培养空间思维，明确构架基础

陈蓬

摘 要：“异面直线”是高中数学教学中的重要内容之一，它既是空间图形关系的基础，同时也为学生认识、了解物体的空间关系提供了基础构架，为学生认识立体图形、解决空间图象问题打下了坚实的基础. 本文针对这一问题来具体谈一谈如何做好“异面直线”的教学设计.

关键词：数学概念；异面直线；概念教学；教学设计

异面直线是高中数学的重点和难点，要想做好异面直线的教学设计，就必须使学生掌握异面直线的基础概念，理解异面直线的空间形态，牢记其形成条件，提高运用能力. 教学设计不仅要全面，而且要有缓度，使学生的学习压力最小化、学习乐趣最大化、学习质量最高化、学习能力综合化，由浅入深地进行教学活动，从根本上提高异面直线的教学质量.

[?] 掌握异面直线的基础概念

（一）相关问题

一些教师轻视基础概念的重要性，在教学中对数学基础概念的讲解匆匆了事，期望利用题海战术培养学生的数学能力. 这不仅无法使学生形成数学意识，而且还会使学生对数学失去学习兴趣，不再深入学习和研究.

（二）基础概念

异面直线是指两条不在同一平面内的直线，它们既不相交也不平行.

（三）如何引入

由定义可以看出异面直线是三维概念，从其概念中可提取四个重点元素：空间、直线、不平行、不相交. 针对异面直线的概念引入，我们采取“三步走”的教学设计.

（1）认识直线关系

课始教师提问：“同一平面内，两条直线有哪些位置关系？”学生答：“相交和平行.” 教师拿出两根吸管，分别放在讲桌上面的两张纸上，摆出一定角度，提问：“此时两根吸管所在直线形成何种位置关系？”学生齐答：“相交！”教师将其中一张纸拖着吸管往上抬起一段距离，又问：“此时两根吸管所在直线有怎样的位置关系？”一些学生疑惑地说：“相交？”另一些学生否定：“不对，两条直线没有交点.” 一些学生疑惑地说：“平行？”另一些学生说：“不对，这两条直线显然不是平行的.” 学生陷入深思：怎样去形容这两条直线的关系呢？出现既不平行又不相交的原因是什么？一些学生率先想到答案：问题的关键在于这两条直线不处于同一平面，而平行和相交都是以同一平面为前提的.

（2）应用生活模型

教师将问题深入，带入生活模型：“其实这种既不平行也不相交的例子在我们日常生活中非常常见，如教室的日光灯管所在直线与门框所在直线之间的关系. 你们还能举出哪些类似的例子？”学生开动脑筋，回答：“衣柜底面垂直于墙面的边所在直线与衣柜上面平行于墙面的边所在直线是异面直线.”

（3）引入数学概念

最后教师再引出数学概念，使学生了解到“异面直线”的含义，并根据异面直线的概念回过头去判定自己所提出的日常生活中的异面直线模型是否正确，从而加深学生对基础概念重要性的认识.

[?] 理解异面直线的空间形态

为了使学生更形象、具体、直观地了解异面直线的存在状态，在教学中我们采用两种教学设计方法.

（一）多媒体教学

利用多媒体课件，不仅可以使异面直线更形象化、感官化，而且可以为学生建立“有形”的空间模型，提高空间想象力. 教学过程如下：

首先在多媒体显示屏上构建出一个二维平面α，在平面外取任意一点，记为点A，在其上出现一点，记为点B. 连结点A与点B，此时形成的直线记为直线AB. 在该平面上任意画出一条直线，记做直线a，要求直线a不经过点B，如图1所示. 我们就可以称直线AB与直线a为异面直线. 在演示过程中学生对空间结构有了形象的感官认知，并且对异面直线的空间位置关系有了更直观的认识.

（二）建模教学

如何使两条直线的空间状态在草纸上表示出来，这是一个教学重点. 我们首先在黑板上为学生演示异面直线的表示方法，以一个平行四边形作为二维平面，在其上取一点A，然后做一条直线穿过点A，要求此直线的两端要超过平行四边的内部区域. 之后我们擦去点A以下位于平行四边内部的直线或用虚线表示，保留位于平行四边形之外的直线.再在平行四边形内部做一条不过点A的直线，那么这两条直线就可以表示异面直线. 之后我们将全部学生分为若干个学习小组，每组5人，每人画一幅异面直线图，由小组内部穿插检测其他学生画得是否正确.

这样做一来可以使枯燥的画图教学变得有趣，提高互动性；二来在学生为彼此检查的过程中发现他人以及自身的问题，通过互帮互助改正错误，从而逐步提高学生对异面直线的理解.

[?] 牢记异面直线的形成条件

为了使学生牢记异面直线的形成条件，我们采用探究式的教学设计，提问：我们知道，不在同一平面内，既不相交，也不平行的两条直线就是异面直线，那么我们是否还能将其精简一下，并说明原因. 教师让学生进行小组讨论.在讨论之后，学生纷纷认为“异面直线”的概念可以精简为：两条既不平行又不相交的直线. 学生进一步进行解释，该简化概念中涵盖两个重点，一是两条不平行的直线，二是两条不相交的直线. 首先我们对两条直线进行限定，不平行. 假如在同一平面内，两条直线相互不平行，那这两条直线必相交. 然后我们又限定这两条直线不相交，否定了两条直线在同一平面内的假设. 通过这样的双重限定，限制了这两条直线的位置关系. 教师首先给予学生表扬，之后在黑板上画出草图，进一步引导学生思考：在一个平面内有一条直线，取直线上任意一点，与直线外任意一点做出一条新的直线，问这条两直线属于什么样的位置关系.

一些学生说：“这两条直线异面相交.” 另一些学生立即纠正了这种说法：“不应该有异面相交这种说法，这两条直线同面相交. 因为由这两条直线可以构成一个新的平面，这个平面与原平面相交.” 此时教师补充：“这两个平面叫做相切面.” 之后在课堂上开展一个有趣的小游戏：在书本中找到异面直线.学生分小组开始讨论，结果多数学生的解法为：将书本翻到任意一页，在其中一页画上一条平行于页轴的直线，在另一页上画出一条垂直于页轴的直线，此时两条直线为异面直线. 教师给予鼓励，之后将自己书页中的页轴涂上颜色，说：“看，现在我们有三条直线，分别位于两个相切的平面内，而书轴为两个平面的切线，并且每条一面直线均与切线在同一平面内，它们平行或是相交.” 学生若有所思.之后教师在多媒体上演示平面间的关系.

由此我们将异面直线问题延伸成为空间平面的关系，建立学生初步的空间思维，为学生树立以数学概念为依据的严谨的解题思路和探究思路.

[?] 提高异面直线的运用能力

异面直线概念教学的最后一步就是巩固概念和使用概念，对这一教学内容，我们同样也从两个方面进行.

（一）习题练习

例题1：对下列命题的真伪性进行判断：

①空间内两条不相交的直线为异面直线；

②不在同一平面内的两条直线为异面直线；

③分别位于两个不同平面内的两条直线为异面直线；

④不平行也不相交的两条直线为异面直线.

此题考查学生对基础概念的理解，根据异面直线的概念，完全可以对各个命题进行判定，十分简单.

例题2：现有已知平面α和平面β，以下哪个条件可以判定平面α与平面β平行：

①平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等；

②平面α与平面β都垂直于同一平面；

③平面α内有AB和CD两条直线，满足AB∥平面β，CD∥平面β；

④AB和CD是两条异面直线，满足AB∥平面α，CD∥平面α，AB∥平面β，CD∥平面β.

这道题目的难度有所增加，考查学生对异面直线关系以及异面直线所处平面关系的理解.

解析：此时我们采用上文提过的页面模型. ①X型相交平面内可以找到不共线的三个点到另一平面的距离相等. ②以课桌为另一平面，将翻开书的立于课桌上，此时两平面相交. ③此时AB与CD可能平行. ④两条异面直线分别平行于两个平面，则这两个平面相互平行.

在做题时学生可以总结小规律，提高做题速度.

（二）拓展延伸

在学习中一些学生提出问题：异面直线之间能不能形成角度，异面直线的距离怎么计算？

我们以书页模型为基础向学生讲解：任何两条异面直线所在的不同平面均可以构建出一个正切关系，即两平面相互垂直，正切线是唯一的. 这条切线与每条异面直线之间都处于同一平面内，由此我们以正切线为关联点找到异面直线距离和角度的关系.

角度：正切线与其中一条异面直线存在一个焦点，经过该焦点做一条平行于另一条异面直线的平行线，这条平行线与该异面直线所成的角度即为两条异面直线的角度. 另外，我们规定该角度范围是（0°，90°].

距离：在正切线与一条异面直线的焦点上做一条垂直于另一条异面直线的垂线，那么该焦点到另一条异面直线的距离即为两条异面直线间的距离.

总之，异面直线是一个三维概念，在教学设计中以二维平面为出发点，以线与线关系为基础延伸出面与面关系，通过由浅入深、由概念变实用的教学设计，使学生对异面直线的理解深度化、广度化，促进学生空间思维的形成，使数学做到有理有据，这才是最好的教学设计.