打开数学思路?摇 奠定学习基础

蔡冬英

［摘要］ 要帮助学生顺利地进入初中数学学习的状态，关键还在于教师要通过自身的努力，帮助学生打开初中数学的学习思路，进而为学生学好初中数学奠定坚实的基础，本文试以“有理数的除法”教学为例，谈谈笔者的思考与做法.

［关键词］ 初中数学；学习基础；数学思路

对于刚进入初中的学生而言，数学学习是一个不小的挑战，因为会出现大量的在小学数学成绩优异而到了初中后学习成绩不佳的现象. 究其原因不外乎两个：一是初中数学的教学内容相对于小学而言，更多、更难；二是学生的学习方法来不及改变，旧壶装新酒，不是那个味！而从问题解决的角度来看，要帮学生顺利地进入初中数学学习的状态，关键还在于教师要通过自身的努力，帮助学生打开初中数学学习的思路，进而为学生学好初中数学奠定坚实的基础. 本文试以“有理数的除法”教学为例，谈谈笔者的思考与做法.

学生的学习准备分析

为了打开学生的数学思路，在本节知识教学之前有必要对学生的学习准备情况进行分析，分析包括学生的知识基础、学生的思维基础两个方面.

先谈学生的知识基础. 学生此前已经学过了有理数的概念以及有理数的加减与乘法，其中在有理数的概念学习中，由于教学情境的创设等作用，学生知道了引入负数的必要性，从而扩大了对数的理解；由于引入了数轴，从而扩大了对数形结合的理解. 在有理数相加减的学习中，学生已经意识到了有理数的加减一方面与自然数的加减关系一样，具有运算与逆运算的关系，同时由于扩充到有理数范围，因此又有了超越自然数相加减的内涵.

再谈学生的思维基础. 由于此前的数学学习方法积淀，学生对四则运算非常熟悉，因此，学习了有理数的加减乘之后，学生已有学习有理数除法的心理准备和心理预期，这为本知识的学习提供了良好的动机，而且这种动机来自于寻找知识的圆满与平衡，其作用远大于教师通过情境创设来激发学生学习动机的效果. 而由于意识到有理数的除法与乘法应当是逆运算的关系，因此相当一部分学生已经对此问题有了自己初步的思考，并对运算法则作了初步的探究，甚至会出现不少学生能够自主进行有理数除法运算并且得到正确结果却说不出具体运算规则的情形.

结合上面的分析可以发现，教师在实际教学中的主要着力点不在于复杂情境的创建，也不在于教学过程中无微不至的讲解，关键在于通过适当的问题激发学生已有的知识与思维基础，通过有效的引导打开学生探究有理数除法的思路，并在此过程中通过显性或隐性的教学提醒，帮助学生建立数学学习的认识，形成一定的初中数学学习策略，以为后面数学知识的学习服务.

教师的教学设计实施

在实际教学中，本节内容的教学可分为以下三大环节：一是新课引入环节；二是规则探究环节；三是知识应用环节. 考虑到与阐述主题的一致性，下面重点论述前两个环节.

1. 新课引入环节

面对传统教学思路与新课程背景下的教学取向，本节的引入有两种选择：一是基于前面所学的有理数的知识；二是重新创建一个新的生活情境. 考虑到本知识从难度上讲学生并不难接受，因此从教学的效益角度看，笔者选择了第一种思路.

本环节设计的问题环节有：首先通过“有理数的乘法法则是什么”的问题，引发学生思考，此处，要注意少数“学困生”的表现，确保他们在此基础阶段不出问题；然后提出第二个问题：当初学习有理数的加法与减法时经过了什么样的思路？提出这个问题的目的在于，让学生意识到有理数的减法是建立在有理数加法的基础之上. 需要做的一个过细工作是，要让学生明确理解“减去一个有理数，就是加上这个有理数的相反数”（要顺便复习一下相反数的概念，确保每一个学生都掌握这一思路）；最后，从认知策略的角度提出一个问题：为什么有理数的减法与加法之间可以实现这样的转化？回答此问题的目的在于，明确“逆运算”的概念，以初步打开下面有理数除法法则的研究思路.

有了上面的基础，结合一两个有理数乘法的例子，教师可以顺势提问：现在大家已经掌握了有理数加减乘的运算规则，还差一个什么呢？从而将教学引向下一个环节.

2. 规则探究环节

教师可以先出示两至三个除法例子，如9÷（-3）；（-9）÷3等. 学生在面对这两个算式时一般会有这样的想法（可以通过学生在下面的轻声讨论知道）：如果是9÷3就好了，现在多了个负号，应当怎样计算呢？这些问题的提出往往意味着研究动机的存在. 教师此时应当注意，学生这样的思路其实还暴露出了思维上的另一个盲区，即由于对四则运算的熟练，学生已经忽略了除法最为本质的理解，而将这种理解还原出来，则是打开学生探究思路的一个关键. 于是教师可以这样提醒学生：对于第一个式子而言，我们现在看起来是要知道9除以-3的结果（停顿片刻，让学生理解一下这句话）……实际上换一个说法，就是要知道哪个数乘-3等于9（再停顿片刻，让学生理解一下这句话）……此处的两次停顿非常重要，因为这一提醒实际上就是在帮学生寻找通过对乘法的理解去寻找除法的规则，是第一次将有理数的除法与乘法联系起来. 于是学生的思维对象就由9÷（-3）=？变成了 ？×（-3）=9.

根据教学中的实际反应，学生的思路一般有两个（思路的多元性恰恰证明了学生的思路已经被打开）：部分学生立即反应出此式中的“？”应当为-3，这是利用有理数的乘法规则得出的结果；也有部分学生会经历一段“弯路”：“？”不可能是3，因为3×（-3）=-9，然后才想到-3，再经过转换之后，学生就可以得到9÷（-3）=-3这一结论. 刚刚进行的是分析的第一步，无论是从归纳的角度看，还是从逻辑的角度讲，此时都不宜直接得出有理数除法的规则，因而还需要让学生继续分析其他的例子. 待两至三个例子分析结束之后，学生意识当中就会初步浮现有理数除法的规则，但这种规则还难以形成准确的数学语言，因而需要教师继续引导：9÷（-3）=9×（？）. 这一等式的出现要设计成浓墨重彩的一笔，要在黑板或多媒体上凸显出来，以将学生的注意力全部吸引过来！而学生的回答一般也应当是迅速得答出－■！然后思路就清晰了，即教师引导学生寻找-3与－■的关系，于是倒数关系也就明晰地出现在了学生的思维里. 在其他例子的辅助之下，这一工作必须再进行一至两次的重复，以帮助学生形成一种规律感.

至此，有理数除法中“除以一个数就是乘以这个数的倒数”的结论呼之欲出. 下面要进行的工作就是由特殊向一般转变，寻找有理数除法规则的符号表达，即a÷b=a×■，至于本式中b≠0这一条件的得出，对学生而言倒不是问题.

至于知识应用，此处要做一个提醒，即应用不能只是规则的直接应用，也可以从有理数除法规则证明得出的角度去设计一些问题，以让学生回顾、巩固知识发生的过程，这样不仅可以帮助学生加深对结论的认识，还可以帮助学生加深对学习策略的认识，这对以后数学知识的学习有好处.

教学的总结、反思、前瞻

总结并反思这段教学设计和教学过程我们会发现，其中对于学生而言有价值的地方在于，所有的探究过程与结果的得出都不是教师给出的，而是学生自主得出的. 在这个过程中，教师只发挥了指引的作用，而学生的主体地位却得到了体现. 但对于笔者而言，反思到这一步仍然意犹未尽，因为将这段教学过程与以往的教学过程进行比较，还是发现了其他一些认识，如如果遵循从头到尾的讲授并经过部分习题的训练，学生最后也能掌握这一知识（这就是一开始说本知识不难的一个依据），但在这样的教学过程中，学生所表现出来的学习积极性是不佳的，到了后面其他知识的学习中，教师依然要费大把的力气去讲授. 而遵循这一教学思路，并在后面的知识学习中继续坚持，我们会发现，学生上数学课时的积极性提高了，在知识建构的过程中也会提出自己的见解. 相比之下，后者显然更能促进学生自主地建构数学知识，这也意味着学生数学学习的思路被打开了，从而一个坚实的数学学习基础也就奠定成功了.

同时，在这段教学中也有一些细节是备课时所没有注意到的，比如上面提到的学生的两种思路中，后一种就出乎笔者的意料，因为笔者总认为既然已经掌握了乘法规则，那自然就应该直接反应出-3的结果，而事实上有少数学生仍从最初的学习出发，用尝试的方法在出错之后才发现正确的结果，这说明对学生的研究仍然有过细的工作要做.

因此，展望将来的初中数学教学，笔者觉得要坚持的是这样几点：一要坚持研究学生的知识基础，因为只有研究了学生的知识基础，才能准确地判断自己在课堂上什么时候该讲，该讲到什么程度；二要研究学生的数学思维规律，因为数学学习异于其他学科的学习，不能完全遵照一般的心理规律来看待数学教学. 而一旦把握了学生学习数学的规律，那在实际教学中就可以如鱼得水、游刃有余.