拉格朗日中值定理的一些应用

刘磊

摘 要： 拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它有众多应用，本文阐述了拉格朗日中值定理的一些应用.

关键词： 拉格朗日中值定理 极限 不等式 恒等式 零点

一、拉格朗日中值定理

若函数f（x）满足如下条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）= .

二、拉格朗日中值定理的应用

1.求极限

例1：求 .

解：令f（x）=tanx，则

= = = sec ξ=sec π=1（ξ介于x与π之间）

（介于与之间）

2.证明不等式

例2：证明0）.

证明：设f（x）=ln（1+x）.则f（x）在[0，+∞）上连续，在（0，+∞）内可导.

对？坌x>0，在[0，x]上运用拉格朗日中值定理可知：

f（x）-f（0）=ln（1+x）=f′（ξ）x= x，ξ∈（0，x）

于是

3.证明恒等式

例3：证明arctanx+arccotx= （x∈R）.

证明：令f（x）=arctanx+arccotx，对？坌x∈R，有f′（x）= - =0，于是f（x）=c（c为常数）.任取一实数，如 ，有 f（ ）=arctan +arccot = + = ，所以结论成立.

4.讨论函数零点的个数

例4：证明：方程x +x-1=0有唯一正根.

证明：令f（x）=x +x-1，显然f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，f（0）f（1）=-1<0，于是存在x ∈（0，1）使f（x ）=0即方程有正根.

下面用反证法证明正根的唯一性：

设f（x）还有一个根x >0，不妨设x

这与f′（x）=3x +1>0矛盾，于是该方程只有一个正根.

5.函数的单调性

例5：证明：若函数f（x）在[0，a）可导，f′（x）单调递增，且f（0）=0，则函数 在（0，a）单调递增.

证明：对任意x ，x ∈（0，a），且x

f′ξ = = ，f′（ξ ）= ，

因为f′（x）单调增加，于是f′（ξ ）

≤ ，

从而 ≤ ，

即函数 在（0，a）内单调递增.

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：139-145.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]南京大学数学系.数学分析习题全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.

摘 要： 拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它有众多应用，本文阐述了拉格朗日中值定理的一些应用.

关键词： 拉格朗日中值定理 极限 不等式 恒等式 零点

一、拉格朗日中值定理

若函数f（x）满足如下条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）= .

二、拉格朗日中值定理的应用

1.求极限

例1：求 .

解：令f（x）=tanx，则

= = = sec ξ=sec π=1（ξ介于x与π之间）

（介于与之间）

2.证明不等式

例2：证明0）.

证明：设f（x）=ln（1+x）.则f（x）在[0，+∞）上连续，在（0，+∞）内可导.

对？坌x>0，在[0，x]上运用拉格朗日中值定理可知：

f（x）-f（0）=ln（1+x）=f′（ξ）x= x，ξ∈（0，x）

于是

3.证明恒等式

例3：证明arctanx+arccotx= （x∈R）.

证明：令f（x）=arctanx+arccotx，对？坌x∈R，有f′（x）= - =0，于是f（x）=c（c为常数）.任取一实数，如 ，有 f（ ）=arctan +arccot = + = ，所以结论成立.

4.讨论函数零点的个数

例4：证明：方程x +x-1=0有唯一正根.

证明：令f（x）=x +x-1，显然f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，f（0）f（1）=-1<0，于是存在x ∈（0，1）使f（x ）=0即方程有正根.

下面用反证法证明正根的唯一性：

设f（x）还有一个根x >0，不妨设x

这与f′（x）=3x +1>0矛盾，于是该方程只有一个正根.

5.函数的单调性

例5：证明：若函数f（x）在[0，a）可导，f′（x）单调递增，且f（0）=0，则函数 在（0，a）单调递增.

证明：对任意x ，x ∈（0，a），且x

f′ξ = = ，f′（ξ ）= ，

因为f′（x）单调增加，于是f′（ξ ）

≤ ，

从而 ≤ ，

即函数 在（0，a）内单调递增.

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：139-145.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]南京大学数学系.数学分析习题全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.

摘 要： 拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它有众多应用，本文阐述了拉格朗日中值定理的一些应用.

关键词： 拉格朗日中值定理 极限 不等式 恒等式 零点

一、拉格朗日中值定理

若函数f（x）满足如下条件：（1）在闭区间[a，b]上连续；（2）在开区间（a，b）内可导，则在（a，b）内至少存在一点ξ，使f′（ξ）= .

二、拉格朗日中值定理的应用

1.求极限

例1：求 .

解：令f（x）=tanx，则

= = = sec ξ=sec π=1（ξ介于x与π之间）

（介于与之间）

2.证明不等式

例2：证明0）.

证明：设f（x）=ln（1+x）.则f（x）在[0，+∞）上连续，在（0，+∞）内可导.

对？坌x>0，在[0，x]上运用拉格朗日中值定理可知：

f（x）-f（0）=ln（1+x）=f′（ξ）x= x，ξ∈（0，x）

于是

3.证明恒等式

例3：证明arctanx+arccotx= （x∈R）.

证明：令f（x）=arctanx+arccotx，对？坌x∈R，有f′（x）= - =0，于是f（x）=c（c为常数）.任取一实数，如 ，有 f（ ）=arctan +arccot = + = ，所以结论成立.

4.讨论函数零点的个数

例4：证明：方程x +x-1=0有唯一正根.

证明：令f（x）=x +x-1，显然f（x）在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，f（0）f（1）=-1<0，于是存在x ∈（0，1）使f（x ）=0即方程有正根.

下面用反证法证明正根的唯一性：

设f（x）还有一个根x >0，不妨设x

这与f′（x）=3x +1>0矛盾，于是该方程只有一个正根.

5.函数的单调性

例5：证明：若函数f（x）在[0，a）可导，f′（x）单调递增，且f（0）=0，则函数 在（0，a）单调递增.

证明：对任意x ，x ∈（0，a），且x

f′ξ = = ，f′（ξ ）= ，

因为f′（x）单调增加，于是f′（ξ ）

≤ ，

从而 ≤ ，

即函数 在（0，a）内单调递增.

参考文献：

[1]同济大学数学系.高等数学（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2001：139-145.

[2]华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]南京大学数学系.数学分析习题全解[M].合肥：安徽人民出版社，1999.