入情入理,自然而然

渠东剑

在2014年“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动(南京赛区)中，笔者观摩了9位青年教师的数学课堂教学，与参赛选手交流，对课堂教学点评，向与会专家请教，受益匪浅。9位青年教师富有朝气、勇于创新的精神，准确把握课标、个性鲜明的教学设计，充满智慧创造、师生共同发展的课堂实践，给笔者留下了深刻的印象。本文，笔者对苏州工业园区星港学校冯丹丹老师的教学设计，结合其课堂教学实践，谈一下个人的体会，与冯老师商讨，与广大同仁交流。

1.自然架设新旧知识的桥梁。

教师立足于本课教学内容，将教材提供的核心问题情境改编成“她本人驾车来南京上课”的背景，显得亲切自然，容易引起学生的共鸣：

“接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，车的里程表显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化……”

针对此问题情境，冯老师设计了一系列有联系且逐层递进的问题，启发引导学生进行深刻的探究：先分析其中的常量、变量，尝试建立这些量之间的关系t=；再分析这样的关系的特征，引导学生自主发现所研究的对象是函数——自然勾起对函数的回忆；在此基础上追问，这是一次函数吗？是正比例函数吗？——这是没有学过的“新”函数——而这样的函数来自于现实生活，值得研究……面对新旧知识的冲突，学生学习的目标选择、主动探究的倾向、学习的动力就自然产生了。

此时，教师再给出一组实际问题，其中的2个问题仍借用“冯老师来南京上课的背景”：

（1）在出发之前，冯老师去加油站把油加满，已知汽车的油箱为50升，路程中平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量Q（升）与行驶路程x（千米）的函数关系式是什么？

（2）汽油每升7.6元，实际加油费用y（元）随加油量x（升）的变化而变化，y与x的函数关系式是什么？

并明确要求学生用“函数关系式”刻画问题中变量之间的关系，学生依次写出关系式：y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=。直接写出函数关系式，一是学生在充分探究上述核心问题（问题一）后已具备完成的条件，二是在已经熟悉的情境中去思考解决新问题，可节约时间成本，使数学活动尽快切入到本课的核心内容上来——抽象概括反比例函数的概念。而对于核心问题情境（问题一）的探究，不惜时间和精力，引导学生从认识变量开始，复习函数的概念，逐步深入，直至得出“产生数学”的结果，足见教师对教学内容认识之深刻，把握之准确，设计之恰当。

2.突出建构新概念的过程。

在教师的引导下，通过“问题解决”，形成了一组对象：

t=，y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=

教师提问：在这些函数关系中，哪些是你已学过的？你对它们有何印象？让学生辨别出其中的正比例函数、一次函数，并简单回顾正比例函数、一次函数的概念。同时，也间接而自然地产生了要研究另一类“不熟悉”的函数的问题。

当学生把熟悉的对象剔除之后，剩下的便是一组“‘大量同类事物的不同例证”了，这正是“概念形成”的基础，但需要引导学生进行充分的数学探究活动。首先，它们值得研究，或者说研究这样的问题有价值——问题均来自于现实生活。其次，怎样研究呢？这类对象的本质是什么？你搞清楚了吗？能说得清吗？——给出它的定义。再次，这一组对象的共同属性是什么？——尝试抽象概括，用文字、符号表征，比较、反思、质疑，把握本质……概念的建构就自然而然地展开了。

从教学实践过程看，教师注重启发引导，让学生独立地思考，充分地交流，鼓励学生大胆尝试，并颇具耐心地等待，努力促进学生的自我领悟。比如，在学生建立概念后，教师让学生再写出类似的例子，让学生自己说说对反比例函数的认识，等等。让学生举例，是概念教学的重要方法，学生能够举出符合概念的特例，可能在一定程度上意味着他对定义的理解，同时，问题又具开放性，能够很好地促进学生的思维发展。

3.注重强化概念的本质属性。

学生深刻理解概念，除了要充分经历概念建立的过程，还要应用概念来思考问题、解决问题。试想，对刚刚建立起来的反比例函数的概念，八年级学生的认识还是肤浅的，甚至某种程度上是表面的、形式上的。需要我们及时跟进，强化对概念的理解。概念的强化一般要从概念辨析、概念应用两个方面，从正反两个角度进行。

针对概念的强化，教师预设了一定数量的问题，让学生通过思考回答问题。例如，让学生主动辨析关系式xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0），=k（k≠0）与反比例函数的关系；给出一组函数关系式，让学生判断它们是否为反比例函数，如是反比例函数，要求确定参数k的值，等等。让学生在比较、辨别、应用的过程中，深化对概念的理解。笔者认为，作为概念课教学，教师对概念的强化，设计是恰当的，实施是有效的。

4.恰当开放学生探究的空间。

本节课在教学设计时重视深化学生的探究活动，精心设计了一些开放性的问题。这些问题对学生有一定的挑战性，但经过努力，或者经过探究交流活动，是能够得到解决的，可谓难度适中；问题紧紧围绕本课核心内容，注重知识的应用，并留有探究的空间，可谓典型恰当。特别是在开放的数学活动过程中，教师的角色定位较为准确：用大量的元认知语言，启发引导学生自主寻找解决问题的办法与思路，留给学生充分的交流展示的时间与空间。从课堂实际过程看，面对开放的问题，学生表现出了积极高涨的学习热情、理性的思考精神、合作交流的学习态度，这无不与教师的恰当设计与悉心引导有关。

例如，让学生写出反比例函数的例子，将反比例函数的概念应用到实际生活中去；要求学生再举出生活中的反比例函数的例子；给出确定的反比例函数模型，让学生构造现实生活的实际情境。“课外延伸”给出了以阿基米德名言“给我一个支点，我能撬起地球”为背景的杠杆原理情境，让学生从中体会反比例函数的应用。课堂上学生举出了很多符合要求的例子：买商品，水池进水，工程问题，行程问题，等等，有些出乎听课教师的意料。学生学习的积极性得以激发，思维得以发展，个性得以张扬，课堂教学取得了令人满意的效果。

整体把握冯老师的教学设计主线，似乎可用如下框图表示：

当然，本节课的教学设计与实施也有可商榷之处。这里，笔者提两点个人思考与冯老师商讨。

其一，反比例函数，既是概念又是数学模型，学习本课的起点是函数概念及正比例函数、一次函数。教学除了传授知识外，让学生经历并学习系统地研究数学对象的方法，对“数学育人”无疑具有重要意义。这就需要在教学过程中，主动复习并借鉴正比例函数、一次函数的研究过程方法，并有意识地让学生意识到研究方法的重要性。但在本课的教学过程中，只复习了函数概念、正比例函数、一次函数等知识，对正比例函数、一次函数研究的方法似乎重视不够，而这正是本课要借鉴的经验与方法。这可能在一定程度上影响了构建前后一致、逻辑连贯的数学学习过程，使本课的思想方法的教学效果打了折扣。回顾初中数学函数的脉络，就是在“变量说”的函数概念的基础上，用一以贯之的研究方法，去研究正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数，达到知识能力螺旋上升的目的，并在研究的过程中，在用研究方法去学习的过程中，去掌握知识、深化理解研究的方法，进而发展学生认知力的。

其二，教师可能认为xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0）是“y是x的反比例函数”的几种等价形式。教材例题“由xy=k（k≠0）所确定的函数”，并没有直接说xy=k（k≠0）是反比例函数。这里用“等价”是否合适？如果可以这样认为，那么在初中阶段，这样的安排是否恰当？怎样认识关系式xy=k（k≠0）？这可能还要回到隐函数来认识。这样看教师的处理也许有值得推敲、改进之处。

（作者系江苏省特级教师，南京市秦淮区教学研究室教研员）

在2014年“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动(南京赛区)中，笔者观摩了9位青年教师的数学课堂教学，与参赛选手交流，对课堂教学点评，向与会专家请教，受益匪浅。9位青年教师富有朝气、勇于创新的精神，准确把握课标、个性鲜明的教学设计，充满智慧创造、师生共同发展的课堂实践，给笔者留下了深刻的印象。本文，笔者对苏州工业园区星港学校冯丹丹老师的教学设计，结合其课堂教学实践，谈一下个人的体会，与冯老师商讨，与广大同仁交流。

1.自然架设新旧知识的桥梁。

教师立足于本课教学内容，将教材提供的核心问题情境改编成“她本人驾车来南京上课”的背景，显得亲切自然，容易引起学生的共鸣：

“接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，车的里程表显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化……”

针对此问题情境，冯老师设计了一系列有联系且逐层递进的问题，启发引导学生进行深刻的探究：先分析其中的常量、变量，尝试建立这些量之间的关系t=；再分析这样的关系的特征，引导学生自主发现所研究的对象是函数——自然勾起对函数的回忆；在此基础上追问，这是一次函数吗？是正比例函数吗？——这是没有学过的“新”函数——而这样的函数来自于现实生活，值得研究……面对新旧知识的冲突，学生学习的目标选择、主动探究的倾向、学习的动力就自然产生了。

此时，教师再给出一组实际问题，其中的2个问题仍借用“冯老师来南京上课的背景”：

（1）在出发之前，冯老师去加油站把油加满，已知汽车的油箱为50升，路程中平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量Q（升）与行驶路程x（千米）的函数关系式是什么？

（2）汽油每升7.6元，实际加油费用y（元）随加油量x（升）的变化而变化，y与x的函数关系式是什么？

并明确要求学生用“函数关系式”刻画问题中变量之间的关系，学生依次写出关系式：y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=。直接写出函数关系式，一是学生在充分探究上述核心问题（问题一）后已具备完成的条件，二是在已经熟悉的情境中去思考解决新问题，可节约时间成本，使数学活动尽快切入到本课的核心内容上来——抽象概括反比例函数的概念。而对于核心问题情境（问题一）的探究，不惜时间和精力，引导学生从认识变量开始，复习函数的概念，逐步深入，直至得出“产生数学”的结果，足见教师对教学内容认识之深刻，把握之准确，设计之恰当。

2.突出建构新概念的过程。

在教师的引导下，通过“问题解决”，形成了一组对象：

t=，y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=

教师提问：在这些函数关系中，哪些是你已学过的？你对它们有何印象？让学生辨别出其中的正比例函数、一次函数，并简单回顾正比例函数、一次函数的概念。同时，也间接而自然地产生了要研究另一类“不熟悉”的函数的问题。

当学生把熟悉的对象剔除之后，剩下的便是一组“‘大量同类事物的不同例证”了，这正是“概念形成”的基础，但需要引导学生进行充分的数学探究活动。首先，它们值得研究，或者说研究这样的问题有价值——问题均来自于现实生活。其次，怎样研究呢？这类对象的本质是什么？你搞清楚了吗？能说得清吗？——给出它的定义。再次，这一组对象的共同属性是什么？——尝试抽象概括，用文字、符号表征，比较、反思、质疑，把握本质……概念的建构就自然而然地展开了。

从教学实践过程看，教师注重启发引导，让学生独立地思考，充分地交流，鼓励学生大胆尝试，并颇具耐心地等待，努力促进学生的自我领悟。比如，在学生建立概念后，教师让学生再写出类似的例子，让学生自己说说对反比例函数的认识，等等。让学生举例，是概念教学的重要方法，学生能够举出符合概念的特例，可能在一定程度上意味着他对定义的理解，同时，问题又具开放性，能够很好地促进学生的思维发展。

3.注重强化概念的本质属性。

学生深刻理解概念，除了要充分经历概念建立的过程，还要应用概念来思考问题、解决问题。试想，对刚刚建立起来的反比例函数的概念，八年级学生的认识还是肤浅的，甚至某种程度上是表面的、形式上的。需要我们及时跟进，强化对概念的理解。概念的强化一般要从概念辨析、概念应用两个方面，从正反两个角度进行。

针对概念的强化，教师预设了一定数量的问题，让学生通过思考回答问题。例如，让学生主动辨析关系式xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0），=k（k≠0）与反比例函数的关系；给出一组函数关系式，让学生判断它们是否为反比例函数，如是反比例函数，要求确定参数k的值，等等。让学生在比较、辨别、应用的过程中，深化对概念的理解。笔者认为，作为概念课教学，教师对概念的强化，设计是恰当的，实施是有效的。

4.恰当开放学生探究的空间。

本节课在教学设计时重视深化学生的探究活动，精心设计了一些开放性的问题。这些问题对学生有一定的挑战性，但经过努力，或者经过探究交流活动，是能够得到解决的，可谓难度适中；问题紧紧围绕本课核心内容，注重知识的应用，并留有探究的空间，可谓典型恰当。特别是在开放的数学活动过程中，教师的角色定位较为准确：用大量的元认知语言，启发引导学生自主寻找解决问题的办法与思路，留给学生充分的交流展示的时间与空间。从课堂实际过程看，面对开放的问题，学生表现出了积极高涨的学习热情、理性的思考精神、合作交流的学习态度，这无不与教师的恰当设计与悉心引导有关。

例如，让学生写出反比例函数的例子，将反比例函数的概念应用到实际生活中去；要求学生再举出生活中的反比例函数的例子；给出确定的反比例函数模型，让学生构造现实生活的实际情境。“课外延伸”给出了以阿基米德名言“给我一个支点，我能撬起地球”为背景的杠杆原理情境，让学生从中体会反比例函数的应用。课堂上学生举出了很多符合要求的例子：买商品，水池进水，工程问题，行程问题，等等，有些出乎听课教师的意料。学生学习的积极性得以激发，思维得以发展，个性得以张扬，课堂教学取得了令人满意的效果。

整体把握冯老师的教学设计主线，似乎可用如下框图表示：

当然，本节课的教学设计与实施也有可商榷之处。这里，笔者提两点个人思考与冯老师商讨。

其一，反比例函数，既是概念又是数学模型，学习本课的起点是函数概念及正比例函数、一次函数。教学除了传授知识外，让学生经历并学习系统地研究数学对象的方法，对“数学育人”无疑具有重要意义。这就需要在教学过程中，主动复习并借鉴正比例函数、一次函数的研究过程方法，并有意识地让学生意识到研究方法的重要性。但在本课的教学过程中，只复习了函数概念、正比例函数、一次函数等知识，对正比例函数、一次函数研究的方法似乎重视不够，而这正是本课要借鉴的经验与方法。这可能在一定程度上影响了构建前后一致、逻辑连贯的数学学习过程，使本课的思想方法的教学效果打了折扣。回顾初中数学函数的脉络，就是在“变量说”的函数概念的基础上，用一以贯之的研究方法，去研究正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数，达到知识能力螺旋上升的目的，并在研究的过程中，在用研究方法去学习的过程中，去掌握知识、深化理解研究的方法，进而发展学生认知力的。

其二，教师可能认为xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0）是“y是x的反比例函数”的几种等价形式。教材例题“由xy=k（k≠0）所确定的函数”，并没有直接说xy=k（k≠0）是反比例函数。这里用“等价”是否合适？如果可以这样认为，那么在初中阶段，这样的安排是否恰当？怎样认识关系式xy=k（k≠0）？这可能还要回到隐函数来认识。这样看教师的处理也许有值得推敲、改进之处。

（作者系江苏省特级教师，南京市秦淮区教学研究室教研员）

在2014年“杏坛杯”苏派青年教师课堂教学展评活动(南京赛区)中，笔者观摩了9位青年教师的数学课堂教学，与参赛选手交流，对课堂教学点评，向与会专家请教，受益匪浅。9位青年教师富有朝气、勇于创新的精神，准确把握课标、个性鲜明的教学设计，充满智慧创造、师生共同发展的课堂实践，给笔者留下了深刻的印象。本文，笔者对苏州工业园区星港学校冯丹丹老师的教学设计，结合其课堂教学实践，谈一下个人的体会，与冯老师商讨，与广大同仁交流。

1.自然架设新旧知识的桥梁。

教师立足于本课教学内容，将教材提供的核心问题情境改编成“她本人驾车来南京上课”的背景，显得亲切自然，容易引起学生的共鸣：

“接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，车的里程表显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化……”

针对此问题情境，冯老师设计了一系列有联系且逐层递进的问题，启发引导学生进行深刻的探究：先分析其中的常量、变量，尝试建立这些量之间的关系t=；再分析这样的关系的特征，引导学生自主发现所研究的对象是函数——自然勾起对函数的回忆；在此基础上追问，这是一次函数吗？是正比例函数吗？——这是没有学过的“新”函数——而这样的函数来自于现实生活，值得研究……面对新旧知识的冲突，学生学习的目标选择、主动探究的倾向、学习的动力就自然产生了。

此时，教师再给出一组实际问题，其中的2个问题仍借用“冯老师来南京上课的背景”：

（1）在出发之前，冯老师去加油站把油加满，已知汽车的油箱为50升，路程中平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量Q（升）与行驶路程x（千米）的函数关系式是什么？

（2）汽油每升7.6元，实际加油费用y（元）随加油量x（升）的变化而变化，y与x的函数关系式是什么？

并明确要求学生用“函数关系式”刻画问题中变量之间的关系，学生依次写出关系式：y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=。直接写出函数关系式，一是学生在充分探究上述核心问题（问题一）后已具备完成的条件，二是在已经熟悉的情境中去思考解决新问题，可节约时间成本，使数学活动尽快切入到本课的核心内容上来——抽象概括反比例函数的概念。而对于核心问题情境（问题一）的探究，不惜时间和精力，引导学生从认识变量开始，复习函数的概念，逐步深入，直至得出“产生数学”的结果，足见教师对教学内容认识之深刻，把握之准确，设计之恰当。

2.突出建构新概念的过程。

在教师的引导下，通过“问题解决”，形成了一组对象：

t=，y=7.6x，Q=50-0.1x，y=，m=

教师提问：在这些函数关系中，哪些是你已学过的？你对它们有何印象？让学生辨别出其中的正比例函数、一次函数，并简单回顾正比例函数、一次函数的概念。同时，也间接而自然地产生了要研究另一类“不熟悉”的函数的问题。

当学生把熟悉的对象剔除之后，剩下的便是一组“‘大量同类事物的不同例证”了，这正是“概念形成”的基础，但需要引导学生进行充分的数学探究活动。首先，它们值得研究，或者说研究这样的问题有价值——问题均来自于现实生活。其次，怎样研究呢？这类对象的本质是什么？你搞清楚了吗？能说得清吗？——给出它的定义。再次，这一组对象的共同属性是什么？——尝试抽象概括，用文字、符号表征，比较、反思、质疑，把握本质……概念的建构就自然而然地展开了。

从教学实践过程看，教师注重启发引导，让学生独立地思考，充分地交流，鼓励学生大胆尝试，并颇具耐心地等待，努力促进学生的自我领悟。比如，在学生建立概念后，教师让学生再写出类似的例子，让学生自己说说对反比例函数的认识，等等。让学生举例，是概念教学的重要方法，学生能够举出符合概念的特例，可能在一定程度上意味着他对定义的理解，同时，问题又具开放性，能够很好地促进学生的思维发展。

3.注重强化概念的本质属性。

学生深刻理解概念，除了要充分经历概念建立的过程，还要应用概念来思考问题、解决问题。试想，对刚刚建立起来的反比例函数的概念，八年级学生的认识还是肤浅的，甚至某种程度上是表面的、形式上的。需要我们及时跟进，强化对概念的理解。概念的强化一般要从概念辨析、概念应用两个方面，从正反两个角度进行。

针对概念的强化，教师预设了一定数量的问题，让学生通过思考回答问题。例如，让学生主动辨析关系式xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0），=k（k≠0）与反比例函数的关系；给出一组函数关系式，让学生判断它们是否为反比例函数，如是反比例函数，要求确定参数k的值，等等。让学生在比较、辨别、应用的过程中，深化对概念的理解。笔者认为，作为概念课教学，教师对概念的强化，设计是恰当的，实施是有效的。

4.恰当开放学生探究的空间。

本节课在教学设计时重视深化学生的探究活动，精心设计了一些开放性的问题。这些问题对学生有一定的挑战性，但经过努力，或者经过探究交流活动，是能够得到解决的，可谓难度适中；问题紧紧围绕本课核心内容，注重知识的应用，并留有探究的空间，可谓典型恰当。特别是在开放的数学活动过程中，教师的角色定位较为准确：用大量的元认知语言，启发引导学生自主寻找解决问题的办法与思路，留给学生充分的交流展示的时间与空间。从课堂实际过程看，面对开放的问题，学生表现出了积极高涨的学习热情、理性的思考精神、合作交流的学习态度，这无不与教师的恰当设计与悉心引导有关。

例如，让学生写出反比例函数的例子，将反比例函数的概念应用到实际生活中去；要求学生再举出生活中的反比例函数的例子；给出确定的反比例函数模型，让学生构造现实生活的实际情境。“课外延伸”给出了以阿基米德名言“给我一个支点，我能撬起地球”为背景的杠杆原理情境，让学生从中体会反比例函数的应用。课堂上学生举出了很多符合要求的例子：买商品，水池进水，工程问题，行程问题，等等，有些出乎听课教师的意料。学生学习的积极性得以激发，思维得以发展，个性得以张扬，课堂教学取得了令人满意的效果。

整体把握冯老师的教学设计主线，似乎可用如下框图表示：

当然，本节课的教学设计与实施也有可商榷之处。这里，笔者提两点个人思考与冯老师商讨。

其一，反比例函数，既是概念又是数学模型，学习本课的起点是函数概念及正比例函数、一次函数。教学除了传授知识外，让学生经历并学习系统地研究数学对象的方法，对“数学育人”无疑具有重要意义。这就需要在教学过程中，主动复习并借鉴正比例函数、一次函数的研究过程方法，并有意识地让学生意识到研究方法的重要性。但在本课的教学过程中，只复习了函数概念、正比例函数、一次函数等知识，对正比例函数、一次函数研究的方法似乎重视不够，而这正是本课要借鉴的经验与方法。这可能在一定程度上影响了构建前后一致、逻辑连贯的数学学习过程，使本课的思想方法的教学效果打了折扣。回顾初中数学函数的脉络，就是在“变量说”的函数概念的基础上，用一以贯之的研究方法，去研究正比例函数、一次函数、反比例函数、二次函数，达到知识能力螺旋上升的目的，并在研究的过程中，在用研究方法去学习的过程中，去掌握知识、深化理解研究的方法，进而发展学生认知力的。

其二，教师可能认为xy=k（k≠0），y=kx-1（k≠0）是“y是x的反比例函数”的几种等价形式。教材例题“由xy=k（k≠0）所确定的函数”，并没有直接说xy=k（k≠0）是反比例函数。这里用“等价”是否合适？如果可以这样认为，那么在初中阶段，这样的安排是否恰当？怎样认识关系式xy=k（k≠0）？这可能还要回到隐函数来认识。这样看教师的处理也许有值得推敲、改进之处。

（作者系江苏省特级教师，南京市秦淮区教学研究室教研员）