授人以鱼,不如授之以渔

王洁

【设计说明】

本节课的教学内容是苏教版高中《数学》“必修五”中基本不等式的应用。本节课书本上总共4个例题，教参上安排了3课时。

例1：用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？

例2：某工厂要建造一个长方形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低造价为多少元？

例3：过点（1，2）的直线l与x轴的正半轴、y轴的正半轴分别交于A，B两点，当△AOB的面积最小时，求直线l的方程。

例4：一份印刷品的排版面积（矩形）为A，它的两边都留有宽为a的空白，顶部和底部都留有宽为b的空白，如何选择纸张的尺寸，才能使纸的用量最少？

例1是已知两数的和为定值求积的最大值的问题，例2是已知两正数积为定值求和的最小值的问题，这两题难度不大，是应用基本不等式解决实际问题的两种基本类型,是本节课要涉及的内容。由于学生在学习基本不等式前没有学过解析几何，所以例3不考虑在本节课讲。例4要求较高，在基本不等式应用的首节课也不打算涉及。本节课的教学重点到底是在建模还是在运用基本不等式解决函数的最值问题？这是我开始准备这节课时一个困惑的地方。我在了解了学生的情况后知道，学生刚刚学习了一节基本不等式证明，运用基本不等式是一节新课，于是确定重点、难点应在运用基本不等式求解函数的最值问题上，实际上这是一个载体，应该让学生初步体会应用题的解题思想方法和步骤。

出于以上考虑我定下了教案初稿。

例1：用长为4a的铁丝围成一个矩形，怎样才能使所围矩形的面积最大？（周长相等的矩形，面积相等吗？哪个面积最大？）

变式1：某小型家禽养殖场主拟用36m篱笆围一个养殖场，为了避免混养，要用篱笆在里面搭建隔断，为使得养殖场总面积最大，应如何设计这个矩形的长和宽？

（设计意图：在和不是定值的情况下，如何经过配凑可以使用基本不等式解决。）

变式2：假设现在篱笆足够多，要建造一个面积为100m2的养殖场，应如何设计矩形的长和宽使得所用篱笆最少？

（设计意图：基本不等式的另一种应用，积定和最小。）

思考：在实际问题中会有什么限制呢？可能由于场地的限制，养殖场的宽最大为6m，又应如何设计？

（设计意图:强调定义域，同时强调基本不等式等号不能漏。）

变式3：如图1，ABCD是周长为24的矩形，AB>AD，△AB′C是以对角线为轴的△ABC的轴对称图形，B′A与DC交于点P，求△APD面积的最大值。

（设计意图:此题也是讨论周长为定值的矩形中的一些最值问题，考虑到学生基础较好，担心简单的问题他们“吃不饱”，于是准备了此题在建模和求函数最值上有一定的难度，可以调动起学生的积极性。）

经过试上一节课后，发现这样安排有一些不足：

1.这节课是基本不等式应用的首节课，我没有理清楚，通过这节课我到底要让学生明白什么？目的不明确是上不好课的。我的教学目标是应用基本不等式解决简单的实际问题，重点是基本不等式，而不是建模。显然，变式3情境过于复杂，没有必要，引导的方向不对，把重心放在建立模型上去了，这不是这节课的教学任务。

2.由于最后一个问题有难度，所以显得课堂容量过大，对前面几个简单问题，好的学生很快就能得出结论，草草总结，学生的思维过程没有被挖掘出来，对于问题背后的知识方法没有讲透，更没有达到我的教学目的。

于是总结经验后我又重新备课。

首先创设情境：前几天带学生学农看到很多美丽的菜园，如何用一定长度的篱笆围成一个矩形菜园使得面积最大？让学生知道数学和实际生活密不可分，激发学生的学习热情。

让学生自己解答情境中的问题也就是书本例1，除了书上的解法，学生更可能会用其他解法，由他们自己选择解法，然后根据学生的解法进行必要的讨论，这样有利于提高学生活动的积极性。大部分学生首先想到的一定是建立二次函数，指出定义域，然后配方求解。在评价时提问，能够运用刚学习过的基本不等式知识求解吗？如果已经有人用基本不等式做了，要追问是怎么想到的。

让学生自己尝试用基本不等式求解，并向学生追问：为什么可以这样做？为什么9就是最大值呢？（这个很重要！≤=9的意义是不论左边的x取条件范围中的什么数，这个不等式总成立），需要注意什么？（比如条件是两个正数——关注范围已在其中、和是定值、等号要成立。）有的学生会设两个变量，让学生初步感受在学习了基本不等式以后可以建立二元函数，求得最值，最后让学生自己小结解决问题的基本步骤。

例1完成后加上一个变式，通过变化两数使之满足基本不等式运用的条件，促使学生深刻认识理解基本不等式使用的条件。如果说上题学生的解法比较单一，没有设二元的想法，此题学生在思考时思路就更加宽阔了，有不少人发现了设两个变量的好处，会有不同的解法。让学生体会配凑的思想，掌握使用基本不等式求最值的问题的形式。

然后，可以让学生互相编一道题：“你能编一道乘积是定值的题吗？那条件是什么？要求什么？怎么做？依据是什么？”让学生自己编题可以让学生熟悉基本不等式的应用，尤其是使学生更好地把握基本不等式的本质特征，以及基本不等式使用的条件。

在编题时学生想法可能比较单一，就是把例1的条件结论调换一下，这时候我给出书本上的例2，可以让学生在这个类型的问题上打开思路。

最后引导学生总结基本不等式求函数最值问题的方法要点以及解决实际问题的基本步骤。

基本不等式的应用新课的教学一定要重视挖掘思想方法，思想、方法在哪里？在过程中。把思维过程体现出来，把作用发挥出来。不能图快，不要图多，要讲透，把基本过程弄清楚，重视过程而不仅仅是结果。

【课例呈现】

一、教学目标

1.进一步掌握基本不等式≤（a≥0，b≥0）。

2.会应用基本不等式解决一些简单的实际问题。

二、教学重点和难点

正确运用基本不等式求解最值问题。

三、教学过程

教学情境：数学在我们生活中无处不在，前几天带学生学农时看到很多美丽的菜园，在这些菜园中就蕴含了很多有趣的数学问题。

【问题1】用长为4a的篱笆围成一个矩形菜园ABCD，怎样设计才能使所围的菜园面积最大？（四名学生用四种方法解答了此题，教师板书。）

解法一：设矩形一边AB=x（0

则BC=2a-x，矩形面积为S=x（2a-x），

且x>0，2a-x>0。

由基本不等式，得≤=a

当且仅当x=2a-x，即x=a时，取“=”。

由此可知，当x=a时，S取最大值a2。

答：将菜地围成正方形时面积最大，最大面积是a2。

解法二：S=x（2a-x），0

S=x（2a-x）≤［］2=a2，当且仅当x=2a-x，即x=a时，取“=”（下面的解答同“解法一”）

解法三：S=x（2a-x），0

S=x（2a-x）

=-x2+2ax

=-（x-a）2+a2≤a2。（配方法）（下面的解答同“解法一”）

解法四：设矩形的长为x，宽为y（x>0，y>0），

则2x+2y=4a，即x+y=2a，

面积S=xy≤（）2=a2

当且仅当x=y=a时取到“=”，∴Smax=a2

【师生讨论】

1.在解题中使用的是什么数学工具？

2.基本不等式是哪个式子？你能描述这个式子吗？（可以加深学生对基本不等式的记忆。）

3.你怎么想到这个方法的？这个式子使用的时候要注意什么？（强调基本不等式的使用条件，了解何时能取等号。）