基于Hammerstein模型的柴油机隔振非线性系统振动分析

肖 斌， 高 超， 李 勇

(东北电力大学 能源与动力工程学院，吉林 132012)

近些年，振动主动控制在理论、技术和方法上均得到长足发展，已在航空航天、船舶、车辆工程等领域得到广泛应用[1]，并在动力装置[2]、设备和结构[3]等减振降噪方面发挥了愈来愈重要的作用。然而，在动力系统中，因主动控制加强耦合作用及打破小振动状况等[4]而产生系统非线性，抑或因设计、选择非线性吸振器、隔振器等[3]而引入系统非线性，使得主动控制误差通道及初级通道的振动传递、响应环节均具有非线性[4-5]。系统非线性，会掩盖系统线性环节结构动力特征，终将影响动力系统的建模、振动分析、控制策略设计的合理和有效性。考虑系统非线性特征进行系统振动分析，对于振动主动控制非线性系统是一个不可回避的问题。

针对系统中存在的非线性，利用神经网络模型[6]、非线性控制模型[7-9]等，通过建立非线性系统预测模型及其优化控制，能够获取系统非线性特征；利用模块化结构非线性模型，例如Hammerstein模型、Wiener模型、Hammerstein-Wiener模型和Wiener-Hammerstein模型[10]，通过非线性系统辨识，能够深入、直接研究系统非线性特征。其中，神经网络模型[6]，具有逼近任意非线性映射的能力，通过预测模型估计系统非线性特征；其它模型的非线性控制，例如状态反馈[7]、鲁棒控制[8]和自适应控制[9]等，在非线性系统线性化过程能够获取系统非线性特征；而Hammerstein模型，其模型结构清晰、参数辨识方法多样，例如过参数化法、子空间法、分离最小二乘法、盲识别法和迭代法等[11]，应用领域广泛，例如非线性系统辨识[12]、信号处理[13]、自适应控制[9]等，能够深刻地描述非线性系统特征[10]。因而，对于纯输入型非线性系统，基于Hammerstein模型的系统辨识是合适的。于是，在获得非线性特征基础上，针对动力系统线性环节，利用试验模态分析方法，借助曲线拟合的模态参数辨识频域方法[14-18]，基于系统频响函数参数估计，获得包括模态频率、振型、阻尼比和参与因子等结构动力特征[14]。这既可准确获取初级通道及误差通道的系统模态参数、振动传递及响应特征，又为振动主动控制优化作动器的位置和确定误差传感器的类型、数量、最佳布置以及最大限度地实现控制策略提供基础。

本文针对在振动主动控制中建立的柴油机隔振非线性系统，考虑误差通道非线性，基于Hammerstein模型建立广义频响函数，以扫频试验数据为基础分析非线性对其振动特性的影响，并获得线性频响函数，最终基于曲线拟合的试验模态分析方法，获取系统结构动力特征，为分析柴油机双层隔振台架的结构动力特征、振动传递特征和响应特征以及实现其有效的振动主动控制奠定基础。

1 柴油机隔振非线性系统

利用实际柴油机作为初级振源，建立柴油机隔振双层隔振系统，进行振动主动控制研究[1]。由于隔振系统存在耦合非线性振动，加之作动器为液压伺服系统，如图1所示，导致振动主动控制误差通道存在严重的纯输入型非线性[4]，构成Hammerstein型非线性系统。

图1 柴油机主动隔振非线性系统结构简图

在图1中，柴油机主动隔振非线性系统，主要由柴油机、测功器和联轴器等组成的柴油机上层质量子系统以及公共支架、隔振器-液压作动器、中间质量、下层质量和基础梁等子系统构成，其主动控制误差通道具有耦合作用，而通过采用四个中间质量块、四个作动器和独立控制通道等措施进行硬件去耦，形成误差通道四个去耦通道[1,4]。

2 Hammerstein模型及曲线拟合技术

2.1 基频谐振广义频响函数

考虑柴油机隔振系统主动控制误差通道为纯输入型非线性系统，其系统模型描述基于Hammerstein模型由多项式微分方程给出，即[8]:

(1)

式中，t为时间，dp为p阶微分算子，ap为p阶输出系数，cn,p1,…,pn为系统非线性输入系数。

利用Volterra级数逼近式(1)，振动分析忽略直流偏移量，通过阶次截断获得非线性系统N阶模型[19]:

yN(t)=

(2)

式中，yN(·)为N阶截断模型时域输出，hn(·)为n阶广义脉冲响应函数,其n维Fourier变换Hn(·)称为n阶广义频响函数。

对式(2)进行Fourier变换得到系统频域表达:

(3)

在式(3)中，当受单频ω={ω1=,…,=ωn}激励时，系统在激励频率上振动响应将受到高阶次广义频响函数作用。于是，对于k=2,3,…，将对基频响应存在作用的n(=2k-1)阶广义频响函数定义为n阶基频谐振广义频响函数，即:

(4)

若单频激励

u(t)=Aicos(ωit+φi)

(5)

式中，Ai、φi、ωi分别为激励幅值、初相位和圆频率。

那么，在单频激励下，非线性系统Hammerstein模型的频域响应为:

(6)

2.2 曲线拟合方法

(7)

针对式(7)，为克服LS估计在低频区间误差缺乏敏感度缺点，Sanathanan和Koerner[15]提出一种多项式参数估计的SK算法，该算法的误差准则和误差向量为:

(8)

WSK算法误差准则和误差向量为[16]:

(9)

基于式(7)，Gauss-Newton算法(GN算法)是一种非线性LS参数估计法，WGN算法的误差准则和误差向量为[16]:

(10)

针对误差向量e，定义Jacobi阵J(i)=∂e(i)/∂θ(i)，给出二次型误差准则，即:

(11)

则对应的参数估计迭代公式为:

J(i)θ(i+1)=J(i)θ(i)-e(i)

(12)

在迭代过程中，例如Mannetje和Whitfield[16]，通过适当选择权函数和松弛因子，能够改善算法收敛性和收敛速度。

根据WSK、WGN算法的误差准则式(11)，需要利用迭代公式(12)估计参数向量θ。对此，Bayard[17]提出LS-TLS算法，在进行估计参数向量θ时，回避了迭代过程。LS-TLS算法利用矩阵QR分解、SVD分解和稀疏矩阵计算等方法，直接实现参数向量的估计，发展了WSK、WGN算法[18]。

在误差准则式(11)中，LS-TLS算法的Jacobi矩阵具有稀疏矩阵结构，即：

(13)

在式(13)中，对其分块矩阵进行QR分解:

Γk=[Qk,Γ1Qk,Γ2][Rk,Γ0]T

(14)

(15)

对矩阵Λ进行QR分解，得

Λ=[QΛ1QΛ2][RΛ0]T

(16)

对矩阵RΛ进行奇异值分解，得

RΛ=U∑VH

(17)

式中，∑=diag(σ1,…,σn+1)，V=[v1,…,vn+1]。

频响函数分母多项式参数向量β，为最小奇异值所对应的特征向量，即

(18)

而频响函数分子多项式参数向量α，能够通过下式给出，即

(19)

式中，y=[…R(Hm)F(Hm)…]T。

综上，式(18)和(19)共同实现式(7)的参数辨识，即:

2.3 系统结构动力参数估计

为辨识系统线性结构动力参数，令s=jω，并忽略剩余模态，(1阶广义)频响函数改写成部分分式格式，即[14]

(20)

式中，pk、φk、Lk分别为第k个极点、模态振型、模态参与因子。

根据式(20)，系统模态频率ωk和阻尼比ζk为[14]

pk=R(pk)+jF(pk)

(21)

ωk=|pk|

(22)

ζk=-R(pk)/ωk

(23)

3 方法的实现

3.1 曲线拟合

针对式(7)，利用曲线拟合技术，通过WSK、WGN和LS-TLS算法进行参数估计，其参数估计过程如图2所示。其中，WSK算法得到线性LS估计解，而WGN算法在WSK算法LS估计的基础上进一步得到全局最优估计，即：

(1) WSK算法迭代过程

为了改善参数估计过程中矩阵计算条件数，利用ωs=(ωmax-ωmin)作为因子对频率轴ω进行无量纲化处理，并通过下式对参数向量进行赋初值，即

θ(0)=[βT,αT]=[1 0 … 0]T

(24)

通过LS-TLS算法对WSK算法求解，迭代过程直至收敛。

(2) WGN算法迭代过程

采用WSK算法迭代结果作为初始值，通过LS-TLS算法对WGN算法求解，迭代过程收敛，算法结束，获得频响函数全局最优的参数辨识结果。

图2 曲线拟合法对(基频谐振广义)频响函数参数估计框图

3.2 基于Hammerstein模型的振动分析

根据式(6)，在单频激励下，Hammerstein模型的基频(激励频率)响应，不仅包含因(1阶广义)频响函数作用产生的响应成分，还包含因基频谐振广义频响函数作用而产生的响应成分。基于单频激励-响应试验数据进行(1阶广义)频响函数参数辨识，需要在基频响应R1(ωi)中剔除掉因基频谐振广义频响函数作用而产生的响应成分。因此基于Hammerstein模型曲线拟合的非线性系统振动分析过程如下：

(2) 计算频域输入Un。

(3) 根据式(6)，在基频响应R1(ωi)中剔除基频谐振广义频响函数的作用，得到系统线性响应。

(4) 基于单频激励-线性响应频响关系，利用曲线拟合技术进行(1阶广义)频响函数参数辨识。

(5) 基于频响函数参数辨识结果，利用式(20)～(23)完成非线性系统的结构振动分析。

4 试验结果及数据分析

在0～100 Hz频段内以间隔2 Hz对柴油机主动隔振系统的误差通道进行扫频试验，获得该非线性系统的模态试验数据。在此基础上，基于Hammerstein模型曲线拟合方法，对柴油机主动隔振非线性系统去耦误差通道的2#通道，进行非线性系统振动分析。

柴油机主动隔振系统误差通道为纯输入型非线性系统，且前5阶非线性为系统包含的主要非线性[4]。因而本文在误差通道2#通道的非线性系统振动分析中采用了5阶非线性Hammerstein模型。

根据式(6)，5阶非线性Hammerstein模型的非线性系统分析，需要第3、5阶基频谐振广义频响函数。因此，利用Hammerstein模型曲线拟合方法，在无量纲频率轴[0 1]上获得第3、5阶基频谐振广义频响函数，其幅频曲线如图3和图4所示。

图3 误差通道2#通道第3阶基频谐振广义频响函数幅频曲线

由图3和图4可知，在约10 Hz(f*=0.1)及以上频段内，系统的第3、5阶基频谐振广义频响函数均具有很大的(≥40 dB)增益值，可见系统第3、5阶非线性是不可忽略的，其存在必然影响系统基频响应。

图5和图6分别给出了(1阶广义)频响函数的幅频和相频曲线。在图5和图6中，H∑,1为忽略系统非线性而直接通过激励-响应试验数据辨识出的频响函数；H1,1为在激励-响应试验数据中剔除第3、5阶基频谐振广义频响函数作用而辨识出的频响函数。

图4 误差通道2#通道第5阶基频谐振广义频响函数幅频曲线

H∑,1—harmonic generalized FRFs;H1,1—Linear FRF

H∑,1—harmonic generalized FRFs;H1,1—Linear FRF

在图5中，在15 Hz(f*=0.15)以下及在30 Hz(f*=0.3)以上的频率范围，H1,1和H∑,1幅频曲线存在一定的差异，而其差异则反映第3、5阶基频谐振广义频响函数对系统振动响应的作用。在图6中，在15 Hz(f*=0.15)以下及在30 Hz(f*=0.3)以上的频率范围，H1,1和H∑,1相频曲线存在明显差异且其相位曲线穿过φ=±90°，这反映第3、5阶基频谐振广义频响函数的作用不仅影响系统振动响应还可能改变系统结构动力特征。可见，第3、5阶非线性的存在不仅影响了振动系统响应还会改变系统的结构动力特征；当系统非线性不可忽略时，利用H1,1较之H∑,1能够获得更可靠的结构动力特征。

在获得(1阶广义)频响函数H1,1基础上，利用曲线拟合技术通过式(21)～(23)估计系统模态参数，然而因中间节点缺失而未能根据式(20)给出模态振型。于是，针对误差通道2#通道，借助模态参数估计稳定图如图7所示，辨识动力系统的固有频率、模态阻尼等结构动力特征(见表1)。

∘—unstable poles;+—stable poles;-—HL FRF curve;OP—the order of characteristic polynomial

表1 误差通道2#通道的模态参数估计结果

a阻尼适当，可靠模态参数

b阻尼过大，过拟合现象

c阻尼过小，过拟合现象

综上所述，利用Hammerstein模型曲线拟合方法，能够消除系统非线性的影响，获得误差通道2#通道可靠的线性结构动力特征，实现了柴油机主动隔振非线性系统的结构振动分析。

5 结 论

在柴油机隔振系统主动控制误差通道2#通道振动分析过程，考虑误差通道纯输入型非线性特征，利用Hammerstein模型曲线拟合方法实现其线性动力系统辨识及模态参数估计，并得到如下一些结论：

(1) 系统非线性存在不仅影响振动系统响应还会改变系统的结构动力特征，而基于Hammerstein模型曲线拟合方法能够消除其在动力系统振动分析的影响。

(2) 曲线拟合技术是一种频域模态参数辨识方法，能够辨识出动力系统可靠的模态参数。

(3) 通过考虑系统非线性，基于Hammerstein模型曲线拟合方法能够获得柴油机主动隔振非线性系统2#通道可靠的线性结构动力特征。

然而，本文提出的非线性系统振动分析方法，仅适用于Hammerstein模型系统，而对于Wiener模型或Hammerstein-Wiener模型的非线性系统的振动分析，仍需进一步开展研究工作。

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