韩永年
在解分式方程问题时,经常会碰到“增 根”或“无解”的情形.许多同学对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解或有增根是同样的概念.事实上,“增根”与“无解”是两个不同的数学概念.抓住概念本质是理解概念的关键.下面,笔者就分式方程的“增根”与“无 解”问题进行了剖析,希望同学们能够理解两者的概念,掌握不同问题的解法.
一、分式方程的“增根”问题
分式方程的“增根”是在去分母的过程中,方程两边同乘了一个能使最简公分母为零的整式,致使未知数的取值范围扩大,从而产生了增根,所以在得出分式方程的解后往往需要进行检验,若经过验证发现是增根,则应舍去;若此“增根”是分式方程唯一的解,则说明该分式方程无解.一般而言,分式方程产生“增根”,应满足如下两个条件:一是去分母时,能使方程两边同时乘以的最简公分母等于零;二是能使分式方程转化后的整式方程成立.
例 1
解:(1)方程两边同时乘以最简公分母x(x + 1),
可得2x2 - 2=(x + 1)2,
整理可得x2 - 2x - 3=0,解得x1=3,x2=-1.
经检验,当x2=-1时,分母为0,原方程无意义,所以x2=-1为增根,应舍去,
所以原方程的解为x=3.
(2)方程两边同时乘以最简公分母 (x + 3)? (x - 3),
可得3(x + 3)-6x=4(x - 3),
整理可得x=3.
经检验,当x=3时,原方程无意义,
所以x=3为增根,应舍去,
所以原方程无解.
(3)原分式方程两边同时乘以最简公分母(x - 4)(x + 4),
可得4(x + 4)+mx=5(x - 4),
整理可得(1 - m)x=36.
因为原分式方程有增根,
所以(x - 4)(x + 4)=0,
所以x=4或x=- 4是整式方程(1 - m)x=36的根,
所以,
解得m=- 8或m=10.
评注:分式方程的“增根”必定使方程两边同时乘以的最简公分母等于0,但是并非同时乘以的最简公分母等于0的未知数的值,都是分式方程的增根,也不是所有的分式方程都会产生增根.
二、分式方程的“无解”问题
分式方程无解是指不管未知数取何值时,都无法使得分式方程两边的值相等.一般情况下,当分式方程出现无解时,同学们需要注意如下两种情况:一是把原来的分式方程转化为整式方程后,该整式方程无解,则原分式方程无解;二是把原来的分式方程转化为整式方程后,该整式方程有解,但此解是原方程的增根(能使最简公分母为0),所以原分式方程亦无解.
例2
解:(1)方程两边同时乘以最简公分母x + 4,
可得x - 3=5 - x + 2(x + 4),
整理得0=16,
显然,该整式方程无解,
所以原分式方程无解.
(2)原分式方程两边同时乘以最简公分母 (x - 1)(x + 2),
可得2(x + 2)-(kx + 3)=5(x - 1),
整理可得:(k + 3)x=6.
因为原方程无解,所以需要讨论如下两种情况:
① 当k=- 3时,所得的整 式 方 程为0·x=6,显然方程是无解的,所以原分式方程无解.
② 当k≠- 3时,所得的整式方程有解,且x=6 k + 3为原分式方程的增根,
所以有6 k + 3=1或6 k + 3=-2,
解得k=3或k=- 6.
综上所述,当k=- 3或k=3或k=- 6时,原分式方程无解.
(3)证明:方程两边同乘以最简公分母x(x - 1),
可得x(x - 4t)+4t2 + 2t=x - 1,
整理可得x2 -(4t + 1)x + 4t2 + 2t + 1=0.
因为△=(4t + 1)2 - 4(4t2 + 2t + 1)=-3<0,
所以整理后的方程無实数解,
所以不论实数t 取何值时,原分式方程无实数解.
评注:当分式方程无解时,该分式方程可能有增根,也可能没有增根;当分式方程去分母后所得的整式方程无解时,分式方程一定无解;当分式方程去分母后所得的整式方程为一元二次方程,需要对分式方程的无解、有解以及增根等情况进行探讨,如果该一元二次方程没有实数解,则表明该分式方程无解.
从这两道例题可以看出,分式方程有增根与无解是完全不同的两个概念.分式方程与去分母后得到的整式方程是不等价的,这就是分式方程要验根的重要原因.同学们在解题时要用心区别,仔细辨析,明确其差异,准确把握数学概念,从而提高解分式方程的准确性.