情境“串”起来 数学“活”起来

洪鑫

一、设计说明

本节课书本上总共4个例题,教参上安排了3课时。其中三个例题难度不大，是应用基本不等式解决实际问题的两种基本类型，是本节课要涉及的内容。有一个例题可能要利用相似三角形来列式，并用基本不等式来解决。当时在初次备课时，最让我困惑的是如何将这4条例题在一个情境中展现给学生。经过多次的修改和考虑，我作了如下设计。

“在一块空地上，首先围成一个周长为30000的长方形空地，怎么围面积最大？然后，在空地中间建造一个大型的荷花池，面积一定，怎么设计造价最低？紧接着在荷花池周围造路，问如何设计路宽，使得占地最少？最后，在广场的左下角，有一棵古树，我们准备沿着它建一条直线型的景观带，问如何设计，使得围成的三角形面积最小？”这样设计，就很自然地将4个例题“无缝对接”好了。

二、学情分析

1.通过前面几节的学习，学生对不等式有了初步的了解，基本能建立函数、方程及不等式之间的关系。

2.对基本不等式的前提及取等号的条件应该是学生面临的主要问题。

3.具备“通过观察、操作并抽象概括等活动获得数学结论”的体会，有一定的抽象概括能力和数学建模能力及合情推理归纳能力。

三、教学目标

1.知识与技能。

学生在学会推导并掌握基本不等式、理解几何意义、掌握不等式成立的条件基础上，进一步掌握基本不等式≤（a≥0，b≥0）；会应用此不等式求某些函数的最值；能用基本不等式解决一些简单的实际问题。

2.过程与方法。

通过实例探究抽象基本不等式；通过4个例题的研究，掌握基本不等式≤（a≥0，b≥0），并会用基本不等式求某些简单函数的最大值、最小值。

3.情态与价值。

通过本节课的学习，体会数学基本不等式的工具性，以及与其他知识点的联系，提高学习数学的兴趣。发展创新精神，培养实事求是、处理问题从大局入手的科学态度。

四、教学重点和难点

1.教学重点。

掌握基本不等式≤（a≥0，b≥0），会用基本不等式求某些简单函数的最值。

2.教学难点。

利用基本不等式≤（a≥0，b≥0）求最大值、最小值时所需要注意的要求。

五、教学策略选择与设计

1.教学导图。

给出设计方案——引出基本不等式——强调基本不等式的三个注意点——课堂练习——课后作业

2.教法。

引导探究法，本节课的教学设计意在让学生通过对基本不等式应用的学习，自主探索与合作交流获得新知。所以, 在教学过程中，安排学生完整经历“思考——解答——归纳”的数学思维过程，结合多媒体及相关的实例达到让学生掌握基本不等式简单应用的目的。让学生在独立思考的基础上进行交流活动，并注重推理能力的培养。

3.学法。

自主探究、合作交流。

六、教学环境及资源准备

1.多媒体教室。

2.彩色粉笔。

七、教学过程

（一）给出整个文化长廊的设计方案

【设计意图】通过介绍整个设计方案，首先让学生对整节课构建一个总体的框架，然后提出问题，如何能够用基本不等式进行简单的证明和求值，让学生对问题产生兴趣，从而达到“凝神、点题”的作用。

（二）新课讲解

问题1:已知矩形文化长廊的周长为480米，怎样设计它的长和宽，使得所围成的矩形面积最大？

【设计意图】通过这个问题的设置，让学生很自然地进入到课本的例1情境，根据所学的二次函数的知识可以很快得到解答。

解答：设长为x米，宽为（240-x）米，则

S=x（240-x），0

S=x（240-x）

=-x2+240x

=-（x-120）2+1202≤1202（配方法）

答：将空地围成正方形时面积最大，最大面积是14400平方米。

问题2：已知长方体荷花池的容积为4800立方米,深为3米，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，问怎样设计荷花池能使总造价最低，最低总造价是多少元？

【设计意图】通过这个问题的设置，让学生自己体会基本不等式的作用，使运用基本不等式求最值变得自然，不僵化，使学生更加容易接受。

这个荷花池造价的数学表达式是什么？怎么写？池底造价的数学表达式是什么？

已知水池容积为4800m3深为3m，则水池的底面积为1600m2，水池底造价为240000元；池壁造价的数学表达式是什么？

设水池宽为xm，则水池壁造价为720（x+）元；

水池总造价为F=240000+720（x+）。

解：设水池底面一边的长度为xm，水池的总造价为F元，根据题意，得F=240000+720（x+）≥240000+720×2=240000+720×2×40=297600，当x=，即x=40时，F有最小值297600。

因此，当水池的底面是边长为40m的正方形时，水池的总造价最低，最低总造价是297600元。

当学生在求水池总造价的最小值时，将会很自然地使用基本不等式，此时，教师将抛出下一个问题。

问题3：请问，用基本不等式求最小值时要注意什么？

【设计意图】通过这个问题的设置，让学生充分地思考基本不等式的三大使用条件（一正，二定，三相等），学生也将很快得到结论：

（1）已知两个正数x，y，如果积xy是定值p，那么当且仅当x=y时，和x+y有最小值是2（简单记为：“积定和最小”）。

问题4：刚才的问题1是否也可以用基本不等式来解决？

设矩形一边AB=x（00，240-x>0。由基本不等式，得≤=120，当且仅当x=240-x，即x=120时，取“=”。

由此可知，当x=120时，S取最大值1202。

答：将空地围成正方形时面积最大，最大面积是1202。

【设计意图】通过这个问题的设置，让学生开始尝试使用基本不等式，当遇到求x（240-x）的最大值时，教师将继续抛出问题：为什么这时又可以用基本不等式？学生将很快发现结论：

（2）已知两个正数x，y，如果和x+y是定值s，那么当且仅当x=y时，积xy有最大值是（简单记为：“和定积最大”）。

从上面一般性的结论中，让大家仔细观察。

问题5：大家从中能得出用基本不等式求最值的要求吗？

【设计意图】从问题自然地过渡到本节课的重点——应用基本不等式求最值的讲解。从问题出发, 营造教学环境，引导学生进行探究性学习。进而由学生回答总结给出基本不等式求最值过程中三个条件，简单记为：“一正，二定，三相等。”合情合理，让学生容易接受。

问题6：已知长方体荷花池的容积为4800立方米，深为3米，根据需要，荷花池的左右两边都留有宽为2米的路，顶部和底部都留有宽为4.5米的路（如图），如何规划荷花池的尺寸，才能使总占地面积最少？

【设计意图】通过这个问题的设置，让学生进入到课本的例4情境，设荷花池的长为x，宽为，运用基本不等式，很自然地可以解决问题。最后，教师可以反问学生：此题我们可否设两个未知数？从而引导学生进入二元函数的情境，更加深入地理解“乘积为定值，和有最小值”。

问题7：长廊内左下角E点处有一棵古树，点E距AB、AD边的距离分别为20米、10米，过E点修一条直线型的景观带，问怎样设计，才能使得三角形AFG面积最小？

【设计意图】通过这个问题的设置，让学生进入到课本的例3情境，可以通过直线的相关知识解答，也可通过设边长，用相似三角形来解决，甚至可以通过设角来作答，但最终都要通过基本不等式来完成最后的解答。让学生更加深刻地认识到基本不等式的使用条件。

（三）课堂小结

利用基本不等式求函数最值时，必须满足三条:

一正，二定，三相等。即：

（1）x，y都是正数。

（2）积xy（或和x+y）是定值。

（3）x与y必须能够相等。

（四）课后作业

课本第101页习题第3、4两题。

八、教学反思

新的教育改革正在蓬勃开展，新课程理念也逐渐深入人心。传统的课堂教学模式是把教学活动的性质框定在“特殊认识活动”的范围内，上课变成是执行教案的过程，教师讲，学生听，采用“满堂灌”的教法，这样不仅导致课堂教学沉闷，而且抑制了学生的创新潜能。教师“以纲为纲，以本为本”的课堂教学模式已不适应新理念下的教学，更不可能完全有效地实现教学目标。面对新课程，我紧密围绕新课程理念，按照新的数学课程标准，突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，让不同的学生得到不同的发展。

（一）教学目标

1.知识与技能。

通过本节课的学习，绝大多数学生会应用此不等式求某些函数的最值；能用基本不等式解决一些简单的实际问题。

2.过程与方法。

通过对课本4个例题的研究，深刻体会了运用基本不等式求某些简单函数的最大值、最小值时的三个注意条件。

3.情态与价值。

通过本节课的学习，让学生体会数学基本不等式的工具性，以及与其他知识点的联系，提高学习数学的兴趣，同时发展创新精神，培养实事求是、处理问题从大局入手的科学态度。本节课我利用多媒体辅助教学，在教学过程中面向全体学生，我主要起组织者、指导者、帮助者和促进者的作用，利用情境、协作、会话等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和创新精神，最终圆满地完成了教学任务。

（二）教学过程

在本节课教学中，我摆脱了教师讲、学生听、“满堂灌”的传统教法，通过创设情景，采用引导探究的教学方法，注重合情推理能力的培养。特别注意安排学生经历“思考——解答——归纳”的数学思维过程，让学生通过对基本不等式应用的学习，自主探索与合作交流获得新知。结合多媒体及相关的实例达到让学生掌握基本不等式简单应用的目的。结果表明，这样的教学方式，学生的学习积极性很高，课堂上学生在不停地动手、动脑，大脑始终处于兴奋状态，积极思考，回答问题，课堂气氛活跃，教学取得了满意的效果。

（三）教学方法

主要采用建构主义学习理论提倡的学习方法，通过创设情景，引导学生进入情景、独立探索、合作学习， 最后进行评价。在过程中，不断对学生给予鼓励和提示，利用情境、协作、会话等学习环境充分发挥学生的主动性、积极性和创新精神。实践表明，采用这样的教学方法，最终达到了掌握当前所学知识的目的。

（四）学生评价

通过对学生的调查了解，学生不但对基本不定式的应用有了深刻的理解，而且通过多媒体、动手体验解题过程，体会到解决问题给自己带来的快乐，提高了学习数学的兴趣，比以前的传统教学更加形象、易懂。学生认为通过自己动手、思考、共同探索得出的结论，记忆更加深刻。总之，课堂教学中将自己的想法和“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标充分融入教学中，“以知识为载体，以思维为主线”，展现知识的发生和形成过程。采取以学生发展为本，明确本课的学习目标，以学习任务驱动为方式，穿插研究性教学尝试，体现了“学生是学习主体，教师是引导者、参与者、组织者、合作者”的新课程理念。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于培养学生的实践能力和创新意识的。实现了教学目标，优化了整个教学。但是，在教学中还有很多不足，在以后的教学中将继续努力，不断总结经验教训，为高中数学教育作出贡献。

（作者单位：江苏省靖江市第一高级中学）

（三）课堂小结

利用基本不等式求函数最值时，必须满足三条:

一正，二定，三相等。即：

（1）x，y都是正数。

（2）积xy（或和x+y）是定值。

（3）x与y必须能够相等。

（四）课后作业

课本第101页习题第3、4两题。

八、教学反思

新的教育改革正在蓬勃开展，新课程理念也逐渐深入人心。传统的课堂教学模式是把教学活动的性质框定在“特殊认识活动”的范围内，上课变成是执行教案的过程，教师讲，学生听，采用“满堂灌”的教法，这样不仅导致课堂教学沉闷，而且抑制了学生的创新潜能。教师“以纲为纲，以本为本”的课堂教学模式已不适应新理念下的教学，更不可能完全有效地实现教学目标。面对新课程，我紧密围绕新课程理念，按照新的数学课程标准，突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，让不同的学生得到不同的发展。

（一）教学目标

1.知识与技能。

通过本节课的学习，绝大多数学生会应用此不等式求某些函数的最值；能用基本不等式解决一些简单的实际问题。

2.过程与方法。

通过对课本4个例题的研究，深刻体会了运用基本不等式求某些简单函数的最大值、最小值时的三个注意条件。

3.情态与价值。

通过本节课的学习，让学生体会数学基本不等式的工具性，以及与其他知识点的联系，提高学习数学的兴趣，同时发展创新精神，培养实事求是、处理问题从大局入手的科学态度。本节课我利用多媒体辅助教学，在教学过程中面向全体学生，我主要起组织者、指导者、帮助者和促进者的作用，利用情境、协作、会话等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和创新精神，最终圆满地完成了教学任务。

（二）教学过程

在本节课教学中，我摆脱了教师讲、学生听、“满堂灌”的传统教法，通过创设情景，采用引导探究的教学方法，注重合情推理能力的培养。特别注意安排学生经历“思考——解答——归纳”的数学思维过程，让学生通过对基本不等式应用的学习，自主探索与合作交流获得新知。结合多媒体及相关的实例达到让学生掌握基本不等式简单应用的目的。结果表明，这样的教学方式，学生的学习积极性很高，课堂上学生在不停地动手、动脑，大脑始终处于兴奋状态，积极思考，回答问题，课堂气氛活跃，教学取得了满意的效果。

（三）教学方法

主要采用建构主义学习理论提倡的学习方法，通过创设情景，引导学生进入情景、独立探索、合作学习， 最后进行评价。在过程中，不断对学生给予鼓励和提示，利用情境、协作、会话等学习环境充分发挥学生的主动性、积极性和创新精神。实践表明，采用这样的教学方法，最终达到了掌握当前所学知识的目的。

（四）学生评价

通过对学生的调查了解，学生不但对基本不定式的应用有了深刻的理解，而且通过多媒体、动手体验解题过程，体会到解决问题给自己带来的快乐，提高了学习数学的兴趣，比以前的传统教学更加形象、易懂。学生认为通过自己动手、思考、共同探索得出的结论，记忆更加深刻。总之，课堂教学中将自己的想法和“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标充分融入教学中，“以知识为载体，以思维为主线”，展现知识的发生和形成过程。采取以学生发展为本，明确本课的学习目标，以学习任务驱动为方式，穿插研究性教学尝试，体现了“学生是学习主体，教师是引导者、参与者、组织者、合作者”的新课程理念。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于培养学生的实践能力和创新意识的。实现了教学目标，优化了整个教学。但是，在教学中还有很多不足，在以后的教学中将继续努力，不断总结经验教训，为高中数学教育作出贡献。

（作者单位：江苏省靖江市第一高级中学）

（三）课堂小结

利用基本不等式求函数最值时，必须满足三条:

一正，二定，三相等。即：

（1）x，y都是正数。

（2）积xy（或和x+y）是定值。

（3）x与y必须能够相等。

（四）课后作业

课本第101页习题第3、4两题。

八、教学反思

新的教育改革正在蓬勃开展，新课程理念也逐渐深入人心。传统的课堂教学模式是把教学活动的性质框定在“特殊认识活动”的范围内，上课变成是执行教案的过程，教师讲，学生听，采用“满堂灌”的教法，这样不仅导致课堂教学沉闷，而且抑制了学生的创新潜能。教师“以纲为纲，以本为本”的课堂教学模式已不适应新理念下的教学，更不可能完全有效地实现教学目标。面对新课程，我紧密围绕新课程理念，按照新的数学课程标准，突出体现基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，让不同的学生得到不同的发展。

（一）教学目标

1.知识与技能。

通过本节课的学习，绝大多数学生会应用此不等式求某些函数的最值；能用基本不等式解决一些简单的实际问题。

2.过程与方法。

通过对课本4个例题的研究，深刻体会了运用基本不等式求某些简单函数的最大值、最小值时的三个注意条件。

3.情态与价值。

通过本节课的学习，让学生体会数学基本不等式的工具性，以及与其他知识点的联系，提高学习数学的兴趣，同时发展创新精神，培养实事求是、处理问题从大局入手的科学态度。本节课我利用多媒体辅助教学，在教学过程中面向全体学生，我主要起组织者、指导者、帮助者和促进者的作用，利用情境、协作、会话等学习环境要素充分发挥学生的主动性、积极性和创新精神，最终圆满地完成了教学任务。

（二）教学过程

在本节课教学中，我摆脱了教师讲、学生听、“满堂灌”的传统教法，通过创设情景，采用引导探究的教学方法，注重合情推理能力的培养。特别注意安排学生经历“思考——解答——归纳”的数学思维过程，让学生通过对基本不等式应用的学习，自主探索与合作交流获得新知。结合多媒体及相关的实例达到让学生掌握基本不等式简单应用的目的。结果表明，这样的教学方式，学生的学习积极性很高，课堂上学生在不停地动手、动脑，大脑始终处于兴奋状态，积极思考，回答问题，课堂气氛活跃，教学取得了满意的效果。

（三）教学方法

主要采用建构主义学习理论提倡的学习方法，通过创设情景，引导学生进入情景、独立探索、合作学习， 最后进行评价。在过程中，不断对学生给予鼓励和提示，利用情境、协作、会话等学习环境充分发挥学生的主动性、积极性和创新精神。实践表明，采用这样的教学方法，最终达到了掌握当前所学知识的目的。

（四）学生评价

通过对学生的调查了解，学生不但对基本不定式的应用有了深刻的理解，而且通过多媒体、动手体验解题过程，体会到解决问题给自己带来的快乐，提高了学习数学的兴趣，比以前的传统教学更加形象、易懂。学生认为通过自己动手、思考、共同探索得出的结论，记忆更加深刻。总之，课堂教学中将自己的想法和“知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观”三维目标充分融入教学中，“以知识为载体，以思维为主线”，展现知识的发生和形成过程。采取以学生发展为本，明确本课的学习目标，以学习任务驱动为方式，穿插研究性教学尝试，体现了“学生是学习主体，教师是引导者、参与者、组织者、合作者”的新课程理念。有利于改变学生的学习方式，有利于学生自主探究，有利于培养学生的实践能力和创新意识的。实现了教学目标，优化了整个教学。但是，在教学中还有很多不足，在以后的教学中将继续努力，不断总结经验教训，为高中数学教育作出贡献。

（作者单位：江苏省靖江市第一高级中学）