让概念教学中的提问更有效

冯丹丹

【设计说明】

本节课内容是《反比例函数》起始课，属于一节概念新授课，教材为苏教版《数学》八年级下册第11章反比例函数第一课时。本课教材从已有的小学知识“两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例”出发，设问：成反比例的两个量之间的关系，怎么用函数表达式来描述？于是引出操作题：南京与上海相距约300km，一辆汽车从南京出发，以速度v（km/h）开往上海，全程所用时间t（h）。写出t、v的关系式，并填写下表：

随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？时间t是速度v的函数吗？

教材给出了一组对应关系，从对应关系的表达式找共同特征得出反比例函数的定义。

我在设计时考虑，既不能脱离教材，又要结合实际，因此对操作题进行改编作为课题情境导入。本节课是学生在学习了一次函数以及特例正比例函数后，又一次进入函数领域对函数再认识的过程，学生的学习既区别于一次函数，又建立在一次函数的学习基础之上，因此起始课对函数概念的回顾就很有必要，在教学方法上可以采取回忆得出一次函数的过程的方法。但是用什么样的方式让学生能回忆起函数的抽象概念并能总结出反比例函数的概念，是笔者在教学设计时遇到的最大困难。很显然教师直接给出定义并不合适，这样不能让学生真正体会反比例函数的意义。我认为，本节课的重点是进行抽象反比例函数的概念的教学，进而理解反比例函数的概念，难点同样是理解反比例函数的概念。

【初稿设计】

介于上述考虑，笔者首先给出教学设计初稿。

情境导入1：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，据了解走沪宁高速平均速度为100km/h，行驶的路程s（km）随时间t（h）的变化而变化。

问题1：此题中常量是什么？变量是什么？

问题2：变量s与时间t的关系式是什么？s是t的函数。（s=100t）

问题3：回忆什么是函数？

情境导入2：在出发前，冯老师去加油站把油加满，已知汽车的油箱为50升，路程中平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量y（升）随行驶里程x（公里）的变化而变化，y与x的函数关系式是什么？

情境导入3：从苏州到南京，汽车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化，t与v的函数关系式是什么？

结合教材实例列出4个函数关系式。

思考：上述函数表达式中哪些是已学的函数，分别是什么函数？一般式是什么？

讨论：剩下的几个函数有什么共同特征？（此处安排学生讨论，教师总结学生讨论结果）

至此，得出课题反比例函数。在得出课题后与学生一起总结反比例函数的一般式以及完整定义。（中间略）在一些概念习题后讲解了待定系数法，并做相应练习，最后总结。

针对初稿设计，我试上了一节课，通过学生表现发现这样的设计存在很大的问题。

（1）由于没有任何铺垫，在给出“情境导入1”中的一个正比例函数s=100t就让学生回答什么是函数，学生基本一无所知，一来因为函数知识的学习已经过了一个学期，间隔较长。二来函数概念本来就过于抽象，与学生学情不符，此处耗时较长。

（2）讨论问题问学生剩下几个函数有什么共同特征？问题太大，没有针对性，学生不知道从哪个方面来回答，给出的答案与教师预设相去较远，远离了本课教学目标。教师解释也很困难。

（3）习题部分过多讨论了待定系数法，题目偏难，学生做起来很困难。导致最后重点偏离，难点没有突破。

【改进后的设计】

经过了并不成功的试上课后，听取了听课教师的意见，我又仔细阅读了教材，中间听了一节本校小学部六年级的《认识反比例关系》的随堂课，深受启发。小学教师更注重对学生提问的引导，将问题分得很细，很有针对性，一节课解决的问题不多，但是基本上学生在上完一节课后能对本课的重点有一个深刻的印象。同时也发现了中小学教材在衔接上存在一些不同步，导致学生进入初中在学习函数关系的时候已经对比例关系有所淡忘。因此我在重新设计的时候有了新的想法，将小学的比例关系融合到本课的概念的抽象部分，试图通过正反比例关系来认识正反比例函数，在改进后的备课中也更好地使用了教材上的表格操作题，对教学设计作了如下的修改。

情境导入：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化。

问题1：这里有几个量？常量是什么？变量是什么？

问题2：你能用含有v的代数式表示t吗？（t=）

问题3：利用问题2中的关系式补全下表中的t（表格中给出两个t的数值是为了不让学生在计算上浪费时间）。

问题4：随着平均速度v的增加，全程所用时间t 发生了怎样的变化？

问题5：给定变量v的值，t都有唯一确定的值与它对应吗？

问题6：时间t是速度v的函数吗?为什么？

问题7：时间t是速度v的一次函数吗？

通过一个情境和一组问题，复习函数概念，区别于设计初稿中由一个关系式直接问函数概念，此处把问题细化，每个问题学生都很容易回答，设置问题串的目的主要为问题6做铺垫，在问题中感受函数定义中的三个要素：两个变量；一种变化关系；对一个变量，另一个变量有唯一确定的值与之对应。

情境引入后，紧接着再给出4个生活实例要求学生列出函数关系式，其中两题承接情境引入形成一个完整的情境设计，分别列出一个一次函数和一个一次函数特例正比例函数。另两题均为反比例函数，一题是以图表形式呈现，避免函数表现形式过于单一，一题是利用书本例子，使得函数表达式中的k出现负值，而更完整。

通过5个函数表达式的展示，请学生找出已学过的函数，并写出一般式。然后观察剩下的三个表达式，请学生先从形式上找它们的共同点并结合已学过的函数的一般式总结这些新的函数的一般式。通过展示的一次函数和正比例函数的一般式学生更容易通过对比写出新的一般式。

接着留下正比例函数和新写的函数一般式，让学生回忆小学学过的两个量之间的比例关系，说出正比例函数中两个变量成什么比例关系，并且成这样的比例关系的两个量之间什么是一定的。通过填空的形式学生更易回答。紧接着问新的函数关系的两个变量什么是一定的，成什么比例。学生很容易回答上来。这样的设计既回顾了小学比例关系，又与本课密切相关，抽象解释出概念的过程，自然又有效。

在得出概念及符号表达式后，总结注意点，并结合式子变形，得出反比例函数的另外两个表现形式。然后给出例1：下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？如果是，比例系数k是多少？

（1）y= （2）y=- （3）y=1-x（4）y=-（5）y=（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

此题设计中预计学生会在判断（2）的比例系数k上出现问题，另外可能会在（8）的判断中忘记k≠0的要求而判断错误。因此在讲解此题的时候可以考虑由学生独立完成，学生逐一回答，并建议学生在判断是否反比例函数的时候尽量往三个表达式的不同形式上靠，在学生出现错误的时候及时纠正。

训练可以让学生对反比例函数概念的判断、对函数表达式的几种不同形式有更深刻的印象。

在（8）出现错误时可引出：

如果函数y=为反比例函数，求函数的解析式。随后增加学生练习：当m取什么值时，函数y=（m+1）xm-2是反比例函数？

例2以教师讲解为主，板书规范书写格式。巩固练习让学生上黑板板书。之后设计4个简单的课堂反馈练习，目的是实时检测课堂效果。

在练习了较多数学题目后，重新回到生活中的数学，给出一个实例：要建造一个面积为260m2的三角形花坛，底边长是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函数么？（此题的判断需要学生对列出的式子进行简单的变形变为反比例函数的一般形式来判断，从中希望能让学生再一次深化理解：当两个变量的乘积是一定不为零的常数时是反比例函数。）

实例后增加两个变形：1.如果花坛是一个等腰三角形，周长是300m，底边长为a（m），腰为b（m），那么a是b的反比例函数么？2.如果花坛是一个等边三角形，周长C（m）是边长a（m）的反比例函数么？通过反例进一步让学生学会判断一个函数是否是反比例函数。

然后可以让学生根据生活实例去编题，让同伴判断是否是反比例函数，既可以加深学生对反比例函数概念的理解，又可以在学生学到疲倦的时候再次活跃课堂气氛。

最后引导学生总结本节课所学内容，并留下课后思考题，做到将本节课的知识迁移到别的学科，注重学科之间的结合。我改进后的设计去掉了待定系数法，使得本课的目标更明确，放弃了难题的训练，更注重对于抽象概念的教学过程，舍得在抽象概念教学过程中花时间，让更多学生参与其中，避免了教师教的痕迹，设计问题更具针对性，注重启发学生思考。情境设计虽贴近生活实际，但密切联系数学问题，避免了学生回答脱离预设想法。

【课例呈现】

一、教学目标

1.理解反比例函数的概念。

2.能根据实际问题的条件确定反比例函数的表达式。

3.会判断一个给定的函数是否为反比例函数。

4.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会认识反比例函数是刻画现实世界特定数量关系的一种数学模型，进一步深化理解函数的概念。

二、教学重点难点

重点是经过抽象反比例函数概念的教学过程，理解反比例函数的概念。

难点是领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。

三、教学过程

（一）创设情境，激发热情

【问题1】师：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，路上遇到一些问题，正好与本课所学内容相关，同学们愿意帮助老师一起来解决这些问题么？

生（众）：愿意。

师：那就让我们一起开始一段短暂的旅行吧。

PPT显示引例：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化。

师：这里有几个量？常量是什么？变量是什么？

生1：3个，常量是200，变量是时间t和速度v。

师：你能用含有v的代数式表示t吗？

生2：t=。

师：非常好，那么请同学顺着这位同学的回答来帮老师填写完整下表。

学生完成，生3回答。

师：随着平均速度v的增加，全程所用时间t发生了怎样的变化？

生4：速度v变大，时间t变小（小学里对反比例关系的变量间的关系表述，这里没有刻意去研究k的符号问题，仅仅让学生有一种反比的感受）。

师：给定变量v的值，变量t都有唯一确定的值与它对应吗？

生（众）：是的。

师：时间t是速度v的函数吗？为什么？（特意在上个问题的引导下去问函数的抽象定义，为了使得学生体会一一对应的关系）

生5：是的，因为t是随着v的变化而变化的，并且它们之间是一一对应的关系。（学生虽然不能完整叙述定义，但是基本能说出几个要点。）

教师展示完整答案：因为在这个变化中，有两个变量v和t，给定变量v的值，变量t都有唯一确定的值与它对应，所以t是v的函数。

（因为有一组问题的引导，生5回答的时候答出了两个变量之间满足函数关系必须要有一一对应的关系。这也是函数概念中比较抽象、学生易忘记的地方。教师在学生回答完后展示完整答案并强调注意点是有必要的，视觉的感受会比听觉更直接更深刻。）

师：时间t是速度v的一次函数吗?

生6：不是，因为不符合一次函数的表达式。

师：很好，我们的现实生活中存在许许多多的变量，而函数是刻画变量之间关系的一种有效数学模型，下面请同学帮老师再来写写生活中不同的函数关系式。（此时并没有着急提问这是什么函数？而是另外给出一系列的生活场景，让学生进一步感受函数在生活中的意义。）

【问题2】用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系。

（1）在出发之前，冯老师去加油站把油加满，已知汽车的油箱为50升，路程中平均每千米耗油量为0.1升，写出油箱中剩余的油量Q（升）与行驶路程x（千米）的函数关系式。

（2）油每升7.6元，实际加油费用y（元）随加油量x（升）的变化而变化，写出y与x的函数关系式。

（3）把一张百元人民币兑换成零钱，如果手边有10元、5元、20元等不同面值的零钱，兑换的张数y随面额x的变化而变化，写出y与x的函数关系式。

（4）实数m与n的积为-150，写出m与n的函数关系式。

（二）合作交流，探求新知

师：t=、y=7.6x、Q=50-0.1x、y=、m=中哪些是我们学过的函数？它们是什么函数？

生7：y=7.6x、Q=50-0.1x是我们学过的一次函数。

师追问：一次函数的表达式是什么？

生7：y=kx+b（k为常数，k≠0）。

师：y=7.6x还被称作什么函数？

生7：正比例函数。

师：正比例函数的一般式是什么呢？

生7：y=kx+b（k为常数，k≠0）。

师：很好，正比例函数是一次函数y=kx+b当b=0时的特殊形式。那么请同学们观察剩下的几个函数表达式，从形式上看有什么共同特征？可以与你的同伴讨论一下。

众生讨论，教师参与。（在给出了一次函数及特殊情况正比例函数的表达式后，让学生类比一次函数先从形式上来认识反比例函数）

生8：我认为剩下的几个函数从形式上看左边都是一个变量，右边都是一个分式。并且分式的分母是一个变量，分子是常数。

师：非常好，还有同学补充么？

生9：我认为等式左边是因变量，等式右边的字母是自变量，并且自变量在分母上，所以不能取0。

师：很好，那你能模仿一次函数还有正比例函数的表达式，给具有共同特征的函数写个一般式么？

生9：我认为一般式可以写成y=。

师：非常好，那么我们看看一次函数的k有什么要求，再看看这个函数里的k有什么要求？

生9：k是常数且k≠0。

师（PPT展示，板书修改完整表达式）：很好，在大家的帮助下，我们得到了新的函数的表达式，我们再一起仔细来看一下正比例函数和这个新函数的表达式，（此时PPT擦去y=kx+b，仅留下y=kx和y=的表达式以及相关的4个函数表达式），请同学们回忆小学学过的比例关系，想想看在这两个表达式中，两个变量都成什么比例关系？

学案呈现回忆小学学过的比例关系（学生一边接受教师的提问，一边对照学案的填空，回答更有针对性）

两个量的一定，这两个量成比例。

两个量的一定，这两个量成 比例。

生10：在正比例函数中，两个变量是成正比例的。

师追问：那么成正比例关系的两个量什么是一定的？

生10：这两个量的比值是一定的。

师：太棒了，这位同学对小学知识掌握得很好。那么再请一位同学说说看，符合y=函数特征的两个变量成什么比例关系？

生11：成反比例关系。

师追问：满足什么一定关系的两个变量成反比例关系？

生11：这两个变量的乘积是一定的。

师：很好，那么如果要你们给这些函数取个名称的话可以叫什么呢？

生（众）：反比例函数（到这里本课的概念部分全部引出，基本上是学生思考、讨论、探索自主得出。）

师板书课题《11.1反比例函数》，与学生一起填写完整反比例函数概念。

新授概念：形如的函数叫做函数，其中x是量，y是x的，k是。

【阶段小结】反比例函数的定义中，有两点要注意：

①k≠0，②x≠0（两个不为零）

利用所学知识，对于y=（k≠0）可变形为下列哪些形式。

①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）

【阶段小结】y是x的反比例函数的几种等价形式:

y=（k≠0）

一般形式

（三）例题讲解，理解概念

师：我们知道了什么是反比例函数，那么同学们能从下面这些函数中找出反比例函数么？

例1：下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？如果是，比例系数k是多少？

（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2

（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

学生练习，教师巡视。请学生逐一回答。

生12：我认为（1）中y是x的反比例函数。

师：好的，请说出比例系数k。

生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不确定k是多少。

师：（2）中的k不太好找，不如我们从反比例函数的一般式来看，我们可以把（2）写成y=-×（板书）请你接着写写一般形式。

生12：y=

师：那此时你能看出k是多少么？

生12：k=-。

师：很好，当我们不能很容易看出k时，不如把函数写成反比例函数的一般形式再来找k。

生13：（4）（7）也是，k分别是-2和3。

师：好的，请问（4）（7）分别是反比例函数的哪种表达形式？

生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。

师：非常好，还有反比例函数么？

生13：我认为（8）也是，比例系数是a。（此时出现预设的错误，并且下面学生在窃窃私语。）

师：老师好像听到有不同意见，请有不同意见的同学来说说看。

生14：我认为（8）不是，因为没有强调k≠0。

师：非常好，这位同学考虑得很细致，的确，在判断的时候一定要注意比例系数k必须不为0。

（另外对学生不太理解的（7）也作适当的讲解。）

【阶段小结】我们在判断一个函数关系式是否是反比例函数的时候，可以尽可能地往三种不同表达形式上去靠，或者通过公式变形去靠近反比例函数的一般形式，这样更容易找出k的值。

例2：如果函数y=为反比例函数，求函数的解析式。

教师板书解题过程：

解：由题意得：2k+5=1

k+1≠0，解得：k=-2

k≠-1，∴k=-2。

∴反比例函数的解析式是y=。

【小结】做此类题目，把所有满足的条件都用式子表示出来，解出答案代入原式，不要误将这里的k当成比例系数k。

【巩固练习】当m取什么值时，函数y=（m+1）xm-2是反比例函数？（学生板书，答案正确，格式规范。）

（四）课堂反馈，实时检测

1.下列函数：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函数的有（填序号）。

2.y是x的反比例函数，比例系数k是-，则y与x的反比例函数关系式是 。

3.已知y=-3xm-7是正比例函数，则m=_______，若是反比例函数，则m=_______。

4.若函数y=（m-3）x是反比例函数，则m=。

（五）合作交流，数学应用

师：我们做了一些题目，巩固了反比例函数的概念，再来看看所学反比例函数在我们生活中的应用。

【问题】要建造一个面积为260m2的三角形花坛，底边长是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函数么？（此处图略）

生解答：S=ah=260

∴ah=520

∴h=

因为符合反比例函数的一般形式，所以h是a的反比例函数。

师：很好，所以我们在判断两个变量是否是反比例函数时，有两种方法，一是看表达式，二是看两个变量的乘积是否是一个不为零的常数。再看看下面题目的两个变形。

1.如果花坛是一个等腰三角形，周长是300m，底边长为a（m），腰为b（m），那么a是b的反比例函数么？

2.如果花坛是一个等边三角形，周长C（m）是边长a （m）的反比例函数么？

师：你还能举出生活中反比例函数的例子吗？与同伴交流一下。

（六）反思总结，共同提高

1.引导学生说出反比例函数概念的注意点，并注重与生活实例的结合。

2.引导学生归纳知识、掌握类比正比例函数、总结研究函数的一般方式，为接下来的函数图像学习奠定基础。

（七）课后探索，知识迁移

背景知识讲解：杠杆原理

动力×动力臂=阻力×阻力臂

如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm。设动力为y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计。杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）。

（1）求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗?如果是，请说出比例系数；

（2）求当x=50时函数y的值，并说明这个值的实际意义；

（3）利用y与x的解析式说明当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请学生猜想一下。

想一想：如果动力臂缩小到原来的1/n时，动力将有怎样的变化。

【教学反思】

在整节的设计过程中，我通过多次反复磨课修改，发现整节课的难点在于对概念的生成，因为课堂教学是一个动态生成的过程，学生随时会有与施教者预定设计相背离的“意外”出现，因而整节课如何设计有效的问题很重要，施教者有必要引导学生不背离本节课的核心。问题是数学的心脏，是思维的起点，本课的设问主要从引导性问题、探究性问题、巩固性问题着手，力求遵循学生认知特点和学习规律，达成有效的学习目标。另外我认为在平时的教学中，教师不应仅仅关注本课的知识点，应该多了解、多联系学生情况，若能结合他们已有知识甚至小学的基础知识，或者更多地了解他们进入高中以后这部分知识所占的地位来备课，或许能对学生这门学科的生成性学习起到一个很好的推动作用。

本课没有在题目难度上为难学生，作为一节起始课，没有必要设置太难的题目，而是更多地让学生打开思维，用类比正比例函数的定义给出一般式的特征等方式来学习反比例函数，让学生能通过一节课学会某种数学思想和数学方法。学生经历主动探索的过程并从中收获知识是能增强他们学习数学的自信的。

实际教学过程中，学生基础较好，思维活跃，这也为较好地完成教学目标起到了一个关键作用，我基本按照预设完成，学生也能自然得出反比例函数概念，但是在时间的把控上还存在一些遗憾，最后设计的活跃课堂部分因时间关系仅仅是分享了一部分的实例，并没有做到正反比例对比都能举例。

（作者单位：江苏省苏州工业园区星港学校）

生（众）：反比例函数（到这里本课的概念部分全部引出，基本上是学生思考、讨论、探索自主得出。）

师板书课题《11.1反比例函数》，与学生一起填写完整反比例函数概念。

新授概念：形如的函数叫做函数，其中x是量，y是x的，k是。

【阶段小结】反比例函数的定义中，有两点要注意：

①k≠0，②x≠0（两个不为零）

利用所学知识，对于y=（k≠0）可变形为下列哪些形式。

①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）

【阶段小结】y是x的反比例函数的几种等价形式:

y=（k≠0）

一般形式

（三）例题讲解，理解概念

师：我们知道了什么是反比例函数，那么同学们能从下面这些函数中找出反比例函数么？

例1：下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？如果是，比例系数k是多少？

（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2

（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

学生练习，教师巡视。请学生逐一回答。

生12：我认为（1）中y是x的反比例函数。

师：好的，请说出比例系数k。

生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不确定k是多少。

师：（2）中的k不太好找，不如我们从反比例函数的一般式来看，我们可以把（2）写成y=-×（板书）请你接着写写一般形式。

生12：y=

师：那此时你能看出k是多少么？

生12：k=-。

师：很好，当我们不能很容易看出k时，不如把函数写成反比例函数的一般形式再来找k。

生13：（4）（7）也是，k分别是-2和3。

师：好的，请问（4）（7）分别是反比例函数的哪种表达形式？

生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。

师：非常好，还有反比例函数么？

生13：我认为（8）也是，比例系数是a。（此时出现预设的错误，并且下面学生在窃窃私语。）

师：老师好像听到有不同意见，请有不同意见的同学来说说看。

生14：我认为（8）不是，因为没有强调k≠0。

师：非常好，这位同学考虑得很细致，的确，在判断的时候一定要注意比例系数k必须不为0。

（另外对学生不太理解的（7）也作适当的讲解。）

【阶段小结】我们在判断一个函数关系式是否是反比例函数的时候，可以尽可能地往三种不同表达形式上去靠，或者通过公式变形去靠近反比例函数的一般形式，这样更容易找出k的值。

例2：如果函数y=为反比例函数，求函数的解析式。

教师板书解题过程：

解：由题意得：2k+5=1

k+1≠0，解得：k=-2

k≠-1，∴k=-2。

∴反比例函数的解析式是y=。

【小结】做此类题目，把所有满足的条件都用式子表示出来，解出答案代入原式，不要误将这里的k当成比例系数k。

【巩固练习】当m取什么值时，函数y=（m+1）xm-2是反比例函数？（学生板书，答案正确，格式规范。）

（四）课堂反馈，实时检测

1.下列函数：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函数的有（填序号）。

2.y是x的反比例函数，比例系数k是-，则y与x的反比例函数关系式是 。

3.已知y=-3xm-7是正比例函数，则m=_______，若是反比例函数，则m=_______。

4.若函数y=（m-3）x是反比例函数，则m=。

（五）合作交流，数学应用

师：我们做了一些题目，巩固了反比例函数的概念，再来看看所学反比例函数在我们生活中的应用。

【问题】要建造一个面积为260m2的三角形花坛，底边长是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函数么？（此处图略）

生解答：S=ah=260

∴ah=520

∴h=

因为符合反比例函数的一般形式，所以h是a的反比例函数。

师：很好，所以我们在判断两个变量是否是反比例函数时，有两种方法，一是看表达式，二是看两个变量的乘积是否是一个不为零的常数。再看看下面题目的两个变形。

1.如果花坛是一个等腰三角形，周长是300m，底边长为a（m），腰为b（m），那么a是b的反比例函数么？

2.如果花坛是一个等边三角形，周长C（m）是边长a （m）的反比例函数么？

师：你还能举出生活中反比例函数的例子吗？与同伴交流一下。

（六）反思总结，共同提高

1.引导学生说出反比例函数概念的注意点，并注重与生活实例的结合。

2.引导学生归纳知识、掌握类比正比例函数、总结研究函数的一般方式，为接下来的函数图像学习奠定基础。

（七）课后探索，知识迁移

背景知识讲解：杠杆原理

动力×动力臂=阻力×阻力臂

如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm。设动力为y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计。杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）。

（1）求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗?如果是，请说出比例系数；

（2）求当x=50时函数y的值，并说明这个值的实际意义；

（3）利用y与x的解析式说明当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请学生猜想一下。

想一想：如果动力臂缩小到原来的1/n时，动力将有怎样的变化。

【教学反思】

在整节的设计过程中，我通过多次反复磨课修改，发现整节课的难点在于对概念的生成，因为课堂教学是一个动态生成的过程，学生随时会有与施教者预定设计相背离的“意外”出现，因而整节课如何设计有效的问题很重要，施教者有必要引导学生不背离本节课的核心。问题是数学的心脏，是思维的起点，本课的设问主要从引导性问题、探究性问题、巩固性问题着手，力求遵循学生认知特点和学习规律，达成有效的学习目标。另外我认为在平时的教学中，教师不应仅仅关注本课的知识点，应该多了解、多联系学生情况，若能结合他们已有知识甚至小学的基础知识，或者更多地了解他们进入高中以后这部分知识所占的地位来备课，或许能对学生这门学科的生成性学习起到一个很好的推动作用。

本课没有在题目难度上为难学生，作为一节起始课，没有必要设置太难的题目，而是更多地让学生打开思维，用类比正比例函数的定义给出一般式的特征等方式来学习反比例函数，让学生能通过一节课学会某种数学思想和数学方法。学生经历主动探索的过程并从中收获知识是能增强他们学习数学的自信的。

实际教学过程中，学生基础较好，思维活跃，这也为较好地完成教学目标起到了一个关键作用，我基本按照预设完成，学生也能自然得出反比例函数概念，但是在时间的把控上还存在一些遗憾，最后设计的活跃课堂部分因时间关系仅仅是分享了一部分的实例，并没有做到正反比例对比都能举例。

（作者单位：江苏省苏州工业园区星港学校）

生（众）：反比例函数（到这里本课的概念部分全部引出，基本上是学生思考、讨论、探索自主得出。）

师板书课题《11.1反比例函数》，与学生一起填写完整反比例函数概念。

新授概念：形如的函数叫做函数，其中x是量，y是x的，k是。

【阶段小结】反比例函数的定义中，有两点要注意：

①k≠0，②x≠0（两个不为零）

利用所学知识，对于y=（k≠0）可变形为下列哪些形式。

①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）

【阶段小结】y是x的反比例函数的几种等价形式:

y=（k≠0）

一般形式

（三）例题讲解，理解概念

师：我们知道了什么是反比例函数，那么同学们能从下面这些函数中找出反比例函数么？

例1：下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？如果是，比例系数k是多少？

（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2

（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=

学生练习，教师巡视。请学生逐一回答。

生12：我认为（1）中y是x的反比例函数。

师：好的，请说出比例系数k。

生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不确定k是多少。

师：（2）中的k不太好找，不如我们从反比例函数的一般式来看，我们可以把（2）写成y=-×（板书）请你接着写写一般形式。

生12：y=

师：那此时你能看出k是多少么？

生12：k=-。

师：很好，当我们不能很容易看出k时，不如把函数写成反比例函数的一般形式再来找k。

生13：（4）（7）也是，k分别是-2和3。

师：好的，请问（4）（7）分别是反比例函数的哪种表达形式？

生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。

师：非常好，还有反比例函数么？

生13：我认为（8）也是，比例系数是a。（此时出现预设的错误，并且下面学生在窃窃私语。）

师：老师好像听到有不同意见，请有不同意见的同学来说说看。

生14：我认为（8）不是，因为没有强调k≠0。

师：非常好，这位同学考虑得很细致，的确，在判断的时候一定要注意比例系数k必须不为0。

（另外对学生不太理解的（7）也作适当的讲解。）

【阶段小结】我们在判断一个函数关系式是否是反比例函数的时候，可以尽可能地往三种不同表达形式上去靠，或者通过公式变形去靠近反比例函数的一般形式，这样更容易找出k的值。

例2：如果函数y=为反比例函数，求函数的解析式。

教师板书解题过程：

解：由题意得：2k+5=1

k+1≠0，解得：k=-2

k≠-1，∴k=-2。

∴反比例函数的解析式是y=。

【小结】做此类题目，把所有满足的条件都用式子表示出来，解出答案代入原式，不要误将这里的k当成比例系数k。

【巩固练习】当m取什么值时，函数y=（m+1）xm-2是反比例函数？（学生板书，答案正确，格式规范。）

（四）课堂反馈，实时检测

1.下列函数：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函数的有（填序号）。

2.y是x的反比例函数，比例系数k是-，则y与x的反比例函数关系式是 。

3.已知y=-3xm-7是正比例函数，则m=_______，若是反比例函数，则m=_______。

4.若函数y=（m-3）x是反比例函数，则m=。

（五）合作交流，数学应用

师：我们做了一些题目，巩固了反比例函数的概念，再来看看所学反比例函数在我们生活中的应用。

【问题】要建造一个面积为260m2的三角形花坛，底边长是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函数么？（此处图略）

生解答：S=ah=260

∴ah=520

∴h=

因为符合反比例函数的一般形式，所以h是a的反比例函数。

师：很好，所以我们在判断两个变量是否是反比例函数时，有两种方法，一是看表达式，二是看两个变量的乘积是否是一个不为零的常数。再看看下面题目的两个变形。

1.如果花坛是一个等腰三角形，周长是300m，底边长为a（m），腰为b（m），那么a是b的反比例函数么？

2.如果花坛是一个等边三角形，周长C（m）是边长a （m）的反比例函数么？

师：你还能举出生活中反比例函数的例子吗？与同伴交流一下。

（六）反思总结，共同提高

1.引导学生说出反比例函数概念的注意点，并注重与生活实例的结合。

2.引导学生归纳知识、掌握类比正比例函数、总结研究函数的一般方式，为接下来的函数图像学习奠定基础。

（七）课后探索，知识迁移

背景知识讲解：杠杆原理

动力×动力臂=阻力×阻力臂

如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm。设动力为y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计。杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）。

（1）求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗?如果是，请说出比例系数；

（2）求当x=50时函数y的值，并说明这个值的实际意义；

（3）利用y与x的解析式说明当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请学生猜想一下。

想一想：如果动力臂缩小到原来的1/n时，动力将有怎样的变化。

【教学反思】

在整节的设计过程中，我通过多次反复磨课修改，发现整节课的难点在于对概念的生成，因为课堂教学是一个动态生成的过程，学生随时会有与施教者预定设计相背离的“意外”出现，因而整节课如何设计有效的问题很重要，施教者有必要引导学生不背离本节课的核心。问题是数学的心脏，是思维的起点，本课的设问主要从引导性问题、探究性问题、巩固性问题着手，力求遵循学生认知特点和学习规律，达成有效的学习目标。另外我认为在平时的教学中，教师不应仅仅关注本课的知识点，应该多了解、多联系学生情况，若能结合他们已有知识甚至小学的基础知识，或者更多地了解他们进入高中以后这部分知识所占的地位来备课，或许能对学生这门学科的生成性学习起到一个很好的推动作用。

本课没有在题目难度上为难学生，作为一节起始课，没有必要设置太难的题目，而是更多地让学生打开思维，用类比正比例函数的定义给出一般式的特征等方式来学习反比例函数，让学生能通过一节课学会某种数学思想和数学方法。学生经历主动探索的过程并从中收获知识是能增强他们学习数学的自信的。

实际教学过程中，学生基础较好，思维活跃，这也为较好地完成教学目标起到了一个关键作用，我基本按照预设完成，学生也能自然得出反比例函数概念，但是在时间的把控上还存在一些遗憾，最后设计的活跃课堂部分因时间关系仅仅是分享了一部分的实例，并没有做到正反比例对比都能举例。

（作者单位：江苏省苏州工业园区星港学校）