锐角三角函数中的几何基本图形

杨彦

【摘要】 锐角三角函数是初中数学的重点，它的背景是直角三角形及可以转化为直角三角形的图形，但学生一见到复杂的图形就不知如何入手，要解决这个难题，就要在平时的教学中注重渗透基本图形的教学，引导学生从复杂图形中分解出基本图形或构造基本图形，从而轻而易举地解决问题。

【关键词】 直角三角形 基本图形 锐角三角函数

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2014）09-026-02

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《数学课程标准》在几何方面的学习要求学生“能从较复杂的图形中分解出基本的图形，并能分析其中的基本元素及其关系，利用直观来进行思考”，数学中的基本图形分为两种：课本中的概念、公式和定理所对应的图形叫做理论型基本图形；重要的例题和习题所对应的图形叫做经验型基本图形，经验型基本图形都是由两个或两个以上的简单的理论型基本图形组合而成的。几何证明题是初中数学的重点，但学生一见到复杂的图形就不知如何入手，为了解决这个难题，笔者在平时的教学中注重渗透基本图形的教学，引导学生从复杂图形中分解出基本图形或构造基本图形，从而轻而易举地解决问题，因此笔者在锐角三角函数复习课中，特地设计了专题复习课——分解图形，变难为易。

锐角三角函数的应用题一般数据较多，题目信息量较大，学生读完之后常常会因理不清楚思路，从而没法下手，做不下去。其实锐角三角函数的应用题通常可以转化为解直角三角形的应用题得以解决，笔者在教学过程当中发现，锐角三角函数的应用题抽象为数学模型的话，大概有如下三类基本情况。（以下仅讨论直角三角形位于异侧情况，同侧情况类似，略去）。

情形一：实际问题抽象为两个直角三角形都可解。

例1：（2013·襄阳）如图，在数学活动课中，小敏为了测量校园内旗杆AB的高度，站在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯角为45°，测得旗杆顶端A的仰角为30°，如旗杆与教学楼的水平距离CD为9m，则旗杆的高度是多少？（结果保留根号）

分析：根据在Rt△ACD中，tan∠ACD= ，求出AD的值，再根据在Rt△BCD中，tan∠BCD= ，求出BD的值，最后根据AB=AD+BD，即可求出答案。

解：在Rt△ACD中，∵tan∠ACD= ，∴tan30°= ，∴ = ，∴AD=3 m，

在Rt△BCD中，∵tan∠BCD= ，∴tan45°= ，∴BD=9m，

∴AB=AD+BD=3 +9（m）.

答：旗杆的高度是（3 +9）m.

基本图形1：在△ ABC中，CD⊥AB于D，CD=10，∠A=45°，∠B=30°，求AB.

分析：本题目标线段AB为线段AD与线段BD的和，显见Rt△ACD与Rt△BCD都可解，根据锐角三角函数易得线段AD，BD长，进而得线段AB长。

情形二：实际问题抽象为一个直角三角形可解，进而另一个直角三角形也可解。

例2：（2013·呼和浩特）如图，A、B两地之间有一座山，汽车原来从A地到B地经过C地沿折线A→C→B行驶，现开通隧道后，汽车直接沿直线AB行驶。

已知AC=10千米，∠A=30°，∠B=45°.则隧道开通后，汽车从A地到B地比原来少走多少千米？（结果保留根号）

分析：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，根据AC=10，∠A=30°，解直角三角形求出AD、CD的长度，然后在Rt△BCD中，求出BD、BC的长度，用AC+BC-（AD+BD）即可求解。

解：过C作CD⊥AB于D，在Rt△ACD中，

∵AC=10，∠A=30°，

∴DC=ACsin30°=5，AD=ACcos30°=5 ，

在Rt△BCD中，∵∠B=45°，∴BD=CD=5，BC=5 ，

则用AC+BC-（AD+BD）=10+5 -（5 +5）=5+5 -5 （千米）。

答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5 -5 ）千米。

基本图形2：在△ ABC中，CD⊥AB于D，AC=10，∠A=45°，∠B=30°，求AB.

分析：本题目标线段AB为线段AD与线段BD的和，显见Rt△ACD可解，得线段AD，CD长，知道CD长，进而Rt△BCD可解，易得线段BD长。

情形三：实际问题抽象为两个直角三角形都不可解

例3：如图，AB和CD是同一地面上的两座楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°.若已知楼CD高为（30+10 ）米，你能求出两楼之间的距离BD吗？

分析：过A作AE⊥CD于E，易知：AE=BD，设AE=x. 在Rt△ACE中，可用x表示出CE. 在Rt△ADE中，可用x表示出DE，从而得到关于x的方程，即可求出BD的长度。

答：两楼之间的距离BD为30米。

基本图形3：在△ ABC中，CD⊥AB于D，AB=10，∠A=45°，∠B=30°，求CD.

分析：本题目标线段CD，为图中两个直角三角形的公共边，但这两个直角三角形都是不可解的，因而无法应用正向思维解决之。可设其长为x，在Rt△ACD和Rt△BCD中，均可由CD根据锐角三角函数表示出线段AD与线段BD的长，从而可列出关于x方程，问题得以解决。

总之，这三类情况依据三角形是否可解进行分类，熟悉基本数学模型，可以快捷准确解决数学问题。

以上是本人在教学中的粗浅认识，供同行参考，不足之处，敬请指正。