数学求异性思维的发现与探究

刘国林

一次批改中，一道“在 和 之间填入一个分数”的题目，多数同学用通分方法求得：

> ，通分后 > ，推得 > ，找到所填数 ，即 > > 。但偶尔发现一个同学填 >（ ）> 。我问他，他说是把分子相加1+1=2做分子，分母相加2+3=5做分母，得到 > > 的。这样做对吗？于是我用30做公分母，通分验证得到 > > ，可见在 和 之间填 是正确的。而后我又举例验证：在 和 之间填一个分数，使得 >（ ）> ，按上面学生的方法 = ，我把 >（ ）> ，通分验证得出： >（ ）> ，即 >（ ）> 正确。那么这种解法具有可靠性吗？于是我又做了如下推广证明：假设 > （a、b、c、d均为正整数，且a、c不为0），那么 > > 。

证明（1）因为 > （已知），用ac做公分母通分得 > ，推得bc>ad（同分母分数比较大小，分子大的分数值大）；（2）求证 > 是否成立。

证明（2）：将 > 通分得 >

推得b（a+c）>a（b+d）（分母相同，分子大的分数值大），展开后得ab+bc>ab+ad。左右两边同时减去ab推得：bc>ad，这个结果与已知条件推得证明（1）结果相同，证得 > 成立。求证（3） > 是否成立。

证明（3）：将 > ，通分得 > ，

推得：（b+d）c>（a+c）d，展开后得bc+cd>ad+cd （分母相同，分子大的分数大），两边都减去cd推得bc>ad。与证明（1）推得结果相同。

此结论与已知条件推得结果相同，证得 > 成立。所以经证明得知，如果 > （a、b、c、d均为正整数，且a、c不为0），那么 > > 成立。

为此，我确信“在两个不等的分数之间填上一个分数，或几个分数”的题目，不但可以用通分方法解答，还可以用“两个分母和做分母，两个分子和做分子”的方法，写出之间的分数，而且这种方法比通分方法更快捷。

例如：在 与 之间依次填出5个分数

即： > > > > > > 。

但这种方法有局限性，如果在两个不等分数之间填十几个或更多的分数，就不如通分方法快捷了。

如在 和 之間填分数时之间

填1个分数的公分母：6*（1+1）

填2个分数的公分母：6*（1+2）

填3个分数的公分母：6*（1+3）

填n个分数的公分母：6*（1+n）

当 > （a、b、c、d均为正数，a、c互质且均不为0）时，之间

填1个分数的公分母：ac*（1+1）

填2个分数的公分母：ac*（1+2）

填3个分数的公分母：ac*（1+3）

填n个分数的公分母：ac*（1+n）

如在 和 之间依次填出10个分数，用通分的方法就比较快。要填入10个分数，他们的公分母应是2*3（10+1）=66， = ， = .那么在 和 之间填的10个分数依次是 > > > > > > > > > > > .

再如，在 和 之间一次填出100个分数，其中最小的是多少？最大的是多少？利用“分子相加得分子，分母相加得分母”的方法就更难以解决了。而利用通分方法就很容易。方法是所有分数公分母是：2*3*（100+1）=606，

= ， = ，在 和 之间填入100个分数中最小的是 ，最大的是 .

经历批改中的发现和偶得，不仅使我获得学生成长的惊喜，也收获了教学相长的快乐与思考。感谢学生求异性思维的发现与探究。