例谈初中数学分式方程中的无解和有增根

姚宏彪

一、初中数学分式方程特点

分式方程，即等号两边含有未知数的有理方程，是方程中的一种。一般而言，未知数至少要有一个。分式方程在解法上主要有三个步骤。

第一步，去分母。通过将分式方程两边同时乘以最简公分母，即各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作，从而化为整式方程。

第二步，进行移项。当出现括号时，首先要去括号，进而合并同类项，化系数，最后求出未知数的值。

第三步，验根。在求出未知数的值后，再进行验根。在验根时，首先用最简分母替换整式方程的根，这时会出现两种情况：当最简公分母为0时，此根为增根；当最简公分母不为0时，此根即为原分式方程的根。

二、初中数学分式方程中的无解和有增根

分式方程无解，即指在一定的范围内，不论未知数取何值，都不能满足该方程。初中数学分式方程无解主要包含两种情况。增根，即当分式方程化为整式方程后，出现整式方程的根使得最简公分母为零的情况，这个根即为原分式方程的增根。在分式方程中，当未知数为零时，此时原分式方程没有意义，因此不允许未知数为零。换言之，分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当分式方程转化为整式方程后，整式方程中未知数值的范围被扩大了。当转化后的整式方程出现其根的取值不在原方程未知数的允许值之内的现象，即产生了增根。

结合分式方程的特点，初中数学分式方程中的无解与有增根，主要可以从三个方面来阐述。

当原方程两边同时乘以最简公分母后，转化为整式方程时，整式方程为一元一次方程，通过解整式方程，发现整式方程无解，同时原分式方程没有产生增根。

现举例说明如下：

例：解方程 = +2(1)

解：把方程两边都乘以x+3,得x-2=5-x+2(x+3) (2)

即得x-2=5-x+2x-6

整理这个方程，2x-2x=1

此时，0x=1

因此，此方程无解，所以原方程无解。

分析：在方程（1）中，未知数x的取值范围为x≠-3。当经过简化后，得到整式方程（2），在方程（2）中，未知数x无解，因此原分式方程无解。

当分式方程两边同时乘以最简公分母后，转化为整式方程时，整式方程为一元一次方程，通过解整式方程，发现整式方程有解，但这个解代入原方程中，却使原方程分母为0，此时，这个解为原方程的增根，但原方程無解。

现举例说明如下：

例：解方程 + = (1)

解：把方程两边都乘以（x+4）(x-4),得3(x+4)-8x=4(x-4)(2)

解得这个方程，得x=-4

经过验证得知：当x=-4时，原方程没有意义，因此x=2是原方程的增根。

分析：在方程（1）中，未知数x的取值范围为x≠-4，同时满足x≠4。当经过简化后，得到方程（2），在方程（2）中，未知数x的取值范围为全体实数，将最后所求的未知数x取值代入最简公分母，发现最简公分母为0，此时x的取值即为原分式方程的增根，原分式方程无解。

当分式方程两边同时乘以最简公分母后，转化为整式方程时，整式方程为一元二次方程，通过解整式方程，发现整式方程有解，此时，原方程有增根，同时原方程也有解。

现举例说明如下：

例:当a为何值时，方程- =有增根？（1）

解：把方程两边都乘以（x+4）(x-4),得4(x+4)+ax=3(x-4)(2)

整理这个方程,即得(a+1)x=-28

此时,若原分式方程有增根，则x＝4或－4是方程（2）的根。

将x＝4或－4代入方程（2）中，解得，a＝－6或a=-8。

分析：在方程（1）中，未知数x的取值范围为x≠-4。当经过简化后，得到方程（2），若原分式方程有增根，则未知数x的取值范围为4或-4，将最后所求的未知数x取值代入方程（2），即可求得原分式方程的增根。

当分式方程两边同时乘以最简公分母后，转化为整式方程时，整式方程为一元一次方程，通过解整式方程，发现整式方程有一个根，此时，原方程有解，但原方程没有增根。现举例说明如下：

例：（1）

解：把方程两边都乘以非零数x,得 x-3=2 （2）

解得这个方程，x=5

经过验证得知：当x=5时，原方程有解，但x=5不是原方程的增根。

分析：在方程（1）中，未知数x的取值范围为x≠0。当经过简化后，得到方程（2），在方程（2）中，未知数x的取值为5，将最后所求的未知数x取值代入（1），x=5即为原分式方程的解，但不是原分式方程的增根。

综上所述，在初中数学分式方程的求解中，判别增根和无解，只要通过把原分式方程的两边同时乘以最简公分母从而化简成整式方程，具体分析整式方程。当整式方程本身无解时，原分式方程无解，同时原分式方程也没有增根；当整式方程有解时，将所求的未知数取值代入最简公分母，当最简公分母为零时，原分式方程一定有增根，但原分式方程可能有解，也可能无解；当最简公分母不为零时，原方程一定没有增根，但有解。同时，在整式方程有解时，还可能存在既有解，同时也有增根的情况。因此，在学习的过程中，对此要有一个透彻的认识以及掌握。

（作者单位:江苏常熟市昆承中学）