他山之石,可以攻玉

李芳

［摘要］ 已知三角形的一角及其对边，满足条件的三角形不唯一确定，已知角的顶点可以在已知边为弦的圆周上运动，因此可用圆的基本性质来解题. 本文试图通过一些典型例题来培养学生的观察能力以及认真思考的习惯.

［关键词］ 圆的基本性质；解三角形；典型例题；培养观察能力

初中数学中，一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 解三角形时，三角函数是最常用的知识. 若已知三角形的一角及其对边，进行有关计算，学生往往会思维定式，想到三角函数，想到添加高线，但这样只会走进死胡同，一筹莫展. 回过头来思考，已知三角形的一角及其对边，满足条件的三角形是不唯一确定的，已知角的顶点可以在已知边为弦的圆周上运动，如图1所示，△ABC和△ABD都是满足条件的三角形，这样我们就可用圆的基本性质来解题了.

这类问题往往出现在填空和解答压轴题中，先看典型的一例.

例1 如图2所示，在平面直角坐标系中，A（1，0），B（5，0），C（6，3），D（0，3），点P为线段CD上一点，且∠APB=45°，则点P的坐标为______.

解析?摇 问题可归结到△ABP中，AB=4，AB的对角∠APB=45°，则点P在以AB为弦且AB所对圆心角为90°的⊙F上，因为点P为线段CD上一点，所以点P为⊙F与线段CD的交点.可用圆的基本知识构造如图3的图形，连结AF，BF，PF，过点F作FE⊥AB，垂足为点E，延长EF交CD于点G. 因为∠APB=45°，所以∠AFB=90°，得△ABF为等腰直角三角形. 由AB=4可求得AE=EF=■AB=2，PF=AF=AB·sin45°=2■，所以OE=3，FG=1. 在Rt△GFP中，由勾股定理可得PG=■，所以DP=DG+PG=OE+PG=3+■，DP ′=DG-GP ′=OE-PG=3-■，这就确定了点P的横坐标，从而得满足条件的点P的坐标为（3+■，3）或（3-■，3）.

弄清楚这类问题的实质，掌握了解决方法后，用同样的方法来解2012年浙江省义乌市卷16题，填空最后一道压轴题，就比较轻松了.

例2?摇 如图4，点A（0，2），B（2■，2），C（0，4），过点C向右作平行于x轴的射线，点P是射线上的动点，连结AP，以AP为边在其左侧作等边三角形APQ ，连结PB，BA. 若四边形ABPQ为梯形，则：

（1）当AB为梯形的底时，点P的横坐标是______.

（2）当AB为梯形的腰时，点P的横坐标是______.

解析?摇 在参考答案中，只有符合题意的三个特殊图形，特别是第（2）小题，有两个答案，如何理性地分析不遗漏答案呢？

根据题意分析，问题（1）转化为PQ∥AB，如图5所示，因为△APQ为等边三角形，所以∠PAB=∠APQ=60°，即∠PAC=30°. 在Rt△APC中，AC=2，∠PAC=30°，由三角函数得PC=ACtan30°=■，即点P的横坐标为■.

■

问题（2）转化为BP∥AQ，则∠APB=60°. 在△APB中已知∠APB=60°及其对边AB=2■，用例1同样的方法用圆的基本知识构造如图6所示的图形，点P在以AB为弦的⊙E上，且点P是射线上的动点，则点P为⊙E与射线CP的交点，连结AE，BE，PE，过点E作ED⊥AB，垂足为点D，延长DE交CP于点F. 因为∠APB=60°，所以∠AEB=120°，∠AED=60°，AD=■AB=■. 在Rt△ADE中，由三角函数可得AE=2，DE=1，所以EF=1. 而EP=AE=2（此题较上题特殊，A，E，P三点在同一直线上），在Rt△EFP中，由勾股定理可得PF=■，从而CP=CF+PF=AD+PF=2■，从而确定了点P的横坐标，不难求得满足条件的另一个点P的横坐标为0，即点C. 这样看清了问题的本质，就能理性地分析问题而不遗漏答案.

最后再来看一例能用同样方法解决的综合压轴题.

例3?摇 已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（4，0），C（0，-2）.

（1）求二次函数的解析式.

（2）判断△ABC是否是直角三角形，并说明理由.

（3）M（x，y）是抛物线上的一个动点（不与A，B重合）.

①如图7所示，△ACM的内心在坐标轴上，求点M的坐标；

②如图8所示，当∠AMB≤45°时，请直接写出点M横坐标的取值范围.

解析?摇 此题的前几小题与本文的中心内容无关，这里不再累述，直接看最后一问，问题又是在△ABM中，AB=5，与以上两例所不同的是，AB的对角变为小于等于45°，我们先考虑临界情况，即AB的对角等于45°的情况，则点M在以AB为弦且AB所对圆心角为90°的圆上，如图9所示，设临界情况时△ABM外接圆的圆心为P，由AB=5，∠APB=90°得P■，■，AP=■■，点M在抛物线y=■x 2-■x-2上，可设Mx，■x 2-■x-2，在Rt△PEM中由勾股定理可得x-■■+■x 2-■x-2-■■=■■■，解得x=-2或x=5. 再由圆外角小于圆周角可得当∠AMB≤45°时，x≤-2或x≥5.

■