2011江苏高考数学卷第18题的多种证法及其推广探讨

王金玲

【摘 要】 近年来江苏几乎每年都会出关于圆锥曲线的定点及其定值的考题，因为其涉及到了众多的数学知识点，可以用多种思路、方法进行解答。本文针对2011江苏高考数学卷第18题的证法及其数学价值进行分析。

【关键词】江苏高考;数学;证法

虽然2011年的高考已经过去了三年，但是也为今后的数学教学指明了方向。圆锥曲线的定点、定值的问题涉及了几何、代数、向量以及三角等多个方面的知识，因此有多种求解的思路与方法，能够对答题者的素质、能力进行较好的检测，因此这也是历年考题都会出现的类型，在日常数学教学过程中应当注重此类题目的教学。现笔者针对2011江苏高考数学卷第18题的证法进行分析， 尽可能的挖掘其数学价值。

一、一道试题的多种证法

2011江苏高考数学卷第18题的题干如下：如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，M、N分别是椭圆 + =1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P，A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k。（1）（2）略;（3）对任意k>0，求证PA⊥PB。

证法一：设点法

由题意设点P的坐标为（x0，y0），A的坐标为（-x0，-y0），B的坐标为（x1，y1），则点C的坐标为（x0，0）。通过“A，C，B三点是共线”、“点P，点B两点均在椭圆上”，加以分析得出“PA⊥PB”。

证法二：直线法

将P、A、C以及直线AC采用代数式表示，通过带入法得出kPA·kPB=k·（- ）=-1，因此PA⊥PB。

证法三：几何转化法

点A的坐标为（x1，y1），B的坐标为（x2，y2），则中点N的坐标为（x0，y0），由此可得P的坐标为（-x1，-y1），C点的坐标为（-x1，0）。由“ACB三点共线”“点A，点B均在椭圆上”、“ON∥PB”，可得PA⊥PB。

本题考查的主要知识点为定值的问题，同时对学生解方程组的能力，运算求解以及共线问题的解答都有所涉及，是对学生数学综合性能力的考查。

二、同一试题的不同变法

根据本文所述试题，可以将条件和结论进行变更，从而得到新的命题。

命题一，假设PA⊥PB，将AB连接，交x轴于点C，则求证PC⊥AB。

命题二，求证kPB·kAB=- 。

三、同一试题的多种推广

1.命题二推广的不同方法

推论A：椭圆 + =1（a、b均>0且b

推论B：双曲线 - =1（a、b均>0），穿过（0，0）点的直线与双曲线相交，交点为A、P。点B为双曲线上不同于A、P两点的任意点，求证：kBA·kPB= 。

下文为推论A的证明过程，推论B可仿照此解题过程完成。

证明：设P的坐标为（x1，y1），A的坐标为（-x1，-y1）B的坐标为（x2，y2），因为 + =1 - =1所以kBA·kPB= = =- 。

四、解题思路的推广

根据上述分析不难发现，在同一题型、题目中，学生可以从多方面展开思考， 通过不同的思维切入点找到解题关键。事实上，数学这门学科本就是辩证思维的过程，同一题目，学生所用的方式、思维习惯不同，表现出的解题思路便会有所差异。一道好的数学题本应如此，让学生可从多角度着手，在无限与有限、退与进、整体与局部中逐步探索，发现试题以及解题思路中的变化。

由此，作为一名高中数学教师，在日常教学中也应注重学生解题思维的培养，一道题目不再单纯采用同一方式讲解，而应激发学生思维，对学生展开引导性教育。目前教学上存在一个弊端，即在讲解某一知识点时，会用当下的新知识点解题，没有重视解题对以往知识的综合性运用。根据本次研究不难发现，一道题目在解题思路上可呈多样化，教师在教学中也应借鉴这一高考题，引导学生在不同思路下解题，达到发散学生思维、综合运用知识的效果。

五、结论

本文主要针对江苏省2011年高考数学试题中的某一典型题展开研究，通过分析其多种解题方法、不同解题思路，为今后教学以及对学生数学思维的培养提供帮助。根据资料以及笔者自身的经验可知，同一试题的证法可以是多种的，因此要求学生必须具备扎实的基本功，能够灵活的运用所学知识进行解答。与此同时，改变题目中的条件和结论就能够得到一个新命题，教师应当培养学生举一反三的能力。同一试题的讲解应当将其相关的推论，知识点等进行系统的讲解，使学生能够具备较好的综合素质。

【参考文献】

[1]周弋林.高考数学命题中的竞赛数学背景研究[D].广州大学，2012

[2]刘彩萍.高考数学中数学思想方法的研究及启示[D].上海师范大学，2010

（作者单位：陕西师范大学

江苏丹阳第五中学）