+r）n-2x-…-（1+r）x -x

=（1+r）nA0-

第n个月还清贷款，则An=0，于是有

x= A0

从公式看出，每月还款额x是贷款额A0、贷款期限n与月利率r的函数，这是一个多元函数。

根据题设，n=300，A0=600000，r=0.01

x= ×600000≈6319

即每月还款额为6319元。

通过这两个例子，学生会逐步认识到，数学建模来自课本，高于课本。增强了学习的兴趣和动力。

二、将课本内容延伸，引入建模思想

在讲解高职数学的基础概念时，适当的引入生活中出现的，学生感兴趣的现象，在教学中设计问题的情景利用启发的方式，让学生调动起对学习热情，使学生在辨析问题和处理问题的思考模式与技能得到锻炼， 令学生调动学习热情，领悟学习方法。

案例3：两人相约在某天下午1：00～2：00在约定的地方相见，如若先到就要等20分钟，时间过后就离开。指定的一小时内每人任一时刻到达都是可能的，那么两人见到还是见不到，两种可能性哪种大？

在这个问题的解决方法上最直观的办法就是将学生两两分组做一个实验，最终发现见到的比见不到的组数多。问：这是偶然还是必然？

分析与解答：设x，y为两人到达预定地点的时刻，那么两人达到时间的一切可能结果落在边长为60（单位：分钟）的正方形内，即样本空间？萃。如图所示：

两人若能见面，需满足|x-y|≤20，即x-y≤20，且y-x≤20。

令事件A表示“两人能见到面”，能会面如图中阴影部分，则

P（A）= = =

问题的延伸：先到的人至少等待多长时间，才能保证两人以90%以上的可能性见到？

由以上分析可知：

P（A）= = ≥0.9，解得t≥41.1分钟。

案例4：篮球比赛制定比赛规则问题

甲班同乙班举行篮球比赛，如果甲班赢的可能性比较大，问：对于甲班来说，实现3局2胜，还是5局3胜更有优势？

解决此问题的直接方法是先让学生进行篮球比赛，甲组厉害一些，乙组更弱一些。用两个赛制来进行比赛，观察结果，发现对于甲组来说，5局3胜更有利。问：这是必然吗？

分析与解答：每一局比赛中假设甲班获胜的几率为P，各局为互相独立的比赛。

3局2胜中甲班获胜的状况有两种：举行2局赛事，亦或举行3局赛事，这让甲班获胜的几率为：

P1=p2+C21p2（1-p）=p2（3-2p）

5局3胜中甲班获胜的状况有三种：举行2局赛事，举行4局赛事，亦或举行5局，这让甲班获胜的几率为：

P2=p3+C32p3（1-p）+C42p3（1-p）2

=p3（10-15p+6p2）

若p> ，容易得到P1<P2，即，对于甲班来说制定5局3胜更容易赢得比赛。

问题的延伸：若甲乙两班的篮球水平相当，赛制怎么制定？

由以上分析可知：此时p= ，代入可得P1=P2，即无论什么赛制，甲班赢得比赛的概率都是 。

大部分实际问题被应用在高职数学中，这要求学生思考问题本身，并加以辨析推敲，以上两个案例提示学生碰到问题时要多思考，多想，切忌匆忙下定论，遇到问题需要根据实际情况处理。老师们在举例的时候则需要多考虑学生的兴趣爱好，来提高学生学习数学的热情。

三、结论

高职数学内容丰富有趣，学习高职数学不只是培养学生的能力，大量的实际问题没通过简单的数学模型，是可以解决的。在我们的教学中，多联系生活，多引入数学建模的思维方式和解题方式，可以增加学生的学习兴趣，引导学生研究身边问题的习惯，从而学好高职数学。

高职数学是容易学习的，这需要我们努力革新教学模式，建立用数学思维模式，运用生活中案例，结合书本，攻克数学的抽象，学生会感受高职数学感的乐趣，也就能掌握好高职数学。

运用高职数学同数学建模互相融合的创新教学方法。需要教师在掌握课本的同时领会数学建模，其要求也相对提高。怎样将数学建模运用到高职数学教学中，处理实际情况，让学生体会到学习数学的趣味性和实用性，这是老师需要全心探寻的方法;以学生角度看，掌握高职数学，能更方便处理实际碰到的一些问题，因此掌握高职数学非常重要。

【参考文献】

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（作者单位：无锡商业职业技术学院基础教学部）