《球面上的基本图形》教学设计

刘婷+杨军

摘 要： 本文为《普通高中数学课程标准（实验）》选修系列3中的专题《球面上的几何》起始内容的教学设计.《球面上的几何》专题课程的开设有利于培养学生的空间想象力和几何直观能力，使学生体会类比方法在数学学习和研究中的重要作用.

关键词： 球面几何 教学设计 类比

一、教材分析

《球面上的几何》是《普通高中数学课程标准（实验）》选修系列3中的一个专题.诚如《课程标准》指出的那样：“系列3和系列4是为对数学有兴趣和希望进一步提高数学素养的学生而设置的.所涉及的内容反映了某些重要的数学思想，有利于扩展学生的数学视野，有利于提高学生对数学的科学价值、应用价值、文化价值的认识.”在开展数学培优的第二课堂中，笔者将此内容进行了选讲，发现学生对此很感兴趣.通过对球面几何和欧氏平面几何的类比学习，学生对所学的立体几何知识有了更进一步的理解.为此，下面进行了《球面上的几何》的起始课“球面上的基本图形”的教学设计，以期对这个专题的开设有所帮助.

二、教学目标

（一）知识与技能

1.认识球面上的基本图形大圆劣弧（球面上的线段）、大圆（球面上的直线）、球面角、球面二角形、球面三角形及其特征；

2.知道球面上的两条直线只有相交而没有平行关系；

3.会计算简单的球面三角形三个内角和三边大小，从而了解球面三角形的内角和大于；

4.通过对球面上基本图形的认识，进一步培养空间想象力和几何直观能力.

（二）过程与方法

通过平面上的线段、直线、角、三角形等图形类比认识球面上的线段、球面上的直线、球面角、球面三角形的过程，体会类比方法在数学学习中的重要作用.

（三）情感态度与价值观

通过对球面上基本图形的认识，了解球面几何与平面几何的相同之处与不同之处，认识到球面几何是一个重要的一个非欧几何模型，从而改变对几何的固有观念.

三、教学重难点

教学重点：球面角、球面三角形相关量的计算；类比的研究方法.

教学难点：球面角、球面三角形的相关概念及特征的理解.

四、教学过程设计

（一）课题引入

问题1：我们以前学过平面几何的内容，平面几何是研究平面上的基本图形及其性质的一门课程.但是，我们身处的地球及熟知的乒乓球、篮球等物体，却并不是由平面围成的几何体，它们又有怎样的特性呢？从这节课开始，我们就学习球面几何的基本内容.仿照平面几何的研究内容，你能说一说球面几何是研究什么内容的？

问题2：在现实生活中，球面几何知识有着广泛的应用，大家能举例说一说，现实生活中应用球面几何的例子吗？

【设计意图】问题1：让学生从平面几何的研究内容类比联想球面几何的研究内容，充分考虑到了学生的认知基础，同时也为后面通过平面几何的基本图形及其性质学习球面几何的基本图形及其性质奠定了知识与方法基础.问题2：通过教师和学生共同举例，使学生认识到数学源于生活、用于生活、高于生活.

（二）探究新知

1.球面上的大圆劣弧——“线段”

创设情境：球面上有两点M、N（这两点非直径的两个端点），一只蚂蚁想从M点爬到N点，你能找到蚂蚁爬行的最短路径吗？（动画演示）

由此引出球面上过M、N两点的大圆劣弧，就是球面上的线段.在平面上两点确定一条线段，在球面上也有类似的结论.

【设计意图】学生对球面几何的认知基础是球面距离这个概念，让学生通过寻找在球面上蚂蚁爬行的最短路径，唤起学生的认知基础，并在此基础上顺理成章地帮助学生形成球面上的大圆劣弧就是球面上的线段这个基本而又重要的概念，为后面进一步形成球面上的直线概念做好铺垫.

2.球面上的大圆——“直线”

教师启发：既然把平面上的线段向两边无限延伸形成的图形称为平面上的直线，那么是否也可以把球面上的大圆劣弧向两边延伸形成的大圆称为球面上的直线呢？

【设计意图】球面上的直线概念的建立是本节课的教学难点，如果学生对“球面上的直线就是球面上的大圆”不能有效认同，那么就会对整个球面几何体系产生怀疑.这里通过平面上的线段向两边无限延伸形成一条直线类比建立“球面上的大圆劣弧向两边延伸形成的大圆就是球面上的直线”这个认识，有效地突破了这个难点.

类比2：平面上两点定线，并且直线的长度无限，那么球面上的大圆，即球面上的直线是否也具有类似的性质？

师生发现：过非直径两端点的直线具有唯一性；过直径两端点的直线不唯一；球面上的直线长度固定.

【设计意图】通过类比，学生发现球面上的大圆，即球面上的直线具有与平面相同的特征，也具有与平面完全不同的特征.

3.两个大圆的位置关系

类比3：平面上两条直线有相交与平行两种位置关系，那么球面上的两个大圆，即球面上两条直线的位置关系是什么呢？

【设计意图】通过类比，学生认识到球面上的两个大圆只有相交而没有平行关系.这一点显然与平面上直线的特征完全不同，从而从根本上转变学生对“两条直线”位置关系的原有观念.这种转变是震撼性的，所以教师在此处可以介绍欧几里得关于平面几何的5个公设，特别是平行公设，从而使学生了解球面几何是不同于欧氏几何的一个重要非欧几何模型.

4.球面角

（1）球面角的定义

类比4：平面上两条直线的相交程度是用角度度量的，那么球面上两条直线的相交程度是否也可以用角度度量？试着根据平面上角的概念类比定义球面上两条直线相交所成的角.

【设计意图】通过平面上的角类比定义球面上的角，进一步使学生体会类比方法在研究球面几何中的作用.同时学生通过思考球面上的角与平面上的角的区别，能使球面角的概念作为相对独立的新知识单独保存下来.endprint

（2）球面角的度量与计算

【设计意图】球面角的度量方法是本节课的另一个难点.通过动画演示使学生发现球面角大小的变化其实与角两边所确定的半平面形成的二面角大小变化有关，从而得到刻画球面角大小的二面角法.另外通过极限过程，得到刻画球面角大小的切线法.这种切线法体现了化曲为直的思想.

热身练习一：如图3，已知球面上点A（北极）、B（经纬度均为0°）、M（东经20°、北纬45°）、N（东经100°、赤道），分别计算下列球面角的大小.

1.∠BAN2.∠ABN3.∠ANB4.∠MAN

【设计意图】∠BAN、∠ABN、∠ANB是球面三角形△ABN的三个内角，并且∠ABN=∠ANB=90°，因此热身练习的目的一方面让学生学会用上述两种方法计算简单的球面角大小，另一方面为学生以后认识“球面三角形的内角大于180°，过球面上直线外一点可以做不止一条直线与已知直线垂直”这些与殴氏几何完全不同的结论埋下伏笔.

5.球面三角形

类比5：平面上三条首尾相接的线段围成的图形叫做三角形.那么类似地，请大家定义球面上的三角形，并指出球面三角形的边与角.

球面三角形定义：球面上三条大圆劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形.

热身练习二：如图4，已知球心为O的单位球面△ABC满足OA，OB，OC两两所成的角均为60°，计算其三边长和三个内角的大小.

【设计意图】在用平面上的三角形类比定义球面上的三角形的基础上，通过球面△ABC与三面角O-ABC的联系，使学生看到三面角在研究球面三角形中起到的“脚手架”作用，利用这个“脚手架”，可以把球面三角形的有关问题，如边长、夹角、全等的一些问题转化为欧氏几何问题，从而进一步培养学生的空间想象力和几何直观能力.

（三）小结与反思

在总结球面上的基本图形及其研究方法的基础上，反思：为什么球面几何既有与平面几何相同的特征，又有与平面几何不同的性质？

五、教学设计总结

（一）球面上两点间的距离是球面几何的核心概念，理解这个概念是学习本专题的基础.

（二）类比是学习球面几何最重要的思想方法.通过类比平面上的直线、角、三角形，引入球面上的“直线”（大圆）、球面角、球面三角形等基本图形，进而在后续内容中类比平面三角形全等、正弦定理、余弦定理及内角和等使学生进一步认识到类比方法在数学学习中的重要作用.

（三）三面角是研究球面几何问题的“脚手架”.利用这个“脚手架”，可以把球面三角形的有关问题，如边长、夹角、全等的一些判定定理转化为平面几何问题.

（四）通过“球面三角形的内角和大于π”认识到球面几何是不同于欧氏几何的一类几何模型.从而使学生认识到世界是丰富多彩的，不同的实际需要不同的数学模型来描述.

（五）通过球面几何的学习，学生对所学的立体几何内容有了更深的理解，进一步完善了所学的几何知识结构，提高了几何直观能力和空间想象能力.尽管球面几何不在高考的范围之内，但是通过球面几何的学习最终学生能发展几何直观能力和空间想象能力，而这恰恰能使学生终生受益.

参考文献：

[1]李学军.起始课，能否承载更多——基于人教A版起始课的教学设计与思考[J].中国数学教育，2012（24）：19-22.

[2]张劲松，刘长明.高中数学课程中的《球面几何》[J].数学通报，2007（08）：45-48.

[3]张劲松，刘长明.高中数学课程中的《球面几何》（续）[J].数学通报，2007（09）：52-57.

[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[5]人民教育出版社.球面上的几何[M].北京：人民教育出版社，2007.endprint

（2）球面角的度量与计算

【设计意图】球面角的度量方法是本节课的另一个难点.通过动画演示使学生发现球面角大小的变化其实与角两边所确定的半平面形成的二面角大小变化有关，从而得到刻画球面角大小的二面角法.另外通过极限过程，得到刻画球面角大小的切线法.这种切线法体现了化曲为直的思想.

热身练习一：如图3，已知球面上点A（北极）、B（经纬度均为0°）、M（东经20°、北纬45°）、N（东经100°、赤道），分别计算下列球面角的大小.

1.∠BAN2.∠ABN3.∠ANB4.∠MAN

【设计意图】∠BAN、∠ABN、∠ANB是球面三角形△ABN的三个内角，并且∠ABN=∠ANB=90°，因此热身练习的目的一方面让学生学会用上述两种方法计算简单的球面角大小，另一方面为学生以后认识“球面三角形的内角大于180°，过球面上直线外一点可以做不止一条直线与已知直线垂直”这些与殴氏几何完全不同的结论埋下伏笔.

5.球面三角形

类比5：平面上三条首尾相接的线段围成的图形叫做三角形.那么类似地，请大家定义球面上的三角形，并指出球面三角形的边与角.

球面三角形定义：球面上三条大圆劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形.

热身练习二：如图4，已知球心为O的单位球面△ABC满足OA，OB，OC两两所成的角均为60°，计算其三边长和三个内角的大小.

【设计意图】在用平面上的三角形类比定义球面上的三角形的基础上，通过球面△ABC与三面角O-ABC的联系，使学生看到三面角在研究球面三角形中起到的“脚手架”作用，利用这个“脚手架”，可以把球面三角形的有关问题，如边长、夹角、全等的一些问题转化为欧氏几何问题，从而进一步培养学生的空间想象力和几何直观能力.

（三）小结与反思

在总结球面上的基本图形及其研究方法的基础上，反思：为什么球面几何既有与平面几何相同的特征，又有与平面几何不同的性质？

五、教学设计总结

（一）球面上两点间的距离是球面几何的核心概念，理解这个概念是学习本专题的基础.

（二）类比是学习球面几何最重要的思想方法.通过类比平面上的直线、角、三角形，引入球面上的“直线”（大圆）、球面角、球面三角形等基本图形，进而在后续内容中类比平面三角形全等、正弦定理、余弦定理及内角和等使学生进一步认识到类比方法在数学学习中的重要作用.

（三）三面角是研究球面几何问题的“脚手架”.利用这个“脚手架”，可以把球面三角形的有关问题，如边长、夹角、全等的一些判定定理转化为平面几何问题.

（四）通过“球面三角形的内角和大于π”认识到球面几何是不同于欧氏几何的一类几何模型.从而使学生认识到世界是丰富多彩的，不同的实际需要不同的数学模型来描述.

（五）通过球面几何的学习，学生对所学的立体几何内容有了更深的理解，进一步完善了所学的几何知识结构，提高了几何直观能力和空间想象能力.尽管球面几何不在高考的范围之内，但是通过球面几何的学习最终学生能发展几何直观能力和空间想象能力，而这恰恰能使学生终生受益.

参考文献：

[1]李学军.起始课，能否承载更多——基于人教A版起始课的教学设计与思考[J].中国数学教育，2012（24）：19-22.

[2]张劲松，刘长明.高中数学课程中的《球面几何》[J].数学通报，2007（08）：45-48.

[3]张劲松，刘长明.高中数学课程中的《球面几何》（续）[J].数学通报，2007（09）：52-57.

[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[5]人民教育出版社.球面上的几何[M].北京：人民教育出版社，2007.endprint

（2）球面角的度量与计算

【设计意图】球面角的度量方法是本节课的另一个难点.通过动画演示使学生发现球面角大小的变化其实与角两边所确定的半平面形成的二面角大小变化有关，从而得到刻画球面角大小的二面角法.另外通过极限过程，得到刻画球面角大小的切线法.这种切线法体现了化曲为直的思想.

热身练习一：如图3，已知球面上点A（北极）、B（经纬度均为0°）、M（东经20°、北纬45°）、N（东经100°、赤道），分别计算下列球面角的大小.

1.∠BAN2.∠ABN3.∠ANB4.∠MAN

【设计意图】∠BAN、∠ABN、∠ANB是球面三角形△ABN的三个内角，并且∠ABN=∠ANB=90°，因此热身练习的目的一方面让学生学会用上述两种方法计算简单的球面角大小，另一方面为学生以后认识“球面三角形的内角大于180°，过球面上直线外一点可以做不止一条直线与已知直线垂直”这些与殴氏几何完全不同的结论埋下伏笔.

5.球面三角形

类比5：平面上三条首尾相接的线段围成的图形叫做三角形.那么类似地，请大家定义球面上的三角形，并指出球面三角形的边与角.

球面三角形定义：球面上三条大圆劣弧首尾顺次相接构成的封闭图形称为球面三角形.

热身练习二：如图4，已知球心为O的单位球面△ABC满足OA，OB，OC两两所成的角均为60°，计算其三边长和三个内角的大小.

【设计意图】在用平面上的三角形类比定义球面上的三角形的基础上，通过球面△ABC与三面角O-ABC的联系，使学生看到三面角在研究球面三角形中起到的“脚手架”作用，利用这个“脚手架”，可以把球面三角形的有关问题，如边长、夹角、全等的一些问题转化为欧氏几何问题，从而进一步培养学生的空间想象力和几何直观能力.

（三）小结与反思

在总结球面上的基本图形及其研究方法的基础上，反思：为什么球面几何既有与平面几何相同的特征，又有与平面几何不同的性质？

五、教学设计总结

（一）球面上两点间的距离是球面几何的核心概念，理解这个概念是学习本专题的基础.

（二）类比是学习球面几何最重要的思想方法.通过类比平面上的直线、角、三角形，引入球面上的“直线”（大圆）、球面角、球面三角形等基本图形，进而在后续内容中类比平面三角形全等、正弦定理、余弦定理及内角和等使学生进一步认识到类比方法在数学学习中的重要作用.

（三）三面角是研究球面几何问题的“脚手架”.利用这个“脚手架”，可以把球面三角形的有关问题，如边长、夹角、全等的一些判定定理转化为平面几何问题.

（四）通过“球面三角形的内角和大于π”认识到球面几何是不同于欧氏几何的一类几何模型.从而使学生认识到世界是丰富多彩的，不同的实际需要不同的数学模型来描述.

（五）通过球面几何的学习，学生对所学的立体几何内容有了更深的理解，进一步完善了所学的几何知识结构，提高了几何直观能力和空间想象能力.尽管球面几何不在高考的范围之内，但是通过球面几何的学习最终学生能发展几何直观能力和空间想象能力，而这恰恰能使学生终生受益.

参考文献：

[1]李学军.起始课，能否承载更多——基于人教A版起始课的教学设计与思考[J].中国数学教育，2012（24）：19-22.

[2]张劲松，刘长明.高中数学课程中的《球面几何》[J].数学通报，2007（08）：45-48.

[3]张劲松，刘长明.高中数学课程中的《球面几何》（续）[J].数学通报，2007（09）：52-57.

[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2008.

[5]人民教育出版社.球面上的几何[M].北京：人民教育出版社，2007.endprint