电磁感应现象与动力学图像综合类型题解析

林颋炜

（南平市教研室 福建 南平 353000）

电磁感应的图像问题历年来是高考命题的热点，它不仅考查电磁感应的知识，还考查学生的多种能力，特别是应用数学知识处理物理问题的能力和综合分析问题的能力.过去涉及到应用数学图像法处理电磁感应的综合计算中，常涉及磁感应强度B，磁通量Φ，感应电动势E和感应电流I等电磁学的物理量随时间t变化的图线，即B－t图线、Φ－t图线、E－t图线和I－t图线等.但在近年的试题中出现vt图线 、F－t图 线、a－t图线 、a－s图 线、F－v图线 、s－t图线等动力学的图像和电磁感应问题相结合的试题，这些图像问题是一种半定量分析，解题时通过题干所给的动力学图像结合电磁感应过程进行互推，由给定的动力学的有关图像分析电磁感应过程，求解相应物理量.

本文就近年出现的动力学图像与电磁感应综合的新热点计算题进行归纳和分析，应该对高三的复习教学有一定的指导作用.

1 v－t图像和s－t图像与电磁感应结合情况

【例1】如图1（a）所示，abcd是位于竖直平面内的正方形闭合金属线框，金属线框的质量为m，电阻为R.在金属线框的下方有一匀强磁场区域，MN和M′N′是匀强磁场区域的水平边界，并与线框的bc边平行，磁场方向与线框平面垂直.现金属线框由距MN 的某一高度从静止开始下落，图1（b）是金属线框由开始下落到完全穿过匀强磁场区域瞬间的速度－时间图像，图像中坐标轴上所标出的字母均为已知量.求：

（1）金属框的边长；

（2）磁场的磁感应强度；

（3）金属线框在整个下落过程中所产生的热量.

图1

解析：（1）当线框bc边刚接触MN 切割磁场到ad边到达MN边界的t2－t1时间内是做匀速直线运动，

由匀速直线运动可得：金属线框的边长

（2）在t2－t1时间内，金属线框进入磁场的过程中，金属线框所受安培力等于重力

（3）金属线框在t2－t1时间内，进入磁场过程中金属框产生的热为Q1，由动能定理得

金属线框在t4－t3时间内，离开磁场过程中金属线框产生的热为Q2，由动能定理得

所以线框产生的总热量

【例2】如图2（a）所示是某人设计的一种振动发电装置，它的结构是一个半径为r＝0.1m的20匝线圈，线圈套在永久磁铁槽中，磁场的磁感线均沿半径方向均匀分布，其右视图如图2（b）.在线圈所在位置磁感应强度B的大小均为0.2T.线圈的电阻为2Ω，它的引出线接有8Ω的灯L，外力推动线圈的P端做往复运动，便有电流通过电灯.当线圈向右的位移随时间变化的规律如图2（c）所示时（x取向右为正）

（1）试画出感应电流随时间变化的图像［在图2（b）中取逆时针电流为正］；

（2）求每一次推动线圈运动过程中的作用力；

（3）求该发电机的功率.（摩擦等损耗不计）

图2

解析：（1）由s－t图像转化为v－t图像如图3，由线圈在一个周期内运动可以看出，线圈往返的每次运动都是匀速直线运动，速度为

线圈做切割磁感线运动产生的感应电流每次运动过程中都是恒定不变的，由于感应电动势E＝nBLv，式中L是线圈每一周的长度，即2πr，所以

感应电流

图3

从图4（a）中可以看出线圈沿x正方向运动时，产生的感应电流是顺时针的（从右向左看）.于是可得到如图4（b）所示的电流随时间变化的图像.

图4

（2）由于线圈每次运动都是匀速直线运动，所以每次运动过程中推力必须等于安培力，即

（3）发电机的输出功率即灯的电功率为

点评：v－t图像和电磁感应结合，是高考试题的常考点.通常由v－t图像分析出物体运动过程中不同阶段的运动状态，其中匀速直线运动通过建立平衡方程，匀变速直线运动通过牛顿第二定律求解，变加速直线运动联系动能定理和功能关系等.同时根据物体运动状态判断导体在电磁感应过程中安培力大小的变化，从而求解电磁学、动力学的物理量以及电磁感应的能量问题.s－t图像结合电磁感应，可以把s－t图像转换为v－t图像，运用类似的方法解题.此类题目很好地考查了学生信息收集和处理能力，以及综合运用所学知识分析、解决问题的能力.

2 a－s图像和v－s图像与电磁感应结合情况

【例3】如图5（a）所示，平行金属导轨竖直放置，导轨间距为L＝1m，上端接有电阻R1＝3Ω，下端接有电阻R2＝6Ω，虚线O O′下方是垂直于导轨平面的匀强磁场.现将质量m＝0.1kg、电阻不计的金属杆ab，从O O′上方某处垂直导轨由静止释放，杆下落0.2m过程中始终与导轨保持良好接触，加速度a与下落距离s的关系图像如图5（b）所示，求：磁感应强度B.

图5

解析：由图5（b）分析可知，杆ab下落距离为s＝0.05m的过程中做匀加速直线运动，加速度a＝g＝10m／s2，所以杆做自由落体后进入磁场时的瞬时速度

由图5（b）知，杆ab刚进入磁场时的瞬时加速度

根据牛顿第二定律得

回路中的电动势为

由电阻并联可得总电阻R为

ab杆中的电流

此时ab所受安培力为

【例4】在质量为M＝1kg的小车上，竖直固定着一个质量为m＝0.2kg，高h＝0.05m，总电阻R＝100Ω，n＝100匝矩形线圈，且小车与线圈的水平长度l相同.现线圈和小车一起在光滑的水平面上运动，速度为v1＝10m／s，随后穿过与线圈平面垂直，磁感应强度B＝1.0T的水平有界匀强磁场，方向垂直纸面向里，如图6（a）所示.已知小车运动（包括线圈）的速度v随车的位移s变化的v－s图像如图6（b）所示.求：

（1）小车的水平长度l和磁场的宽度d；

（2）小车的位移s＝10cm时线圈中的电流大小I以及此时小车的加速度a；

（3）在线圈进入磁场的过程中通过线圈某一截面的电荷量q；

（4）线圈和小车通过磁场的过程中线圈电阻的发热量Q.

图6

解析：（1）由图可知，从s1＝5cm开始，线圈进入磁场，线圈中有感应电流，受安培力作用，小车做减速运动，速度v随位移s减小，当s2＝15cm时，线圈完全进入磁场，线圈中感应电流消失，小车做匀速运动.因此小车的水平长度

当s3＝30cm时，线圈开始离开磁场 ，则

（2）当s＝10cm时，由图像中可知线圈右边切割磁感线的速度v2＝8m／s.

由闭合电路欧姆定律得线圈中的电流

此时线圈所受安培力

F＝nBIh＝100×1×0.4×0.05N＝2N小车的加速度

（3）由图像可知，线圈左边离开磁场时，小车的速度为v3＝2m／s.

线圈进入磁场和离开磁场时，克服安培力做功，线圈的动能减少，转化成电能消耗在线圈上产生电热.

解得：线圈电阻发热量Q＝57.6J.

点评：a－s图像和v－s图像结合电磁感应，通常关注导体的加速度a，速度v随位移s的变化关系：首先分析图像时应找图像的斜率、拐点等；其次注意在位移s变化过程中a和v的瞬时值大小，同时找准各段图线对应的物理过程，理清导体在磁场中运动的位移和所对应的运动状态，其联系桥梁是磁场对感应电流的安培力.因为感应电流产生的安培力与导体运动的加速度有相互制约的关系，所以判断出导体电磁感应的过程和安培力的变化后，结合牛顿第二定律方程F合＝ma求解相关物理量.

3 F－v图像和F－t图像与电磁感应相结合情况

【例5】水平面上两根足够长的金属导轨平行固定放置，间距为L，一端通过导线与阻值为R的电阻连接；导轨上放一质量为m的金属杆［见图7（a）］，金属杆与导轨的电阻忽略不计；均匀磁场竖直向下.用与导轨平行的恒定拉力F作用在金属杆上，杆最终将做匀速运动.当改变拉力的大小时，相对应的匀速运动速度v也会变化，v与F 的关系如图7（b）.（取重力加速度g＝10m／s2）

（1）金属杆在匀速运动之前做什么运动？

（2）若m ＝0.5kg，L＝0.5m，R＝0.5Ω，磁感应强度B为多大？

（3）由v－F图像的截距可求得什么物理量？其值为多少？

图7

解析：（1）变速运动（或变加速运动、加速度减小的加速运动，加速运动）.

（2）感应电动势

由图线可知金属杆受拉力、安培力和阻力作用，匀速时合力为零可得

由图线可以得到直线的斜率

（3）由直线的截距可以求得金属杆受到的阻力f，在图线上取两点坐标代入，可得

若金属杆受到的阻力仅为动摩擦力，由截距可求得动摩擦因数μ＝0.4.

【例6】相距为L＝0.20m的足够长的金属直角导轨如图8（a）所示放置，它们各有一边在同一水平面内，另一边垂直于水平面.质量均为m＝0.1kg的金属细杆ab，cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为μ，导轨电阻不计，回路总电阻为R＝1.0Ω.整个装置处于磁感应强度大小为B＝0.50T，方向竖直向上的匀强磁场中.当ab杆在平行于水平导轨的拉力F作用下从静止开始沿导轨匀加速运动时，cd杆也同时从静止开始沿导轨向下运动.测得拉力F与时间t的关系如图8（b）所示.g＝10m／s2，求：

（1）杆ab的加速度a和动摩擦因数μ；

（2）杆cd从静止开始沿导轨向下运动达到最大速度所需的时间t0.

图8

解析：（1）经时间t，杆ab的速率

此时，回路中的感应电流为

对杆ab由牛顿第二定律得

由以上各式整理得

在图像上取两点

代入上式得

（2）cd杆受力情况如图8（a），当cd杆所受重力与滑动摩擦力相等时，速度最大，即

点评：F－v图像和F－t图像与电磁感应结合的这种类型试题对学生提出了较高的要求，通常磁场中作用在导体上的外力和安培力随速度、时间变化，对所给的图像要求学生一方面要明确图像中横轴与纵轴所表达的物理意义，另一方面还要搞清图像所揭示的物理规律或物理量间的函数关系.通过图像推导出坐标轴上物理量对应物理方程的表达式，并挖掘图像中的隐含条件.结合图线的斜率（常表示一个物理量）、截距（常反映－个物理量的临界值）和图线与坐标轴围成的面积（常与某一物理量相对应）等各量表示的物理意义求解.

笔者认为结合动力学图像的试题是电磁感应中研究动力学问题的新考点，它与动力学的物理情境题比较，试题中恰当地引入数学图像，常可化抽象为形象，便于突破难点、疑点，使解题过程大大简化.同时图像一方面具有简明、直观的特点，它既能形象地展示两个相关物理量间的相互制约关系，又可清晰描述复杂的物理过程，帮助学生快速进入物理情境；另一方面直观的图像便于教师归纳出物理规律，培养学生的物理思维，构建物理模型，达到事半功倍的教学效果.